Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

Вие сте тук:   || Тригонометрични функции - теория


Тригонометрични функции


Теория

I. Основни понятия

Окръжност k с център О и радиус 1 (Фиг. 1).

  • Oпределение – Ъгълът, който се получава при завъртането на точка M по тригонометричната окръжност.
  • Положителен ъгъл – когато т. М се върти обратно на въртенето на часовниковата стрелка (Фиг. 1).
  • Отрицателен ъгъл – когато т. М се върти по посока на часовниковата стрелка (Фиг. 1).
  • Начин за записване – Всеки обобщен ъгъл може да се запише с формулата:
    (1): α + k.360°, където k = 0; ±1; ±2; … е броят на оборотите (т.е. броят на завъртанията на второто рамо на ъгъла).
Бележка:

Навсякъде в тази тема числото k е произволно цяло число, за което имаме k = 0; ±1; ±2; …, т.е. k .

  • Мерни единици за ъгъл – Всеки ъгъл може да се измерва с градусни мерки или радиани.
  • Определение за радиан – Централен ъгъл, за който дължината на съответната му дъга е равна на радиуса на окръжността. На Фиг. 1 се вижда, че AOM = α rad.
    Бележка:

    След градусната мярка се поставя знака за градус „°“, а след радианната мярка не се записва означението rad.

  • Геометрично представяне – Един радиан представлява ъгълът, който се образува, когато наложим отсечка с дължина един радиус върху обиколката на окръжност и свържем двата ѝ края с центъра на окръжността чрез радиуси, т.е.:
    (2):
  • Превръщане от градуси в радиани – Ако α е в градуси, то превръщането му в радиани става по формулата:
    (3): α°. = x rad.

    Например: Нека α = 120°, тогава от (3) получаваме:

    120° = 120..

  • Превръщане от радиани в градуси – Ако α е в радиани, то превръщането му в градуси става по формулата:
    (4): α rad = = x°.
    Бележка:

    За по-голямо удобство (по-малко сметки при пресмятането) формула (4) може да се прилага и по друг начин.

    В радианната мярка на ъгълът числото π се замества със 180° и се извършват пресмятанията.

    Например: Нека α = , тогава:

    I начин:

    от (4) получаваме:

    120°.

    II начин:

    Понеже в тригонометрията π = 180°, то:

    = 120°.

Бележка:

1 rad ≈ 57°17'45''.

1° ≈ 0,01745 rad.

O – Ако имаме обобщен ъгъл AOM, то оста At, която е допирателна до точка A (Фиг. 3), се нарича тангенсова ос.

O – Ако имаме обобщен ъгъл AOM, то оста Bc, която е допирателна до точка B (Фиг. 4), се нарича котангенсова ос.

II. Тригонометрични функции и свойствата им

  • Графично представяне – Това е функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл x ординатата yM на точка M (Фиг. 2), т.е. sin x = yM. Графиката ѝ се нарича синусоида.
  • Дефиниционно множество – ДМ: x.
  • Период – Функцията е периодична с период 2π т.е. sin x = sin (x ± 2π).
  • Функцията е нечетна, т.е. sin (– x) = – sin x.
  • Приема най-голяма стойност 1 при x = + k.2π.
  • Приема най-малка стойност – 1 при x = – + k.2π.
  • Приема стойност 0 при x = k.π.
  • Расте от – 1 до 1 във всеки интервал [- + k.2π; + k.2π].
  • Намалява от 1 до – 1 във всеки интервал [ + k.2π; + k.2π].
Бележка:

Всички обобщени ъгли се записват в радиани.

  • Графично представяне – Това е функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл x абсцисата xM на точка M (Фиг. 2), т.е. cos x = xM. Графиката ѝ отново е синусоида, но изместена (транслирана) наляво по оста x, на разстояние .
  • Дефиниционно множество – ДМ: x.
  • Период – Функцията е периодична с период 2π т.е. cos x = cos (x ± 2π).
  • Функцията е четна, т.е. cos (– x) = cos x.
  • Приема най-голяма стойност 1 при x = 2kπ.
  • Приема най-малка стойност – 1 при x = π + k.2π.
  • Приема стойност 0 при x = + kπ.
  • Расте от – 1 до 1 във всеки интервал [– π + k.2π; k.2π].
  • Намалява от + 1 до – 1 във всеки интервал [k.2π; π + k.2π].
  • Графично представяне – Това е функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл x ординатата yP на точка P, която е пресечна точка между тангенсова ос At и второто рамо на обобщения ъгъл x (Фиг. 3), т.е. tg x = yP.
  • Дефиниционно множество – ДМ: x ≠ + kπ.
  • Период – Функцията е периодична с период π т.е. tg x = tg (x ± kπ).
  • Функцията е нечетна, т.е. tg (– x) = – tg x. Затова графиката ѝ в интервала (; 0] е симетрична на графиката ѝ в интервала [0; ) относно началото на координатната система.
  • Няма най-голяма и най-малка стойност.
  • Приема стойност 0 при x = kπ.
  • Расте от – ∞ до + ∞ във всеки интервал [– + kπ; + kπ].
Бележка:

Функцията y = tg x е растяща в интервала [– + kπ; + kπ], но не е растяща в интервал, съдържащ точките в които функцията не е дефинирана, т.е. точки от вида x = + kπ. Например: Функцията y = tg x не е растяща в интервала (0; π).

  • Графично представяне – Това е функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл x абсцисата xC на точка C, която е пресечна точка между котангенсова ос Bc и второто рамо на обобщения ъгъл x (Фиг. 4), т.е. cotg x = xC.
  • Дефиниционно множество – ДМ: x ≠ kπ.
  • Период – Функцията е периодична с период π т.е. cotg x = cotg (x ± kπ).
  • Функцията е нечетна, т.е. cotg (– x) = – cotg x.
  • Няма най-голяма и най-малка стойност.
  • Приема стойност 0 при x = + kπ.
  • Намалява от + ∞ до – ∞ във всеки интервал (kπ; π + kπ).
Бележка:

Функцията y = cotg x е намаляваща в интервала (kπ; π + kπ), но не е намаляваща в интервал, съдържащ точки, в които функцията не е дефинирана, т.е.точки от вида x = kπ. Например: Функцията y = cotg x не е намаляваща в интервала .

III. Тригонометрични формули

(5): sin2 α + cos2 α = 1.

(6): tg α . cotg α = 1.

(7): tg α = ;

cotg α = .

(8): sin (90° – α) = cos α;

cos (90° – α) = sin α;

tg (90° – α) = cotg α;

cotg (90° – α) = tg α.

(9): sin (90° + α) = cos α;

cos (90° + α) = – sin α;

tg (90° + α) = – cotg α;

cotg (90° + α) = – tg α.

(10): sin (180° – α) = sin α;

cos (180° – α) = – cos α;

tg (180° – α) = – tg α;

cotg (180° – α) = – cotg α.

Бележка:

За други тъждества виж Таблица 2 в Справочника

.

(11): sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β.

(12): cos (α ± β) = cos α cos β sin α sin β.

(13): tg (α ± β) = .

(14): cotg (α ± β) = .

(15): sin 2α = 2 sin α cos α.

(16): cos 2α = cos2α – sin2α = cos4α – sin4α = 2cos2α – 1 = 1 – 2sin2α.

(17): tg 2α = .

(18): cotg 2α = .

(19): sin 3α = 3sin α – 4sin3 α = sin α (3 – 4sin2 α).

(20): cos 3α = 4cos3 α – 3cos α = cos α (4cos2 α – 3).

(21): tg 3α = .

(22): cotg 3α = .

(23): sin .

(24): cos .

тригонометрични формули

(27): 2 sin2 α = 1 – cos 2α.

(28): 2 cos2 α = 1 + cos 2α.

(29): 4 sin3 α = 3sin α – sin 3α.

(30): 4 cos3 α = 3cos α + cos 3α.

(31): 2 sin2 = 1 – cos α.

(32): 2 cos2 = 1 + cos α.

(33): cotg2 α = .

(34): sin α sin β = [cos (α – β) – cos (α + β)].

(35): cos α cos β = [cos (α – β) + cos (α + β)].

(36): sin α cos β = [sin (α + β) + sin (α – β)].

тригонометрични формули за произведение

(40): sin α + sin β = 2 sin cos .

(41): sin α – sin β = 2 sin cos .

(42): cos α + cos β = 2 cos cos .

(43): cos α – cos β = – 2 sin sin .

(44): tg α ± tg β = .

(45): cotg α ± cotg β = .

(46): 1 + sin α = 1 + cos (90° – α) = 2 cos2 (45° – ) = (cos + sin )2.

(47): 1 – sin α = 2 sin2 (45° - ).

(48): 1 ± tg α = .

(49): sin α + cos α = cos (45° – α) = sin (α + 45°).

(50): cos α – sin α = sin (45° – α);

sin α – cos α = sin (α – 45°).

(51): tg α + cotg β = ;

tg α – cotg β = – .

  Решени задачи

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 классамоподготовка по математика за 10 класуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 0888 919 954 (вечер), г-н. Станев.

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание