Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

Вие сте тук:   || Системи неравенства. Ирационални уравнения–теория || Системи неравенства. Ирационални уравнения - задачи



I. Системи линейни неравенства с едно неизвестно. Двойно неравенство

  Теория

Решени задачи

Зад. №1:
Да се реши системата:

системи неравенства, двойни неравенства

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а)

  • Решаваме всяко от линейните неравенствата:
    • 2(x + 4) – 3(4x – 3) < 16 2x + 8 – 12x + 9 < 16 – 10x < – 1 | . (– 1) 10x > 1 x > .
    • 4(x + 1) – 3x ≤ 5 x ≤ 1.
  • Изобразяваме решенията им върху една числова ос:
  • Общите решения (затъмнената част от чертежа) са числата < x ≤ 1 или x ; 1], т.е. решенията на дадената система са x ; 1].

б)

  • Решаваме всяко от линейните неравенствата:
    • 4x – 3(x + 1) ≥ 4 4x – 3x – 3 ≥ 4 x ≥ 7.
    • 3(x + 1) > 12 3x + 3 > 12 x > 3.
  • Изобразяваме решенията им върху една числова ос:
  • Общите решения (затъмнената част от чертежа) са числата x [7; + ∞), т.е. решенията на дадената система са x [7; + ∞).

в)

  • Решаваме всяко от линейните неравенствата:
    • 1 – 2x ≥ 3 – 2x ≥ 2 | . (– 1) 2x ≤ – 2 x ≤ – 1.
    • 5x + 3 ≥ – 2 5x ≥ – 2 – 3 x ≥ – 1.
  • Изобразяваме решенията им върху една числова ос:
  • Виждаме, че само x = – 1 е общо решение, т.е. решението на системата е x = – 1.

г)

  • Решаваме всяко от линейните неравенствата:
    • 1 – 2x > 3 – 2x > 2 | . (– 1) 2x < – 2 x < – 1.
    • 5x + 3 ≥ – 2 5x ≥ – 2 – 3 x ≥ – 1.
  • Изобразяваме решенията им върху една числова ос:
  • В този случай x = – 1 е решение само на второто неравенство, но не е решение на първото. Това означава, че двете неравенства нямат общи решения, т.е. системата няма решение или x ∅.

д)

  • Решаваме всяко от линейните неравенствата:
    • x + 1 < x x – x < – 1 0.x < – 1, т.е. няма решение.
    • Второто неравенство е излишно да го решаваме.
  • Щом едно от неравенствата в системата няма решение, то и цялата система няма решение, като записваме x ∅.

е)

  • Решаваме всяко от линейните неравенствата:
    • – a ≤ 5 5a + 1 – 5a ≤ 25 5a– 5a ≤ 25 – 1 0.a ≤ 24, т.е. всяко a е решение.
    • – 2 > 0 2 – 3a – 14 > 0 – 3a > 12 | : (– 3) a < – 4, т.е. a (– ∞; – 4).
  • Ако едно от неравенствата в системата има решение всяко число, то решенията на цялата система са решенията на другото неравенство, затова дадената система има решение a (– ∞; – 4).

Зад. №2:
Решете двойното неравенство:
а) x – 3 < 2x < 3x + 3;
б) 2x – 3 ≤ 3x – 4 ≤ 3 – 4x;
в) .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

От даденото двойно неравенство разпишете система и я решете.

а) Даденото двойно неравенство се записва като система:

.

  • Решаваме всяко от линейните неравенствата:
    • x – 3 < 2x x > – 3.
    • 2x < 3x + 3 x > – 3.
  • Двете неравенства имат едно и също решение. Това означава, че решенията на двойното неравенство (решенията на системата) са x (– 3; + ∞).

двойни неравенства

Върни се в теорията  


II. Модулни уравнения

  Теория

Решени задачи

Зад. №1:
Решете модулните уравнения:
а) |x2 – 7x – 4| = 4;
б) |1 – x3| = 0;
в) |4x2 – 9x4| = – 3;
г) 2|3x – 1| – 5|1 – 3x| = – 12;
д) |2x + 5| + |– 10 – 4x| = 9.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а) Даденото модулно уравнение е в основен вид (4), като B = 4 > 0 и за решаването му прилагаме формула (5):

  • x2 – 7x – 4 = 4 x2 – 7x – 8 = 0, D = 81, x1 = – 1, x2 = 8.
  • или

  • x2 – 7x – 4 = – 4 x2 – 7x = 0 x(x – 7) = 0, x3 = 0, x4 = 7.
  • Отговор: Даденото модулно уравнения има четири решения: x1 = – 1, x2 = 8, x3 = 0, x4 = 7.

б) Даденото уравнение е в основен вид (4), като B = 0 и затова прилагаме формула (6):

  • 1 – x3 = 0.
  • От подходяща формула за съкратено умножение получаваме:
    (1 – x)(1 + x + x2) = 0.
  • Това уравнение се разпада на две уравнения:
    • 1 – x = 0 x = 1.
    • 1 + x + x2 = 0 x2 + x + 1 = 0, D = – 3 < 0, т.е. уравнението няма решение.
  • Отговор: Даденото модулно уравнения има едно решение x = 1.

в) Даденото уравнение е в основен вид (4), като B < 0 и затова правим извода, че даденото модулно уравнение няма решение.

г)

  • Използваме свойство на модула (формула 2), за да сведем даденото уравнение в основен вид (4):
    2|3x – 1| – 5|1 – 3x| = – 12 2|3x – 1| – 5|3x – 1| = – 12 – 3|3x – 1| = – 12 | : (– 3) |3x – 1| = 4.
  • При така полученото уравнение B = 4 > 0 и затова прилагаме формула (5):
    • 3x – 1 = 4 3x = 4 + 1 3x = 5 x1 = .
    • или

    • 3x – 1 = – 4 3x = – 4 + 1 3x = – 3 x2 = – 1.
  • Отговор: Решенията на даденото модулно уравнения са: x1 = , x2 = – 1.

д)

  • Използваме свойство на модула (формула 3), за да сведем даденото уравнение в основен вид (4):
    |2x + 5| + |– 10 – 4x| = 9 |2x + 5| + 2|2x + 5| = 9 3|2x + 5| = 9 |2x + 5| = 3.
  • При така полученото уравнение B = 3 > 0 и затова прилагаме формула (5):
    • 2x + 5 = 3 2x = 3 – 5 2x = – 2 x1 = – 1.
    • или

    • 2x + 5 = – 3 2x = – 3 – 5 2x = – 8 x2 = – 4.
  • Отговор: Решенията на даденото модулно уравнения са: x1 = – 1, x2 = – 4.

Върни се в теорията  


III. Модулни неравенства

  Теория

Решени задачи

Зад. №1:
Намерете решенията на неравенството:
а) 5 – |1 – 3x| > 0;
б) |1 – 2x| < 0;
в) |4x – 9| < – 3;
г) 5 – |1 – 3x| ≥ 0;
д) |1 – 2x| ≤ 0;
е) |4x – 9| ≤ – 3;
ж) |3x – 3| > 6;
з) |2x + 5| > 0;
и) |2x – 7| > – 13;
к) |3x – 3| ≥ 6;
л) |2x + 5| ≥ 0;
м) |2x – 7| ≥ – 13.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте подходящо правило за решаването на съответния вид модулно неравенство.

а)

  • Преобразуваме неравенството до основен вид:
    5 – |1 – 3x| > 0 – |1 – 3x| > – 5 | . (– 1) |1 – 3x| < 5.
  • Използваме формула (7) и c = 5 > 0:
    модулно неравенство
  • Изобразяваме решенията върху числовата ос:
  • Решенията на даденото неравенство са x (– ; 2).

б) Неравенството е в основен вид и c = 0, тогава от формула (7) следва, че неравенството няма решение.

в) Неравенството е в основен вид и c < 0, тогава от формула (7) следва, че неравенството няма решение.

г)

  • В подточка а) преобразувахме неравенството до основен вид:
    5 – |1 – 3x| ≥ 0 |1 – 3x| ≤ 5.
  • Използваме формула (7) и c = 5 > 0:
  • Изобразяваме решенията върху числовата ос и получаваме, че решенията на даденото неравенство са x [– ; 2].

д)

  • Неравенството е в основен вид, но c = 0, тогава от формула (7) записваме:
  • Изобразяваме решенията върху числовата ос:
  • От чертежа се вижда, че решението е само x = .

е) Неравенството е в основен вид, но c < 0, тогава от формула (7) следва, че неравенството няма решение.

ж) Неравенството е в основен вид и c = 6 > 0, тогава от формула (8) записваме две неравенства:

  • 3x – 3 > 6 3x > 6 + 3 x > 3, т.е. x (3; + ∞).
  • или

  • 3x – 3 < – 6 3x < – 6 + 3 x < – 3, т.е. x (– ∞; – 3).
  • Записваме решенията на даденото неравенство, като подреждаме получените интервали по големина на числата и записваме x (– ∞; – 3) (3; + ∞).

з) Неравенството е в основен вид и c = 0, тогава от формула (8) следва, че неравенството има решение при:

2x + 5 ≠ 0 2x ≠ – 5 x ≠ – .

Т.е. решенията са всяко x ≠ – .

и) Неравенството е в основен вид и c < 0, тогава от формула (8) следва, че всяко x е решение на даденото неравенство.

к) Неравенството е в основен вид и c = 6 > 0, тогава от формула (8) записваме две неравенства:

  • 3x – 3 ≥ 6 x ≥ 3, т.е. x [3; + ∞).
  • или

  • 3x – 3 ≤ – 6 x ≤ – 3, т.е. x (– ∞; – 3].
  • Записваме решенията на даденото неравенство, като подреждаме получените интервали по големина на числата и записваме x (– ∞; – 3] [3; + ∞).

л) Неравенството е в основен вид и c = 0, тогава от формула (8) следва, че неравенството има решение за всяко x.

м) Неравенството е в основен вид и c < 0, тогава от формула (8) следва, че неравенството има решение за всяко x.

Върни се в теорията  


IV. Ирационални изрази

  Теория

Дефиниционно множество ДМ - решени задачи

Зад. №1:
Намерете дефиниционното множество на израза:
а) ;
б) .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а) Имаме два корена и техните подкоренни величини трябва да бъдат неотрицателни.

б) Отново имаме два корена, но единият е в знаменател, а знаменателят трябва да е различен от 0.

дефиниционно множество

Върни се в теорията  


Действия с ирационални изрази - решени задачи

Зад. №2:
Преобразувайте израза и пресметнете числената му стойност при x = 0,25:
а) A = ;
б) B = ;
в) C = .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а)

  1. Опростете знаменателя и след това главната дробна черта я заместваме със знак за делене.
  2. Изнесете множител пред корен (формула 8), като използвате това, че x < 3.
  3. Приложете правилото за делене на дроби.
  4. Заместете с дадената стойност на x.

б) Извършваме действието в скобата и правилото за делене на дроби.

а)

преобразуваме рационален израз

Върни се в теорията  


V. Ирационални уравнения

  Теория

Уравнение с един корен (радикал) и число - решени задачи

Зад. №1:
Решете уравнението:
а) 2 = 1;
б) 4 + = 7;
в) 3 – = 6.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а) Приложете I начин за решаване на ирационалното уравнение.

б) и в) Първо преобразувайте ирационалното уравнение до основен вид и след това приложете подходящ начин за решаването му.

а)

  • Независимо от това, че пред корена има число, то може да смятаме, че ирационалното уравнение е в основен вид (10) и да приложим I начин за решаването му:
    (2)2 = 12 4(x + 5) = 1 x = – .
  • Вместо да заместваме в даденото уравнение (стъпка 4 от I начин), ще проверим дали подкоренната величина е по-голяма или равна на нула:
    x + 5 = – + 5 = > 0.
  • Отговор: x = – е решение на даденото уравнение.

б)

  • Преобразуваме уравнението до основен вид (10) и прилагаме I начин за решаването му:
    4 + = 7 = 7 – 4 = 3 ()2 = 32 x2 – 7 = 9 x2 – 16 = 0 (x – 4)(x + 4) = 0, x1 = 4, x2 = – 4.
  • Вместо да заместваме в даденото уравнение (стъпка 4 от I начин), ще проверим дали подкоренната величина е по-голяма или равна на нула:
    • при x1 = 4 x2 – 7 = 42 – 7 = 16 – 7 > 0.
    • при x2 = – 4 x2 – 7 = (– 4)2 – 7 = 16 – 7 > 0.
  • Отговор: Уравнението има две решения: x1 = 4 и x2 = – 4.

в)

  • Преобразуваме уравнението до основен вид (10):
    3 – = 6 = 6 – 3 = 3 | . (– 1) = – 3.
  • Дясната страна на това уравнение е отрицателно число и от дефиниционното множество (формула 11) се вижда, че не се изпълнява условието B ≥ 0. Това означава, че даденото уравнение няма решение.

Върни се в теорията  


Уравнение с един радикал и неизвестно извън корена - решени задачи

Зад. №2:
Решете уравнението:
а) = 2x;
б) 2x – = 5;
в) = – x, при x ≠ 1.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте подходящ начин за решаването на ирационалните уравнения.

а) Ще решим това уравнение по два начина.

I начин:

ирационално уравнение

II начин:

  • Уравнението е в основен вид (10).
  • Съставяме системата:
  • Решаваме само уравнението в тази система, което е непълно квадратно уравнение:
    5x2 – 4 = (2x)2 x2 – 4 = 0, x1 = 2, x2 = – 2.
  • За всеки корен проверяваме неравенството от системата:
    • при x1 = 2 2x = 2.2 = 4 > 0, т.е. x1 = 2 е решение на даденото уравнение.
    • при x2 = – 2 2x = 2.(– 2) = – 4 < 0, т.е. x2 = – 2 НЕ е решение на даденото уравнение.
  • Отговор: Даденото уравнение има само едно решение: x = 2.

б)

  • Преобразуваме даденото уравнение до основен вид (10):
    2x – = 5 = 2x – 5.
  • Повдигаме двете му страни на квадрат:
    = 2x – 5 ()2 = (2x – 5)2 x2 – 100 = 4x2 – 20x + 25 3x2 – 20x + 125 = 0.
  • Това квадратно уравнение няма решение, защото D < 0. Това означава, че даденото уравнение също няма решение.

в) Ще решим това уравнение по два начина.

I начин:

решение на ирационално уравнение

II начин:

  • Уравнението е в основен вид (10).
  • Използваме формула (12) и съставяме системата:
  • Решаваме само уравнението в тази система:
    = (– x)2 9 – x3 = x2(1 – x) x2 – 9 = 0, x1 = 3, x2 = – 3.
  • За всеки корен проверяваме неравенството от системата:
    • при x1 = 3 – x = – 3 < 0, т.е. x1 = 3 НЕ е решение на даденото уравнение.
    • при x2 = – 3 – x = – (– 3) = 3 > 0, т.е. x2 = – 3 е решение на даденото уравнение.
  • Отговор: Даденото уравнение има само едно решение: x = – 3.

Върни се в теорията  


Ирационално уравнение с два квадратни радикала - решени задачи

Зад. №3:
Решете уравнението:

условие ирационално уравнение

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте подходящ начин за решаването на ирационалните уравнения.

решение на ирационално уравнение

в)

  • Преобразуваме даденото уравнение до основен вид (10):
    + = 0 = – .
  • От определението за квадратен корен, знаем че ≥ 0 за всяко x. Това означава, че дясната страна на горното уравнение е винаги отрицателна, защото – < 0 за всяко x. Което противоречи на ДМ (формула (11)).
  • Т.е. даденото ирационално уравнение няма решение.
  • Отговор: Даденото уравнение няма решение.
  • Бележка:

    До този извод може да стигнем и ако разсъждаваме по логичен начин, а именно:

    • Лявата страна на даденото ирационално уравнение е съставена от две неотрицателни числа, защото е сбор от два квадратни корена.
    • Сборът от двата корена може да е нула, само ако всеки корен е нула.
    • Това означава, че даденото уравнение ще има решение, само ако уравненията = 0 и = 0 имат общ корен, което в случая е невъзможно.

г)

  • При x = 5 уравненията = 0 и = 0 имат общ корен.
  • От Бележката от подточка в) следва, че този корен е решение на даденото уравнение.
  • Отговор: Даденото уравнение има само едно решение: x = 5.

решение на ирационално уравнение

Върни се в теорията  


Уравнение, което не е ирационално, но съдържа радикал - решени задачи

Зад. №4:
Решете уравнението:
а) (x2 – 4) = 0;
б) (x2 + 4x) = 0.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а) Уравнението е от вида (14), защото имаме произведение от едната страна на равенството, а от другата страна имаме 0. Знаем, че такива уравнения се разпадат на две уравнения (формула 15):

  • Намираме ДМ, като използваме определението за квадратен корен:
    x + 9 ≥ 0 x ≥ – 9, т.е. ДМ: x ≥ – 9.
  • Даденото уравнение се разпада на две уравнения:
    • x2 – 4 = 0, x1 = 2 ДМ, x2 = – 2 ДМ.
    • = 0 ()2 = 02 x + 9 = 0 x3 = – 9 ДМ.
  • Отговор: Даденото уравнение има три решение: x1 = 2, x2 = – 2 и x3 = – 9.

б) Уравнението отново е от вида (14):

  • Намираме ДМ, като използваме определението за квадратен корен:
    x – 6 ≥ 0 x ≥ 6, т.е. ДМ: x ≥ 6.
  • Даденото уравнение се разпада на две уравнения:
    • x2 + 4x = 0 x(x + 4) = 0, x1 = 0 ∉ ДМ, x2 = – 4 ∉ ДМ.
    • = 0 ()2 = 02 x – 6 = 0 x3 = 6 ДМ.
  • Отговор: Даденото уравнение има само едно решение: x = 6.

Върни се в теорията  


Решаване на ирационално уравнение чрез полагане - решени задачи

Зад. №5:
Решете уравнението:
а) x2 + 8x – 3 = 2;
б) x2 + 2x + = 6;
в) = – 4;
г) = 5.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Положете повтарящите се изрази и решете получените уравнения.

ирационално уравнение чрез полагане

в)

  • Имаме повтарящ се израз и затова полагаме = u, където u > 0.
    Бележка:

    За ДМu имаме само по-голямо от нула, защото коренът е в знаменател, а знаменателят на една дроб трябва да е различен от нула.

  • Получаваме и решаваме дробното уравнение с неизвестно u:
    – u = – 4 u2 – 4u – 5 = 0, u1 = 5, u2 = – 1 ∉ ДМu.
  • Заместваме в полагането само с u1 = 5 и решаваме полученото ирационално уравнение:
    = u ()2 = 52 2x + 5 = 25 x = 10.
  • Отговор: Даденото уравнение има само едно решение: x = 10.

решаване на ирационално уравнение чрез полагане

Върни се в теорията  

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 классамоподготовка по математика за 10 класуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 0888 919 954 (вечер), г-н. Станев.

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание