Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

Вие сте тук:   || Редици. Прогресии. Лихва - теория


Редици. Прогресии. Лихва


Теория

I. Числови редици

Oпределение – Множеството от числа (или отсечки или др.) съпоставено по някакво правило на естествените числа 1, 2, …, n.

Бележка:

Най-общо казано, числовите редици са списъци с числа.

Например: Нека да имаме естествените числа 1, 2, …, n и на всяко от тях да съпоставим произведението му с числото 3. Така получаваме следната редица от числа 3, 6, 9, …, 3n. т.е.

Обикновено първият член се отбелязва с a1, вторият член – a2, третият член – a3 и т.н. до последният член – an. В даденият пример имаме: a1 = 3, a2 = 6, a3 = 9, …, an = 3n.

Числото an се нарича общи член на редицата. В даденият пример общият член е зададен с помощта на формулата an = 3n.

Ако една редица е зададена с формулата за общия си член, може да запишем редицата {an} или в примерът редицата е {3n}.

  • Крайни – когато се знае последният им член.

    Например, редицата 1, 2, 4, 8, 11 е крайна редица, защото последният ѝ член е числото 11.

  • Безкрайни – редица, за която не се знае последният член. Например, редицата 1, 2, 4, 8, 11, … е безкрайна редица, защото няма последен член.
  • Чрез формулата на общия член (аналитично).
    Зад. №1:
    Разпишете членовете на редица {an}, ако общият член е зададен с формулата an = .

    Решение:

    • При n = 1 a1 = 2.
    • При n = 2 .
    • При n = 3 .
    • Разписваме редицата:
      .
  • Словесно (описателно)

    Пример: Напишете редицата на простите естествени числа (редицата е описана с думи). Редицата е 2, 3, 5, 7, 11, … .
  • С рекурентна зависимост – Задава се първият член a1 и връзката между два съседни члена на редицата (т.е. задава се първият член и правилото за получаване на всеки следващ).
    Зад. №2:
    Разпишете шест члена на редица {an}, ако тя е зададено с равенствата a1 = – 3, an = an – 1 – 1.

    Решение:

    • При n = 2 a2 = a1 – 1 = – 3 – 1 = – 4.
    • При n = 3 a3 = a2 – 1 = – 4 – 1 = – 5.
    • При n = 4 a4 = a3 – 1 = – 5 – 1 = – 6.
    • При n = 5 a5 = a4 – 1 = – 6 – 1 = – 7.
    • При n = 6 a6 = a5 – 1 = – 7 – 1 = – 8.
    • Разписваме редицата:
      – 3, – 4, – 5, – 6, – 7, – 8.
  • Растяща редица – Една редица е растяща, когато всеки неин член след първия е по-голям или равен на предходния, т.е. an+1 ≥ an.
    Бележка:

    Редицата е строго растяща, ако имаме изпълнено an+1 > an, т.е. всеки следващ член е само по-голям от предходния.

  • Намаляваща редица – Една редица е намаляваща, когато всеки неин член след първия е по-малък или равен на предходния, т.е. an+1 ≤ an.
    Бележка:

    Редицата е строго намаляваща, ако имаме изпълнено an+1 < an, т.е. всеки следващ член е само по-малък от предходния.

  • Монотонна редица – Ако тя е или растяща или намаляваща.
  • Начини за доказателство, че редицата е монотонна:
    • Ако е изпълнено неравенството an+1 – an ≥ 0, то редицата е растяща (при an+1 – an > 0 редицата е строго растяща), ако е изпълнено неравенството an+1 – an ≤ 0, то редицата е намаляваща (при an+1 – an < 0 редицата е строго намаляваща).
    • Ако частното на два съседни члена е по-голямо от 1, т.е. имаме > 1, то редицата е растяща. Ако имаме < 1, то редицата е намаляваща.
    Зад. №3:
    Дадена е редица с общ член an = n2 + n – 1.

    а) Да се намерят първият, петият и десетият член на редицата.

    б) Да се докаже, че редицата е монотонна.

    Решение:

    а) Задаваме на n исканите номера на редицата:

    • При n = 1 получаваме a1 = 12 + 1 – 1 = 1 a1 = 1.
    • При n = 5 получаваме a5 = 52 + 5 – 1 = 29 a5 = 29.
    • При n = 10 получаваме a10 = 102 + 10 – 1 = 109 a10 = 109.

    б) За да докажем, че редицата е монотонна, ще получим два съседни члена:

    • Един от членовете е даден по условие, това е an = n2 + n – 1.
    • Намираме следващия член:
      an + 1 = (n + 1)2 + (n + 1) – 1 = n2 + 3n + 1.
    • Намираме търсената разлика:
      an + 1 – an = n2 + 3n + 1 – (n2 + n – 1) = 2n + 2 > 0, защото имаме сбор от две положителни числа.
      Бележка:

      Не забравяйте, че n е поредният номер на числото в редицата, т.е. n е естествено число и затова 2n > 0.

II. Аритметична прогресия

O – Числова редица, в която всеки член след първия се получава, като към предходния му се прибавя едно и също число d.

  • Oпределение – Числото d, което се прибавя към всеки член, за да се получи следващият, се нарича разлика, т.е. разликата се получава, като извадим два съседни члена.
  • Основна формула:
    (1): d = an – an – 1.
  • Растяща аритметична прогресия
    (2): Ако d > 0, то прогресията е растяща.
  • Намаляваща аритметична прогресия
    (3): Ако d < 0, то прогресията е намаляваща.
Бележка:

Няма да разглеждаме аритметична прогресия с разлика d = 0.

Прието е аритметичната прогресия да се означава със знака „“. Така записът a1, a2, ..., an означава, че редицата a1, a2, ..., an е аритметична прогресия.

Ако имаме аритметична прогресия с първи член a1 и разлика d, то за всеки член е в сила равенството:

(4): an = a1 + (n – 1)d.

(5): Sn = .n.

(6): Sn = .n.

Бележка:
  • Формула (5) е удобно да се използва, когато са дадени първия член a1 и последния an член на аритметичната прогресия.
  • Формула (6) е удобно да се използва, когато са дадени първия член a1 и разликата d на аритметичната прогресия.
  • Свойство 1 – Всеки член без първия е средно аритметично на съседните му два члена, т.е. за три последователни члена на аритметичната прогресия ak – 1, ak и ak + 1 е в сила равенството :
    (7): ak = .
  • Свойство 2 – За всяка крайна аритметична прогресия, сумата на два члена, равноотдалечени от крайните ѝ членове, е равна на сумата на двата крайни члена, т.е.:
    (8): a1 + an = a2 + an – 1 = a3 + an – 2 = … .
    Практическо правило за определяне на равноотдалечените членове:

  Решени задачи

III. Геометрична прогресия

O – Числова редица, в която всеки член след първия се получава, като предходният му се умножи с едно и също число q.

  • Oпределение – Числото q, с което се умножава всеки член, за да се получи следващият, т.е. частното се получава, като се разделят два съседни члена.
  • Основна формула:
    (9): q = .
  • Растяща геометрична прогресия
    (10): Ако q > 1, то прогресията е растяща.
  • Намаляваща геометрична прогресия
    (11): Ако q (0; 1), то прогресията е намаляваща.
  • Нито растяща, нито намаляваща
    (12): Ако q < 0, то прогресията не е нито растяща, нито намаляваща.
Бележка:

Няма да разглеждаме геометрична прогресия с частно q = 0 и q = ± 1.

Прието е геометричната прогресия да се означава със знака „“. Така записът a1, a2, ..., an означава, че редицата a1, a2, ..., an е геометричната прогресия.

Ако имаме геометричната прогресия с първи член a1 и частно q, то за всеки член е в сила равенството:

(13): an = a1.qn – 1.

(14): .

(15):

Бележка:
  • Формула (14) е удобно да се използва, когато са дадени първия член a1 и частно q на редицата.
  • Формула (15) е удобно да се използва, когато са дадени първия член a1, последния член an и частното q на редицата.
  • Свойство 1 – Всеки член без първия е средно геометрично на съседните му два члена, т.е. за три последователни члена на геометрична прогресия ak – 1, ak и ak + 1 е в сила равенството:
    (16): ak2 = ak – 1.ak + 1.
  • Свойство 2 – За всяка крайна геометрична прогресия, произведението на два члена, равноотдалечени от крайните ѝ членове, е равно на произведението на двата крайни члена, т.е.:
    (17): a1 . an = a2 . an – 1 = a3 . an – 2 = … .
    Практическо правило за определяне на равноотдалечените членове:

  Решени задачи

IV. Комбинирани задачи от аритметична и гео-метрична прогресия

V. Лихва

O – Лихвата е печалбата, която се полага за престояла сума в банка или друга финансова институция.

  • Лихвен процент p% – Обикновено лихвата се изчислява за даден период от време като процент от капитала вложен в банката. Този процент се нарича лихвен процент и се отбелязва с p%.
  • Лихвен период n – Периода време, след който се начислява лихвата. Отбелязва с n, Обикновено лихвеният период е за 1 година, но може да е и за по-кратък период (например, за 1 месец, за 3 месеца и т.н.).
  • Начален (основен) капитал K0 – Началната сума вложена в банката. Обикновено се отбелязва с K0.
  • Нараснал капитал Kn – Сумата, която трябва да се получи в края на лихвения период n. Обикновено се отбелязва с Kn.
  • Проста лихва – Лихва, която се изплаща, когато в края на всеки лихвен период n се олихвява само внесения начален капитал K0. Нарасналият капитал Kn при проста лихва p% се изчислява по формулата:
    (18): Kn = K0(1 + .n).
    Бележка:

    В горната формула лихвеният процент p% е превърнат в число .

  • Сложна лихва – Лихва, която се изплаща, когато в края на всеки лихвен период n се прибавя към внесения начален капитал K0 и в следващите периоди се олихвява заедно с него. Нарасналият капитал Kn в края на n-тия период при p% сложна лихва се изчислява по формулата:
    (19): Kn = K0.qn = , където q = 1 + се нарича лихвен множител.

  Решени задачи

VI. Кредит

Ако е сключен заем при определена годишна (или месечна) лихва, който трябва да се изплати в определен срок на равни вноски (годишни или месечни). Тази вноска се нарича погасителна вноска V.

Ако е взет кредит K лв., за уговорен период от време n (обикновено е в години или месеци) с лихвен процент p%, то погасителната вноска V се намира по формулата:

(20): V = K , където q = 1 + е лихвен множител.

  Решени задачи

VII. Рента

O – Ако срещу вложен капитал K лв., при определена лихва p% периодично се получава уговорена сума R, то тази сума R се нарича рента.

Рентата може да се разглежда като погасителна вноска, която не се дава, а се получава от рентиера. Това означава, че формулата ще е същата, както формулата за кредит (формула 20):

(21): R = K , където q = 1 + е лихвен множител.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 классамоподготовка по математика за 10 класуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 0888 919 954 (вечер), г-н. Станев.

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание