Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

Уравнения – линейни, квадратни, уравнения от по-висока степен. Формули на Виет

Съдържание на темата:

Линейно уравнение
Квадратно уравнение
Биквадратно уравнение
Решаване на уравнения от по-висока степен
Формули на Виет

Теория

I. Линейно уравнение

Определение

O – Уравнение от вида ax + b = 0, където a и b са реални числа.

Видове решения

Има едно решение – При a ≠ 0 решението на линейното уравнение е x = – .
Няма решение – При a = 0 и b ≠ 0 линейното уравнение няма решение.
Безброй много решения – При a = b = 0 всяко реално число е решение на линейното уравнение.

Бележка:

Линейните уравнения може да се решават и графично. За подробности виж точка VI. Графично представяне решенията на линейно и квадратно уравнение от тема „Функции. Линейна функция. Квадратна функция“.

Правило за решаване на уравнения свеждащи се до линейно
Решенията на уравнението ax + b = 0 зависят от константата a:
- При a ≠ 0:
  1. Ако имаме скоби ги разкриваме.
  2. Ако имаме знаменател привеждаме под общ знаменател и двете страни на уравнението.
  3. Прехвърляме неизвестните от едната страна, а известните от другата страна на уравнението и извършваме приведение.
  4. Ако пред неизвестното имаме минус, умножаваме двете страни на уравнението с минус 1.
  5. Освобождава ме се от коефициента пред неизвестното, ако той е различен от 0 и 1, като делим двете страни на уравнението с коефициента a.
- При a = 0 и b ≠ 0 линейното уравнение няма корени, защото е от вида 0.x = – b.
- При a = 0 и b = 0 всяко число е корен на уравнението, защото е от вида 0.x = 0.

II. Квадратно уравнение

Определение за пълно квадратно уравнение

O – Уравнения от вида

(1): ax² + bx + c = 0, където a ≠ 0, b и c са реални коефициенти.

Квадратен тричлен

Лявата страна на квадратното уравнение (1) се нарича квадратен тричлен.

Непълно квадратно уравнение

Видове непълни квадратни уравнения:
(2): При c = 0 уравнението е ax² + bx = 0.

(3): При b = 0 уравнението е ax² + c = 0.

(4): При b = 0 и c = 0 уравнението е ax² = 0.
Начин за решаване на непълно квадратно уравнение (2):
- Изнасяме x пред скоба и получаваме:
  x(ax + b) = 0.
- Нулираме и решаваме получените линейни уравнения:
- т.е. непълното квадратно уравнение (2) има две решения: x₁ = 0 и x₂ = – .
Начин за решаване на непълно квадратно уравнение (3):
- Преобразуваме уравнението:
  ax² + c ax² = – c x² = – .
- Ако – > 0 (това означава, че c и a са с различни знаци) коренуваме двете страни на уравнението и получаваме две решения x_1/2 = ± .
- Ако – < 0 (това означава, че c и a са с еднакви знаци) уравнението няма решение, защото дясната му страна е отрицателно число, а лявата му страна е число на квадрат.
- т.е. непълното квадратно уравнение (3) има две решения, ако коефициентите c и a имат различни знаци и няма решение, ако коефициентите c и a имат еднакви знаци.
Непълното квадратно уравнение (4) има единствен корен x = 0.

Дискриминанта D

(5): При a ≠ 0, изразът D = b² – 4ac се нарича дискриминанта.

(6): Ако a ≠ 0 и b е четно число, тогава отбелязваме k = и дискриминантата се намира по формулата D₁ = k² – ac.

Брой на корените (решения) на пълното квадратно уравнение

При a = 0 квадратното уравнение (1) се превръща в линейно, т.е. при a = 0 уравнение (1) има един корен.
При a ≠ 0 и D > 0 квадратното уравнение (1) има два реални различни корена, т.е.:
(7): Ако , то решенията са x_1/2 = .

Бележка:

Ако разсъждаваме графично, виж Таблица 1 от „Свойства на квадратната функция“, корените x₁ и x₂ са точките, в които параболата пресича абсцисната ос.

(8): Ако е b четно число решенията се определят по кратката формула x_1/2 = , където D₁ = k² – ac.
При a ≠ 0 и D = 0 квадратното уравнение (1) има един двоен реален корен, т.е.:
(9): Ако , то решенията са x = x₁ = x₂ = .

Бележка:

Ако разсъждаваме графично, виж Таблица 1 от „Свойства на квадратната функция“, коренът x е точката, в която параболата се допира до абсцисната ос.
При a ≠ 0 и D < 0 квадратното уравнение (1) няма реални корени, т.е.:
(10): Ако , то уравнение (1) няма реални корени.

Бележка:

Ако разсъждаваме графично, виж Таблица 1 от „Свойства на квадратната функция“, , то квадратното уравнение (1) няма решение, защото параболата е над (или под) абсцисната ос.

Разлагане на квадратния тричлен на множители

Нека x₁ и x₂ са корени на пълното квадратно уравнение (1), то лявата му страна може да се разложи на множители, ако:

(11): D > 0, тогава имаме ax² + bx + c = a (x – x₁)(x – x₂);

(12): D = 0, тогава имаме ax² + bx + c = a (x – x₁)²;

(13): D < 0, квадратният тричлен не се разлага на множители.

Правило за разлагане на множители

Намираме дискриминантата.
Намираме корените на уравнението, което се получава, като приравним квадратния тричлен на 0.
Разлагаме на множители по някоя от горните формули.
Представяме разлагането в удобен вид.

Начини за решаване на пълно квадратно уравнение

С помощта на формулите от брой на корените на пълно квадратно уравнение (формули от 7 до 10).
Лявата страна на пълното квадратно уравнение разлагаме на множители (използвайки формули от 10 до 13) и то добива вида
(14): (x – n) (x – m) = 0, където n = x₁, m = x₂.

Решенията на това уравнение са линейните уравнения

(15): x – n = 0 и x – m = 0.
Графично решаване – За подробности виж точка IV. Графично представяне решенията на линейно и квадратно уравнение от тема „Функции. Линейна функция. Квадратна функция“.

Решени задачи

III. Биквадратно уравнение

Определение

O – Уравнения от вида

(16): ax⁴ + bx² + c = 0, където a ≠ 0, b и c са реални коефициенти.

Правило за решаване

Правило за решаване на биквадратно уравнение

Правим полагането x² = y ≥ 0.
Решаваме полученото пълно квадратно уравнение ay² + by + c = 0.
Ако това квадратно уравнение има неотрицателни корени, то всеки от тях ги заместваме в полагането и решаваме полученото непълно квадратно уравнение.
Ако двата корена на това квадратно уравнение са отрицателни, то биквадратното уравнение (16) няма решение.

Разлагане на множители

В биквадратното уравнение (16) полагаме x² = y.
Нека полученото квадратно уравнение ay² + by + c = 0 да има решения y₁ и y₂.
Заместваме във формулата:
(17): ax⁴ + bx² + c = (x² – y₁)(x² – y₂).

Решени задачи

IV. Решаване на уравнения от по-висока степен

Чрез разлагане на множители и решаване на уравнение от вида (14)

Разлагаме на множители и решаваме пълно квадратно уравнение от вид (14).

Зад. №1:: Решете уравненията:

а) (1 – 2x)(x + 3)(2 – 5x) = 0;

б) x³ + x² – 2x = 0;

в) x³ – 1 + (x – 1) = 0.

Решение:

а) Уравнението е в готов вид (14) и затова се разпада на три уравнения:

1 – 2x = 0 2x = 1 x = .
x + 3 = 0 x = – 3.
2 – 5x = 0 5x = 2 x = .
Отговор: Даденото уравнение има три решения: x₁ = , x₂ = – 3 и x₃ = .

б)

Изнасяме x пред скоба:
x³ + x² – 2x = 0 x(x² + x – 2) = 0.
Уравнението е от вид (14) и затова се разпада на две уравнения:
- x = 0.
- x² + x – 2 = 0; D = 1 – 4.(– 2) = 9 = 3; x₁ = – 2, x₂ = 1.
Отговор: Даденото уравнение има три решения: x₁ = 0, x₂ = – 2 и x₃ = 1.

в)

За първата двойка числа прилагаме подходяща формула за съкратено умножение:
x³ – 1 + (x – 1) = 0 (x – 1)(x² + x + 1) + (x – 1).
Изнасяме общ множител пред скоба:
(x – 1)(x² + x + 1) + (x – 1) (x – 1)(x² + x + 1 + 1) = 0 (x – 1)(x² + x + 2) = 0.
Уравнението е от вид (14) и затова се разпада на две уравнения:
- x – 1 = 0 x = 1.
- x² + x + 2 = 0; D = 1 – 4.2 = – 7 < 0, т.е. уравнението няма решение.
Отговор: Даденото уравнение има едно решени x = 1.

Решаване чрез въвеждане на ново неизвестно и свеждане до квадратно уравнение

Зад. №2:: Решете уравненията:

а) (x² – 2x)² – 7(x² – 2x) + 12 = 0;

б) (x² – 3x + 1)(x² – 3x – 3) = 5.

Решение:

а)

Забелязваме, че изразът в скобите се повтаря и затова го означаваме с ново неизвестно, т.е.
полагаме x² – 2x = y.
Получаваме квадратното уравнение y² – 7y + 12 = 0.
Намираме дискриминантата:
D = (– 7)² – 4.12 = 1 = 1.
Намираме корените:
y₁ = = 4; y₂ = = 3.
Връщаме се към полагането и решаваме получените квадратни уравнения с кратката формула:
- При y₁ = 4 x² – 2x = 4 x² – 2x – 4 = 0; D₁ = 5 ; x₁ = 1 – , x₂ = 1 + .
- При y₂ = 3 x² – 2x = 3 x² – 2x – 3 = 0; D₁ = 4 = 2; x₁= 3, x₂= – 1.
Отговор: Отговор: Даденото уравнение има четири решения: x_1/2 = 1 ± , x₃ = 3 и x₄ = – 1.

б)

I начин:

Полагаме x² – 3x = y и получаваме уравнението:
(y + 1)(y – 3) = 5.
Разкриваме скобите и преобразуваме до квадратно уравнение:
(y + 1)(y – 3) = 5 y² – 3y + y – 3 = 5 y² – 2y – 8 = 0.
Използваме кратката формула (6), за да намерим дискриминантата:
D₁ = (– 1)² – 1.(– 8) = 1 + 8 = 9 = 3.
Квадратното уравнение има два корена, които намираме по кратката формула (8):
y₁ = 1 + 3 = 4; y₂ = 1 – 3 = – 2.
Връщаме се към полагането и решаваме получените квадратни уравнения:
- При y₁ = 4 x² – 3x = 4 x² – 3x – 4 = 0; D = 25 = 5; x₁ = – 1, x₂ = 4.
- При y₂ = – 2 x² – 3x = – 2 x² – 3x + 2 = 0; D = 1 = 1; x₁ = 1, x₂ = 2.
Отговор: Даденото уравнение има четири решения: x₁ = – 1, x₂ = 4, x₃ = 1 и x₄ = 2.

II начин:

Записваме, че 3 = 4 – 1.
Тогава даденото уравнение е:
(x² – 3x + 1)(x² – 3x + 1 – 4) = 5.
Полагаме x² – 3x + 1 = y и получаваме уравнението:
y(y – 4) = 5.
Разкриваме скобите и преобразуваме до квадратно уравнение:
y(y – 4) = 5 y² – 4y – 5 = 0.
Използваме кратката формула (6), за да намерим дискриминантата:
D₁ = (– 2)² – 1.(– 5) = 4 + 5 = 9 = 3.
Квадратното уравнение има два корена, които намираме по кратката формула (8):
y₁ = 2 + 3 = 5; y₂ = 2 – 3 = – 1.
Връщаме се към полагането и решаваме получените квадратни уравнения:
- При y₁ = 5 x² – 3x + 1 = 5 x² – 3x – 4 = 0; D = 25 = 5; x₁ = – 1, x₂ = 4.
- При y₂ = – 3 x² – 3x + 1= – 1 x² – 3x + 2 = 0; D = 1 = 1; x₁ = 1, x₂ = 2.
Отговор: Даденото уравнение има четири решения: x₁ = – 1, x₂ = 4, x₃ = 1 и x₄ = 2.

V. Формули на Виет

Определение

Формулите на Виет изразяват зависимостите между коефициентите на дадено квадратно уравнение и неговите корени.

Теорема на Виет

Ако квадратното уравнение (1) има корени x₁ и x₂, то
(18): x₁ + x₂ = – и x₁ . x₂ = .

Бележка:

Формулите на Виет се отнасят не само за реални, но и за комплексни числа. Ние в училище разглеждаме само реални числа. Това означава, че при решаването на задачи трябва да проверим дискриминантата дали е неотрицателна!!! Така гарантираме, че работим в областта на реалните числа.

Обратна теорема на Виет

Ако за числата x₁ и x₂ са верни равенствата p = x₁ + x₂ и q = x₁.x₂, тогава x₁ и x₂ са корени на квадратното уравнение x² – px + q = 0.

Приложение на формулите на Виет

При даден един корен на квадратно уравнение, да се намери другия

Зад. №3:

Даденото число е корен на уравнението. Намерете чрез формулите на Виет, другия корен на това уравнение:

а) x² – 6x – 7 = 0, x₁ = – 1;

б) x² – 3 x + 10 = 0, x₁ = 2;

в) 7x² + 53x – 24 = 0, x₁ = ;

г) – x² – x +2 = 0, x₁ = – .

Решение:

а) Използваме която и да е от формулите на Виет (18). Например, ако x₂ е втория корен, то имаме:
x₁ x₂ = – 1.x₂ = – 7 x₂ = 7.

б) Отново използваме втората формула от формулите на Виет (18) и ако x₂ е втория корен, то имаме:

в) Отново използваме втората формула от формулите на Виет (18) и ако x₂ е втория корен, то имаме:

x₁ x₂ = x₂ = 4.

г) Отново използваме втората формула от формулите на Виет (18) и ако x₂ е втория корен, то имаме:
Проверка на посочени числа дали са корени на уравнението
Зад. №4:

Като се използват формулите на Виет, да се провери дали посочените числа n и m са корени на уравнението:
а) x² + 3x – 4 = 0, n = – 4, m = 1;

б) x² – 4x + 1 = 0, n = 2 + , m = 2 – ;

в) 8x² + 26x + 15 = 0, n = , m = ;

г) 2x² + 6x + 1 = 0, n = , m = .
Решение:

а)
- Намираме произведението и сбора на дадените числа:
  n.m = – 4.1 = – 4, n + m = – 4 + 1 = – 3.
- Прилагаме теоремата на Виет (формула 18) за даденото уравнение:
  x₁ x₂ = = – 4, x₁ + x₂ = – = – 3.
- Правим извода – Щом n.m = x₁ x₂ и n + m = x₁ + x₂, то дадените числа n и m са корени на уравнението.
б)
- Намираме произведението и сбора от дадените числа:
  n.m = (2 + )( 2 – ) = 2² – ()² = 1,
  n + m = 2 + + 2 – = 4.
- Прилагаме теоремата на Виет (формула 18) за даденото уравнение:
  x₁ x₂ = = 1, x₁ + x₂ = – = 4.
- Правим извода – Щом n.m = x₁ x₂ и n + m = x₁ + x₂, то дадените числа n и m са корени на уравнението.
в)
- Намираме произведението и сбора от дадените числа:
- Прилагаме теоремата на Виет (формула 18) за даденото уравнение:
- Правим извода – Щом n.m = x₁ x₂ и n + m ≠ x₁ + x₂, то дадените числа n и m НЕ са корени на уравнението.
г)
- Намираме произведението и сбора от дадените числа:
- Прилагаме теоремата на Виет (формула 18) за даденото уравнение:
- Правим извода – Щом n.m = x₁ x₂ и n + m ≠ x₁ + x₂, то дадените числа n и m НЕ са корени на уравнението.
Определяне знаците на корените на квадратно уравнение
(19): Корените на квадратно уравнение са положителни, ако

(20): Корените на квадратно уравнение са отрицателни, ако

(21): Корените на квадратно уравнение са с различни знаци, ако

Решена задача
Зад. №5:

Определете броя на реалните корени на уравнението и ако има корени определете техните знаци:

а) x² – 10x + 7 = 0;

б) x² + 3 x + 10 = 0;

в) 4x² – 3x + 1 = 0;

г) x² – 6x – 160 = 0;

д) x² – 2 x + 2 = 0.
Решение:

а)
- Определяме знака на дискриминантата:
  D = (– 10)² – 4.7 = 100 + 28 = 128 > 0,
  т.е. уравнението има два реални корена.
- Използваме формули от (19) до (21) и формулите на Виет, за да определим знаците на корените:
  
  x₁ x₂ = = 7 > 0.
  
  x₁ + x₂ = – = 10 > 0.
  
  От формула (19) следва, че двата корена са положителни.
б)
- Определяме знака на дискриминантата:
  D = (3)² – 4.10 = 45 – 40 = 5 > 0,
  т.е. уравнението има два реални корена.
- Използваме формули от (19) до (21) и формулите на Виет, за да определим знаците на корените:
  
  x₁ x₂ = = 10 > 0.
  
  x₁ + x₂ = – = – 3 < 0.
  
  От формула (20) следва, че двата корена са отрицателни.
в)
- Определяме знака на дискриминантата:
  D = (– 3)² – 4.4.1 = 9 – 16 = – 7 < 0,
  т.е. уравнението няма реални корени.
г)
- Определяме знака на дискриминантата:
  D = (– 6)² – 4.(– 160) = 36 + 640 = 676 > 0,
  т.е. уравнението има два реални корена.
- Използваме формули от (19) до (21) и формулите на Виет, за да определим знаците на корените:
  
  x₁ x₂ = = – 160 < 0.
  
  От формула (21) следва, че двата корена имат различни знаци.
д)
- Определяме знака на дискриминантата:
  D = (–2)² – 4. . 2 = 40 – 40 = 0,
  т.е. уравнението има два равни реални корена.
- Използваме формули от (19) до (21) и формулите на Виет, за да определим знаците на корените:
  
  x₁ x₂ = = 2 > 0.
  
  x₁ + x₂ = – = 2 > 0.
  
  От формула (19) следва, че коренът е положителен.
Съставяне на квадратно уравнение, чиито корени са зададени предварително
Зад. №6:

Като се използват формулите на Виет, да се провери дали посочените числа n и m са корени на уравнението:

а) – 8 и 6;

б) и – ;

в) 2 + и 2 – .
Решение:

За всички подточки търсим уравнение от вида x² – px + q = 0.

а)
- С дадените числа намираме коефициентите:
  
  p = – 8 + 6 = – 2,
  
  q = – 8 . 6 = – 48.
- Съставяме уравнението:
  x² – px + q = 0 x² – (– 2)x + (– 48) = 0 x² + 2x – 48 = 0.
б)
- С дадените числа намираме коефициентите:
  
  ;
  
  .
- Съставяме уравнението:
  x² – px + q = 0 x² – = 0 35x² – 18x – 8 = 0.
в)
- С дадените числа намираме коефициентите:
  
  p = 2 + + 2 – = 4,
  
  q = (2 + )(2 – ) = 1.
- Съставяме уравнението:
  x² – px + q = 0 x² – 4x + 1 = 0 x² – 4x + 1 = 0.
Пресмятане на израз, в който участват корените на квадратно уравнение.
Зад. №7:

Без да намирате корените x₁ и x₂ на уравнението x² +2x – 7 = 0, пресметнете стойността на израза:

а) x₁²x₂ + x₁x₂²;

б) ;

в) (x₁ – x₂)²;

г) x₁ – x₂, ако x₁ > x₂;

д) x₁³ + x₂³.
Решение:

Използваме формулите на Виет:
x₁x₂ = – 7; x₁ + x₂ = – 2.

а) Изнасяме пред скоба и заместваме:
x₁²x₂ + x₁x₂² = x₁x₂(x₁ + x₂) = – 7.(– 2) = 14.

б)
- Привеждаме под общ знаменател:
  .
- За числител използваме допълнителната формула (14) от формулите за съкратено умножение:
  .
- Заместваме от формулите на Виет:
  .
в) От формулите за съкратено умножение използваме формули (2) и (14) след това заместваме с формулите на Виет:
(x₁ – x₂)² = x₁² – 2x₁x₂ + x₂² = x₁² + x₂² – 2x₁x₂ = (x₁ + x₂)² – 2x₁x₂ – 2x₁x₂ = (x₁ + x₂)² – 4x₁x₂ = (– 2)² – 4.( – 7) = 4 + 28 = 32.

г) Във формулите на Виет нямаме разлика от двата корена, затова с помощта на формула (9), внасяме израза под корен и използваме резултата от подточка в):

д) От формулите за съкратено умножение използваме формули (6) и (14):
x₁³ + x₂³ = (x₁ + x₂)(x₁² – 2x₁x₂ + x₂²) = (x₁ + x₂)(x₁² + x₂² – 2x₁x₂) = (x₁ + x₂) [((x₁ + x₂)² – 4x₁x₂] = (– 2)² [(– 2)² – 4.( – 7)] = 4 . 32 = 128.