O – Уравнение от вида ax + b = 0, където a и b са реални числа.
Линейните уравнения може да се решават и графично. За подробности виж точка VI. Графично представяне решенията на линейно и квадратно уравнение от тема „Функции. Линейна функция. Квадратна функция“.
Решенията на уравнението ax + b = 0 зависят от константата a:
Като пример вижте Зад. 1, Зад. 2, Зад. 12.
O – Уравнения от вида
(1): ax2 + bx + c = 0, където a ≠ 0, b и c са реални коефициенти.
Лявата страна на квадратното уравнение (1) се нарича квадратен тричлен.
(2): При c = 0 уравнението е ax2 + bx = 0.
(3): При b = 0 уравнението е ax2 + c = 0.
(4): При b = 0 и c = 0 уравнението е ax2 = 0.
(5): При a ≠ 0, изразът D = b2 – 4ac се нарича дискриминанта.
(6): Ако a ≠ 0 и b е четно число, тогава отбелязваме k = и дискриминантата се намира по формулата D1 = k2 – ac.
(7): Ако , то решенията са x1/2 = .
Ако разсъждаваме графично, виж Таблица 1 от „Свойства на квадратната функция“, корените x1 и x2 са точките, в които параболата пресича абсцисната ос.
(8): Ако е b четно число решенията се определят по кратката формула x1/2 = , където D1 = k2 – ac.
(9): Ако , то решенията са x = x1 = x2 = .
Ако разсъждаваме графично, виж Таблица 1 от „Свойства на квадратната функция“, коренът x е точката, в която параболата се допира до абсцисната ос.
(10): Ако , то уравнение (1) няма реални корени.
Ако разсъждаваме графично, виж Таблица 1 от „Свойства на квадратната функция“, , то квадратното уравнение (1) няма решение, защото параболата е над (или под) абсцисната ос.
Нека x1 и x2 са корени на пълното квадратно уравнение (1), то лявата му страна може да се разложи на множители, ако:
(11): D > 0, тогава имаме ax2 + bx + c = a (x – x1)(x – x2);
(12): D = 0, тогава имаме ax2 + bx + c = a (x – x1)2;
(13): D < 0, квадратният тричлен не се разлага на множители.
(14): (x – n) (x – m) = 0, където n = x1, m = x2.
Решенията на това уравнение са линейните уравнения
(15): x – n = 0 и x – m = 0.
O – Уравнения от вида
(16): ax4 + bx2 + c = 0, където a ≠ 0, b и c са реални коефициенти.
(17): ax4 + bx2 + c = (x2 – y1)(x2 – y2).
Разлагаме на множители и решаваме пълно квадратно уравнение от вид (14).
Решение:
а) Уравнението е в готов вид (14) и затова се разпада на три уравнения:
x1 = , x2 = – 3 и x3 =
.б)
x1 = 0, x2 = – 2 и x3 = 1
.в)
x = 1
.Решение:
а)
x1/2 = 1 ± , x3 = 3 и x4 = – 1
.б)
I начин:
x1 = – 1, x2 = 4, x3 = 1 и x4 = 2
.II начин:
x1 = – 1, x2 = 4, x3 = 1 и x4 = 2
.Формулите на Виет изразяват зависимостите между коефициентите на дадено квадратно уравнение и неговите корени.
Ако квадратното уравнение (1) има корени x1 и x2, то
(18): x1 + x2 = – и x1 . x2 = .
Формулите на Виет се отнасят не само за реални, но и за комплексни числа. Ние в училище разглеждаме само реални числа. Това означава, че при решаването на задачи трябва да проверим дискриминантата дали е неотрицателна!!! Така гарантираме, че работим в областта на реалните числа.
Ако за числата x1 и x2 са верни равенствата p = x1 + x2 и q = x1.x2, тогава x1 и x2 са корени на квадратното уравнение x2 – px + q = 0.
(19): Корените на квадратно уравнение са положителни, ако
(20): Корените на квадратно уравнение са отрицателни, ако
(21): Корените на квадратно уравнение са с различни знаци, ако
Върни се нагоре Начало Предходен Следващ
Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.
Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.
Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание