Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

Окръжност k с център О и радиус 1 (Фиг. 1).

• Oпределение – Ъгълът, който се получава при завъртането на точка M по тригонометричната окръжност.
• Положителен ъгъл – когато т. М се върти обратно на въртенето на часовниковата стрелка (Фиг. 1).
• Отрицателен ъгъл – когато т. М се върти по посока на часовниковата стрелка (Фиг. 1).
• Начин за записване – Всеки обобщен ъгъл може да се запише с формулата:
  (1): α + k.360°, където k = 0; ±1; ±2; … е броят на оборотите (т.е. броят на завъртанията на второто рамо на ъгъла).

• Мерни единици за ъгъл – Всеки ъгъл може да се измерва с градусни мерки или радиани.
• Определение за радиан – Централен ъгъл, за който дължината на съответната му дъга е равна на радиуса на окръжността. На Фиг. 1 се вижда, че AOM = α rad.
  Бележка:

  След градусната мярка се поставя знака за градус „°“, а след радианната мярка не се записва означението rad.

• Геометрично представяне – Един радиан представлява ъгълът, който се образува, когато наложим отсечка с дължина един радиус върху обиколката на окръжност и свържем двата ѝ края с центъра на окръжността чрез радиуси, т.е.:
  (2):

• Превръщане от градуси в радиани – Ако α е в градуси, то превръщането му в радиани става по формулата:
  (3): α°. = x rad.

  Например: Нека α = 120°, тогава от (3) получаваме:

  120° = 120..

• Превръщане от радиани в градуси – Ако α е в радиани, то превръщането му в градуси става по формулата:
  (4): α rad = = x°.
  Бележка:

  За по-голямо удобство (по-малко сметки при пресмятането) формула (4) може да се прилага и по друг начин.

  В радианната мярка на ъгълът числото π се замества със 180° и се извършват пресмятанията.

  Например: Нека α = , тогава:

  I начин:

  от (4) получаваме:

  120°.

  II начин:

  Понеже в тригонометрията π = 180°, то:

  = 120°.

O – Ако имаме обобщен ъгъл AOM, то оста At^→, която е допирателна до точка A (Фиг. 3), се нарича тангенсова ос.

O – Ако имаме обобщен ъгъл AOM, то оста Bc^→, която е допирателна до точка B (Фиг. 4), се нарича котангенсова ос.

• Графично представяне – Това е функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл x ординатата y_M на точка M (Фиг. 2), т.е. sin x = y_M. Графиката ѝ се нарича синусоида.
• Дефиниционно множество – ДМ: x.
• Период – Функцията е периодична с период 2π т.е. sin x = sin (x ± 2π).
• Функцията е нечетна, т.е. sin (– x) = – sin x.
• Приема най-голяма стойност 1 при x = + k.2π.
• Приема най-малка стойност – 1 при x = – + k.2π.
• Приема стойност 0 при x = k.π.
• Расте от – 1 до 1 във всеки интервал [- + k.2π; + k.2π].
• Намалява от 1 до – 1 във всеки интервал [ + k.2π; + k.2π].

• Графично представяне – Това е функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл x абсцисата x_M на точка M (Фиг. 2), т.е. cos x = x_M. Графиката ѝ отново е синусоида, но изместена (транслирана) наляво по оста x, на разстояние .
• Дефиниционно множество – ДМ: x.
• Период – Функцията е периодична с период 2π т.е. cos x = cos (x ± 2π).
• Функцията е четна, т.е. cos (– x) = cos x.
• Приема най-голяма стойност 1 при x = 2kπ.
• Приема най-малка стойност – 1 при x = π + k.2π.
• Приема стойност 0 при x = + kπ.
• Расте от – 1 до 1 във всеки интервал [– π + k.2π; k.2π].
• Намалява от + 1 до – 1 във всеки интервал [k.2π; π + k.2π].

• Графично представяне – Това е функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл x ординатата y_P на точка P, която е пресечна точка между тангенсова ос At^→ и второто рамо на обобщения ъгъл x (Фиг. 3), т.е. tg x = y_P.
• Дефиниционно множество – ДМ: x ≠ + kπ.
• Период – Функцията е периодична с период π т.е. tg x = tg (x ± kπ).
• Функцията е нечетна, т.е. tg (– x) = – tg x. Затова графиката ѝ в интервала (; 0] е симетрична на графиката ѝ в интервала [0; ) относно началото на координатната система.
• Няма най-голяма и най-малка стойност.
• Приема стойност 0 при x = kπ.
• Расте от – ∞ до + ∞ във всеки интервал [– + kπ; + kπ].

• Графично представяне – Това е функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл x абсцисата x_C на точка C, която е пресечна точка между котангенсова ос Bc^→ и второто рамо на обобщения ъгъл x (Фиг. 4), т.е. cotg x = x_C.
• Дефиниционно множество – ДМ: x ≠ kπ.
• Период – Функцията е периодична с период π т.е. cotg x = cotg (x ± kπ).
• Функцията е нечетна, т.е. cotg (– x) = – cotg x.
• Няма най-голяма и най-малка стойност.
• Приема стойност 0 при x = + kπ.
• Намалява от + ∞ до – ∞ във всеки интервал (kπ; π + kπ).

(5): sin² α + cos² α = 1.

(6): tg α . cotg α = 1.

(7): tg α = ;

cotg α = .

(8): sin (90° – α) = cos α;

cos (90° – α) = sin α;

tg (90° – α) = cotg α;

cotg (90° – α) = tg α.

(9): sin (90° + α) = cos α;

cos (90° + α) = – sin α;

tg (90° + α) = – cotg α;

cotg (90° + α) = – tg α.

(10): sin (180° – α) = sin α;

cos (180° – α) = – cos α;

tg (180° – α) = – tg α;

cotg (180° – α) = – cotg α.

(11): sin (α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β.

(12): cos (α ± β) = cos α cos β sin α sin β.

(13): tg (α ± β) = .

(14): cotg (α ± β) = .

(15): sin 2α = 2 sin α cos α.

(16): cos 2α = cos²α – sin²α = cos⁴α – sin⁴α = 2cos²α – 1 = 1 – 2sin²α.

(17): tg 2α = .

(18): cotg 2α = .

(19): sin 3α = 3sin α – 4sin³ α = sin α (3 – 4sin² α).

(20): cos 3α = 4cos³ α – 3cos α = cos α (4cos² α – 3).

(21): tg 3α = .

(22): cotg 3α = .

(23): sin .

(24): cos .

(27): 2 sin² α = 1 – cos 2α.

(28): 2 cos² α = 1 + cos 2α.

(29): 4 sin³ α = 3sin α – sin 3α.

(30): 4 cos³ α = 3cos α + cos 3α.

(31): 2 sin² = 1 – cos α.

(32): 2 cos² = 1 + cos α.

(33): cotg2 α = .

(34): sin α sin β = [cos (α – β) – cos (α + β)].

(35): cos α cos β = [cos (α – β) + cos (α + β)].

(36): sin α cos β = [sin (α + β) + sin (α – β)].

(40): sin α + sin β = 2 sin cos .

(41): sin α – sin β = 2 sin cos .

(42): cos α + cos β = 2 cos cos .

(43): cos α – cos β = – 2 sin sin .

(44): tg α ± tg β = .

(45): cotg α ± cotg β = .

(46): 1 + sin α = 1 + cos (90° – α) = 2 cos² (45° – ) = (cos + sin )².

(47): 1 – sin α = 2 sin² (45° - ).

(48): 1 ± tg α = .

(49): sin α + cos α = cos (45° – α) = sin (α + 45°).

(50): cos α – sin α = sin (45° – α);

sin α – cos α = sin (α – 45°).

(51): tg α + cotg β = ;

tg α – cotg β = – .