Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

Вие сте тук:   || Функции. Квадратни неравенства - теория


Функции. Линейна функция. Квадратна функция. Квадратни неравенства. Неравенства от по-висока степен


Теория

I. Функции

Зависимостта, при която една величина y зависи от изменението на друга величина x.

Правилото f (Фиг.1), посредством което на всяка стойност на x се съпоставя точно една стойност на y, се нарича функция и обикновено се отбелязва с y = f(x).

Величината x наричаме аргумент, а величината y – функция.

Стойностите, които може да заема аргумента, се наричат дефиниционно множество (ДМ) или дефиниционна област на функцията.

Множеството от стойности, които може да заема y (Фиг. 1).

Бележка:

Функционалното множеството (ФМ) е интервалът от числа, намиращи се между най-малката стойност (НМС) и най-голямата стойност (НГС) на функцията f (x).

За да бъде определена една функция, трябва да са дадени:

  • Дефиниционното ѝ множество ДМ.
  • Правилото f, което съпоставя на всяко x ДМ точно едно определено y ФМ.
  • Таблично – Задава се чрез стойностите на наредената двойка (x, y), където y = f (x). Таблицата обикновено се попълва опитно или чрез наблюдение, т.е. в даденото правило задаваме стойности на аргумента x и получаваме стойностите на функцията f (x).
  • Аналитично – Когато правилото f е зададено чрез формула. Например:

    y = f (x) = 2x2 – 1; y =

    Ако нищо не е казано за ДМ на функцията y = f(x), се смята, че тя се състои от всички стойности на аргумента x, за които могат да се извършат действия посочени във формулата.

  • Словесно – Когато правилото f, е описано с думи. Например: На всяко x съпоставяме най-голямото ненадминаващо го цяло число, т.е. при x = 1,4 имаме y = 1, при x = – 1,4 имаме y = – 2.
  • Графично – Графика на функцията y = f(x) се нарича множеството от всички точки с координати (x, y = f(x)), където x ДМ, определени в правоъгълна координатна система.

    Всяка функция има графика.

Една функция y = f(x), където x ДМ, се нарича константа, ако за всяка стойност на x функцията приема една и съща стойност и се записва f(x) = const. В зависимост от дефиниционното множество графиката на константната функция f(x) = const е точка, права или отсечка.

II. Линейна функция

O – Функцията от вида y = f(x) = ax + b, където константата a се нарича ъглов коефициент, а константата b – свободен член.

В общия случай ДМ на линейната функция са всички реални числа.

  • Графиката на всяка линейна функция е права линия (Фиг. 2).
  • При a ≠ 0 и b ≠ 0 графиката на линейната функция пресича абсцисната ос в точка M и ординатната ос в точка N (0; b).
  • При a = 0 и b ≠ 0 линейната функция има вида y = b. Такава функция се нарича константа. Графиката на константата е успоредна на оста Ох и минава през точка N (0; b).
  • При a = b = 0 графиката съвпада с оста Ох.
  • Константата a (ъгловият коефициент) се намира от ΔMON (Фиг. 2) и е равна на тангенса на ъгъл α, т.е. a = tg α.
  • Константата b се представя графично с дължината на отсечката ON (Фиг. 2).
  • Линейна функция от вида y = ax се нарича права пропорционалност. Графиката на правата пропорционалност е права линия, която минава през центъра на координатната система (Фиг. 2).
  • Графиката на функцията y = ax (Фиг. 2) при
    • a > 0 е разположена в I и III квадрант, като при a = 1 е ъглополовящата им;
    • a < 0 е разположена в II и IV квадрант, като при a = – 1 е ъглополовящата им.
  • растяща функция Oпределение – Ако при нарастване на стойностите на x, нарастват и тези на функцията y, т.е. ако x1 < x2 (Фиг. 3), то f (x1) < f (x2).
  • Как определяме растящата функция – Ако a > 0, то линейната функция y = f(x) = ax + b (a ≠ 0) е растяща за всяко x.
  • Пресечни точки на графиката на растяща функция с координатните оси (Фиг. 3):
    • Оста x – Ако една точка лежи върху оста x, то y координатата ѝ е 0, т.е. функцията y = f(x) пресича абсцисната ос в точка M с координати M (x; 0), където x = – .
    • Оста y – Ако една точка лежи върху оста y, то x координатата ѝ е 0, т.е. функцията y = f(x) пресича ординатната ос в точка N с координати N (0; y), където y = b.
  • намаляваща функция Oпределение – Ако при нарастване на стойностите на x, то функцията y намалява, т.е. ако x1 < x2 (Фиг. 4), то f (x1) > f (x2).
  • Как определяме намаляващата функция – Ако a < 0, то линейната функция y = f(x) = ax + b (a ≠ 0) е намаляваща за всяко x.
  • Пресечни точки на графиката на намаляваща функция с координатните оси (Фиг. 4):
    • Оста x – По подобен начин както при растяща функция определяме, че намаляващата функцията y = f(x) пресича абсцисната ос в точка M с координати M (x; 0), където x = – .
    • Оста y – Намаляващата функция y = f(x) пресича ординатната ос в точка N с координати N (0; y), където y = b.
Бележка:

Ако функция е растяща или намаляваща в даден интервал, казваме, че тя е монотонна в този интервал.

  • Графиките се пресичат:
    • Условие за пресичане – Графиките на линейните функции y1 = a1x + b1 и y2 = a2x + b2 се пресичат, ако a1 ≠ a2.
    • Координати на пресечната им точка – Решенията на уравнението y1 = y2 са x координатата на пресечната им точка, а y координатата се получава, когато заместим с полученото x в една от функциите.
  • Графиките се успоредни – Графиките на линейните функции y1 = a1x + b1 и y2 = a2x + b2 са успоредни, ако a1 = a2 и b1 ≠ b2.

  Решени задачи

III. Квадратна функция

O – Функция от вида

(1): y = f(x) = ax2 +bx +c, a ≠ 0.

В общия случай квадратната функция има ДМ: x (– ∞; + ∞).

  • Свойство 1 – Графиката на квадратната функция е парабола. Ако коефициентът a > 0, параболата е с върха надолу (Фиг. 5). Ако коефициентът a < 0, параболата е с върха нагоре (Фиг. 6).
    • Връх на параболата – Върхът на параболата на квадратната функция (1) е точката V (xv; yv), където xv = – , yv = f (xv) = – .
    • Пресечни точки на параболата с:
      • абсцисната ос – Параболата пресича абсцисната ос в точки с y координатата равна на 0, тогава x координатите са равни на решенията на квадратното уравнение f (x) = 0. Ако решенията на квадратното уравнение f (x) = 0 са x1 и x2, то на Фиг. 7 точките са M1 (x1; 0) и M2 (x2; 0).
      • ординатната ос – Параболата пресича ординатната ос в точка с x координатата равна на 0, а y координатата получаваме като намерим f (0). На Фиг. 7 това е точката N (0; f(0)).
    • Ос на симетрия на параболата (Фиг. 5) – права, успоредна на оста Oy и минаваща през върха на параболата.
  • Свойство 2 – От Фиг. 5 и Фиг. 6 се вижда, че при a > 0 квадратната функция е намаляваща в интервала и растяща в интервала . При a < 0 квадратната функция е растяща в интервала и намаляваща в интервала .
  • Свойство 3 – От Фиг. 5 и Фиг. 6 се вижда, че при a > 0 квадратната функция има най-малка стойност (НМС), която приема при x = – , но няма най-голяма стойност (НГС). При a < 0 квадратната функция има най-голяма стойност (НГС), която приема при x = – , но няма най-малка стойност (НМС).
  • Свойство 4 – На Таблица №1 е показано изменението на знака на квадратната функция f(x) в зависимост от D и a:дискриминанта и a

  Решени задачи

IV. Квадратно неравенство

O – Неравенство при което от дясната страна имаме нула, а отляво – квадратна функция, т.е.

(2): ax2 + bx +c > 0, където a ≠ 0, b и c са реални коефициенти.

  • Графичен начин:

    Нека да имаме неравенството ax2 + bx +c > 0.

    Правило
    решения квадратно неравенство
    Бележка:

    Таблица № 2 може да приложим и за неравенството ax2 + bx +c < 0, ако умножим двете му страни с “– 1”. За да не умножаваме всеки път с “– 1”, можем да определим знака на a по следния начин:

    • a > 0, ако знакът пред x2 и знакът на неравенството съвпадат;
    • a < 0, ако знакът пред x2 и знакът на неравенството са различни.
  • Алгебричен начин:
    Правило
  • Метод на интервалите:
    Правило
    Бележка:

    При намирането на корените x1 и x2 в стъпка 1, ако сме получили D = 0 или D < 0, то е по-удобно да използваме графичния начин за решаване, а не метода на интервалите.

  Решени задачи

V. Неравенства от по-висока степен

O – Неравенство при което от дясната страна имаме нула, а отляво – многочлен от трета или по-висока степен.

  • Метод на интервалите

    Най-често се използва метода на интервалите, който разгледахме при квадратни неравенства, но леко променен:

    Правило
  • Частни случаи на метода на интервалите:
    • числото е на квадрат (или е на четна степен);
    • след нулирането корените се повтарят;
    • след нулирането уравнението няма решение.
  • Решения на неравенство с частните случаи на метода на интервалите – В стъпка 3, при накъсване на ДМ на интервали, числото идващо от частните случаи не се включва в интервалите.

  Решени задачи

VI. Графично представяне решенията на линейно и квадратно уравнение

Начертаваме графиката на линейната функция y = f (x) = ax + b и решенията на линейното уравнение ax + b = 0 са абсцисите на пресечните точки на графиката на функцията y = f (x) = ax + b с оста Ox.

Решенията на квадратното уравнение се определят от Свойство 1 на квадратната функция, т.е. параболата (графиката на квадратната функция f(x)) пресича абсцисната ос в точки с x координати, равни на решенията на квадратното уравнение f (x) = 0.

Правило за графично представяне решенията на квадратно уравнение
Бележка:

От свойствата на квадратната функция (Таблица 1) следва, че квадратното уравнение може да има:

  • Две решения – когато D > 0 и a > 0 (или a < 0).
  • Едно решение – когато D = 0 и a > 0 (или a < 0).
  • Няма решение – когато D < 0 и a > 0 (или a < 0).

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 классамоподготовка по математика за 10 класуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 0888 919 954 (вечер), г-н. Станев.

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание