Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

• Oпределение – Числата, с които броим. Например: 1, 2, 3, … .
  Бележка:

  Може да се каже още, че естествените числа са всички цели числа, които са по-големи или равни на единица.

• Ограниченост – Най-малкото естествено число е 1, а най-голямо естествено число няма.
• Буква, с която се отбелязват – Множеството на естествените числа се отбелязват с буквата N или .

• Прости числа – В математиката просто число се нарича всяко естествено число, по-голямо от 1, което има точно два естествени делителя – единица и самото себе си.
• Съставни числа – Естествените числа, по-големи от едно, които не са прости, се наричат съставни.
• Примери – Числото 5 е просто число, защото се дели единствено на 1 и 5, докато 6 е съставно число, защото се дели освен на 1 и 6 и на 2 и 3.
Бележки:
1. Числата нула и едно не са нито прости, нито съставни.
2. Нечетни прости числа – Тъй като числото 2 е единственото четно просто число, обикновено думите „нечетни прости числа“ се използва за означаване на всички прости числа освен 2.

• Oпределение – Естествените числа, техните противоположни и нулата. Например: …, – 2, – 1, 0, 1, 2, … .
• Ограниченост – Няма най-малко цяло число, а така също и най-голямо.
• Буква, с която се отбелязват – Множеството на целите числа се отбелязват с буквата Z или .

• Обикновена дроб – Частно (делене) на две цели числа. Например: , където b ≠ 0.
• Десетична дроб – Специален запис на обикновените дроби.
  • Крайна десетична дроб – При деленето на числител на знаменател се получава крайно десетично число. Например: = 2 : 5 = 0,4.
  • Безкрайна периодична дроб – Делението на числител на знаменател продължава до момента, в който се появи число, което веднъж вече е било остатък, и тогава цифрите в резултата започват да се повтарят. Например: = 5 : 3 = 1,666.... = 1,(6).
  • Безкрайна непериодична дроб – Числа, които немогат да се изразят като отношение (частно) на две цели числа. Например, числото π ≈ 3,1415926535... и др.

• Oпределение – Всички положителни числа (цели и дробни), отрицателни числа (цели и дробни) и числото 0 (нула).
• Буква, с която се отбелязват – Множеството на рационалните числа се отбелязват с буквата Q или .

• Първоначални бележки – От практика знаем, че между две рационални числа има безброй много други рационални числа и така може да се заблудим, че няма други числа, освен множеството на рационалните числа.

  Още древните гърци са знаели, че в множеството на рационалните числа няма рационално число, което умножено по себе си да е равно на числото 2, т.е. уравнението x.x = 2 няма решение в множеството на рационалните числа. Затова се налага да се въведе нов вид числа.

• Oпределение – Ирационални са числата, които се представят като безкрайни непериодични десетични дроби, т.е. числа, които немогат да се изразят като отношение (частно) на две цели числа. Например, числото π ≈ 3,1415926535... и др.
  Бележка:

  За други видове ирационални числа виж II. Квадратен корен.

• Oпределение – Всички рационални и ирационални числа.
• Буква, с която се отбелязват – Множеството на реалните числа се отбелязват с буквата R или .

O – Квадратен корен от неотрицателното число a е такова неотрицателно число x, че x² = a, което се записва x = , като x ≥ 0, a ≥ 0. Например: Квадратният корен на 9 е 3, което се записва = 3, защото 3² = 3.3 = 9 и 3 е неотрицателно число.

Виж Фиг. 1

• Oпределение – Действието, с което се намира квадратен корен от дадено число.
• Числа получени при коренуването:
  • Рационални числа – При коренуване на естествени числа, които са точни квадрати, се получава рационални число. Например: = 2, защото 2² = 2.2 = 4 и 2 е неотрицателно рационално число.
  • Ирационални числа – При коренуване на естествени числа, които не са точни квадрати, се получава безкрайни непериодични десетични дроби, т.е. ирационални числа. Например: При коренуването на числото 2 се получава ирационалното число ≈ 1,41422135... .
  Бележки:

  1. Действието коренуване е обратно действие на степенуването.
  2. Числото е реално число само когато подкоренната му величина е неотрицателна.
  3. Знакът се използва за две неща:
     • за действие коренуване;
     • за означаване на ирационални числа.

Квадратен корен има смисъл, когато подкоренната му величина е неотрицателна, т.е.:

(1): Изразът има ДМ: a ≥ 0.

(2): = a при a ≥ 0.

(3): = |a| при всяко a.

Ако a ≥ 0, b ≥ 0, то:

(4):

Ако a ≥ 0, b > 0, то:

(5):

• Oпределение – Ако b ≥ 0, то: Т.е. коренуваме множителя, който изнасяме пред корен.
• Свойство:

  (7): Ако a > b, то = |a – b| = a – b.

  (8): Ако a < b, то = |a – b| = b – a.

(9): Ако b > 0, то .

Т.е. повдигаме на втора степен множителя, който записваме под корен.

(10): Ако a > b > 0, то > .

(11): Ако 0 < a < b, то < .

Разглеждаме няколко типа задачи:

• I тип: Когато в знаменател има само един квадратен корен:
  Правило

  Умножаваме числител и знаменател на дробта с корена, който се намира в знаменател, т.е.:

  (12): при b > 0.

  Зад. №10:

  Извършете действията:

  а) ;

  б) ;

  в) .

  Решение:

  
• II тип: Когато в знаменател има сбор или разлика от квадратен корен:
  Правило

  Умножаваме числител и знаменател на дробта с израз, който се различава по знак с дадения в знаменателя, т.е.:

  

  Зад. №11:

  Рационализирайте знаменателя на дробите:

  а) ;

  б) ;

  в) .

  Решение:

  

• Определение – Когато не съдържа корен в знаменател и няма множители, които могат да се изнесат.
• Примери:
  • Нормален вид: .
  • Не са в нормален вид: .