Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

Системи линейни неравенства с едно неизвестно. Модулни уравнения и неравенства. Ирационални уравнения

Съдържание на темата:

Системи линейни неравенства с едно неизвестно. Двойно неравенство
Модулни уравнения
Модулни неравенства
Ирационални изрази
Ирационални уравнения

Теория

I. Системи линейни неравенства с едно неизвестно. Двойно неравенство

Система линейни неравенства с едно неизвестно

Oпределение – Две или повече от две линейни неравенства, които се решават заедно, т.е. търсим общите им решения.
Начин за решаване
Правило за решаване на системи линейни неравенства с едно неизвестно
1. Решаваме едното неравенство и нанасяме решенията му на числовата ос.
2. Решаваме другите неравенства и нанасяме решенията им върху същата числова ос.
3. Избираме тези от решенията, които са общи за всички неравенства, т.е. намираме сечението от получените интервали.

Двойно неравенство

Oпределение – Неравенство от вида:
a₁x + b₁ < a₂x + b₂ < a₃x + b₃, където a₁, a₂, a₃, b₁, b₂ и b₃ са числа.

Бележка:

При изписването на двойното неравенство, може да се използва всеки друг знак за неравенство, но всички знаци трябва да бъдат с еднакви посоки.

Решени задачи

II. Модулни уравнения

Модул (абсолютна стойност)

Oпределение – Върху числовата ос, модулът от едно число е разстоянието на това числа до нулата. Например, ако имаме числото – 3, то |– 3| = 3, защото разстоянието на – 3 до 0 е равно на 3. Това означава, че |– 3| = |+ 3| = 3. От това определение следва, че
(1): |a| ≥ 0, за всяко a.
Свойства:
(2): |a – b| = |b – a|.

(3): |– a – b| = |a + b|.

Модулни уравнения

Oпределение – Уравнения от вида:

(4): |A| = B, където A и B са числа или израз (едночлен или многочлен).

Решаване на модулни уравнения

Решенията на модулното уравнение (4) зависят от знака на B:

Ако B е положително число, т.е. B > 0 разписваме и решаваме двете уравнения:
(5): A = B или A = – B.
Ако B = 0 разписваме и решаваме едно уравнение:
(6): A = 0.
Ако B < 0, то модулното уравнение (4) няма решение.

Бележка:

От казаното по-горе следва, че решенията на неравенството B ≥ 0 определят кога модулното уравнение (4) има или няма решение.

Решени задачи

III. Модулни неравенства

Неравенство от вида |ax + b| < c, където a ≠ 0

Това неравенство се решава в зависимост от числото c.

(7): Ако c > 0, то решаваме системата

Ако c ≤ 0, то неравенството няма решение.

Бележка:

Ако имаме неравенството |ax + b| ≤ c, то:

при c ≥ 0 решенията са – c ≤ ax + b ≤ c;
при c < 0 няма решение.

Неравенство от вида |ax + b| > c, където a ≠ 0

Това неравенство се решава в зависимост от числото c.

(8): Ако c > 0, то е изпълнено ax + b > c или ax + b < – c.

Ако c = 0, то решенията са всяко x ≠ – , a ≠ 0.

Ако c < 0, то всяко x е решение на неравенството.

Бележка:

Ако имаме неравенството |ax + b| ≥ c, то:

при c > 0 имаме ax + b ≥ c или ax + b ≤ – c;
при c ≤ 0 всяко x е решение.

Решени задачи

IV. Ирационални изрази

Определение

O – Алгебричен израз, при който неизвестното е под знака за корен.

Нормален вид

Oпределение – Когато не съдържа корен в знаменател и няма множители, които могат да се изнесат.
Примери:
- Нормален вид: 11.
- Не са в нормален вид: .

Коефициент

Множителят, който се намира пред корена. Например: Израза 4x² има коефициент 4x².

Подобни рационални изрази

Изрази, които в нормалният си вид имат еднакви подкоренни величини.

Правило за определяне подобието на рационални изрази:

Привеждаме рационалните изрази в нормален вид, ако те не са.
Сравняваме подкоренните им величини.

Допустими стойности ДС (или дефиниционно множество ДМ)

Множеството от всички стойности на променливите, за които подкоренните величини са неотрицателни и знаменателите са различни от нула.

Бележка:

Всяка стойност на променливата, за която изразът има смисъл, се нарича допустима стойност (ДС) на израза. Множеството от всички допустими стойности образуват дефиниционното множество (ДМ) на израза, т.е. множеството от ДС и дефиниционното множество ДМ на даден израз е едно и също нещо.

Решена задача №1

Действия с ирационални изрази

Математически действия – За събиране, изваждане, умножение, делене, степенуване на ирационални изрази използваме същите правила и формули, които се използват при съответните действия с квадратни корени.
Рационализиране – Използваме същите правила и формули, които използваме при рационализиране на квадратни корени.
Полезна формула – Ако имаме дроб намираща се под квадратен корен и се налага да сменим числител със знаменател, може да използваме следната формула:

Решена задача №2

V. Ирационални уравнения

Определение

O – Уравнение, при което неизвестното е под знака за корен.

Основен вид

Уравнение от вида

(10): = B, където A е израз съдържащ неизвестно (едночлен или многочлен), а B е число или израз.

Дефиниционно множество (ДМ)

(11): .

Начини за решаване

I начин – Правило:

Преобразуваме уравнението до вид (10).
Повдигаме двете му страни на квадрат.
Намираме корените на полученото уравнение.
Заместваме всеки корен в даденото уравнение и проверяваме дали се получава вярно равенство.

II начин – Правило:

Преобразуваме уравнението до вид (10).
Съставяме системата:
(12): .
Решенията на тази система са решения на ирационалното уравнение (10).

Бележка:

Може да не се решава системата в стъпка 2 от II начин. Достатъчно е да решим уравнението A = B². За всеки корен x₀ на това уравнение проверяваме знака на В:

ако B ≥ 0, то числото x₀ е решение на ирационалното уравнение;
ако B < 0, то числото x₀ НЕ е решение на ирационалното уравнение.

Някои видове ирационални уравнения

Решаване на ирационално уравнение с един корен (радикал) и число.
Решена задача №1
Решаване на ирационално уравнение с един корен (радикал), но извън корена също има неизвестно.
Решена задача №2
Решаване на ирационално уравнение с два квадратни радикала.
Решена задача №3
Решаване на уравнение, което не е ирационално, но съдържа корен радикал.
Решена задача №4
Решаване на ирационално уравнение чрез полагане.
Решена задача №5