Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

Вие сте тук:   || Комбинаторика. Вероятности. Статистика - теория


Комбинаторика и вероятности. Статистика и обработка на данни


Теория

I. Комбинаторика и вероятности

  • Oпределение – Съединение се нарича група от елементи на дадено крайно множество.
  • Видове съединения:
    • Съединение без повторение – съединение, което се състои от различни елементи.

      Например: Групата от числа 1, 2, 3 или 7, 8, 5 са две съединения с различни елементи. Нито едно от числата в двете групи не се повтаря.
    • Съединение с повторение – при този вид съединение някои елементи могат да се повтарят.

      Например: Групата от числа 1, 1, 3 или 2, 2, 1 са две съединения с повтарящи се елементи. В първата група се повтаря елемента 1, а във втората – елемента 2.
    Бележка:

    Ще разглеждаме само съединения с не повтарящи се елементи.

  • Правило за събиране – Ако елементът А може да бъде избран по N начина, а друг елемент В – по М начина, то кой да е елемент А или В от групата може да бъде избран по N + M начина.

    Например: Виж Зад. 1.
  • Правило за умножение – Ако елементът А може да бъде избран по N начина и при всеки избор на А елементът В може да бъде избран по М начина, то изборът на наредената двойка (A, B) може да стане по N.M начина.

    Например: Виж Зад. 2.
Правило:
  • Oпределение – Наредена група, която съдържа всички дадени елементи точно по един път.
  • По какво се различават пермутациите – Пермутациите имат еднакви елементи, но се различават само по подредбата им.
  • Примери:
    • Числата 1 и 2 образуват две различни пермутации: (1,2) и (2,1), защото се използват всичките два елемента, но подредбата им е различна.
    • Числата 1, 2 и 3 образуват шест различни пермутации: (1,2,3), (1,3,2), (3,1,2), (2,1,3), (2,3,1) и (3,2,1), защото се използват всичките три елемента, но са подредени по различен начин.
    • Виж още Зад. 3 и Зад. 4.
  • Формула – Броят на всички пермутации от n елемента се означава с Pn и се намира по формулата:
    (1): Pn = n(n – 1)(n – 2) … 3.2.1 = n!.
  • Oпределение – Наредена група от k различни елемента (k-ти клас) избрани измежду дадените n елемента, като k ≤ n.
  • По какво се различават вариациите – Две вариации се различават една от друга или по един различен елемент или ако имат еднакви елементи, но подредени по различен начин.
  • Примери:
    • С цифрите 1, 2 и 3 могат да се съставят следните различни двуцифрени числа: 12, 21, 13, 31, 23, 32. Виждаме, че първата и втората наредена двойка от числа имат еднакви елементи, но са подредени по различен начин. Затова, тези двойки са две различни вариации. Първата и последната двойка от числа се състои от различни елементи и затова са две различни вариации.
    • Виж още от Зад. 5 до зад. 7.
  • Формула – Броят на вариациите на n елемента от k-ти клас се означава Vnk и се намира по формулата:
    (2): Vnk = n(n – 1)(n – 2) … (n – k + 1) = .
Бележка:

От определенията за пермутации и вариации следва, че пермутации на n елемента могат да се разглеждат като вариации на n елемента от n–ти клас, т.е. Pn = Vnn.

  • Oпределение – Наредена група от k различни елемента (k-ти клас) избрани измежду дадените n елемента, като редът на елементите в групата е без значение, като k ≤ n.
  • По какво се различават комбинациите – Две комбинации се различават една от друга само ако имат по един различен елемент, без значение в какъв ред са те (за разлика от вариациите, където редът на елементите има значение).
  • Примери:
    • Нека да вземем числото 123. Ако разместим (пермутираме) елементите на това число, получаваме P3 = 3! = 3.2.1 = 6 съединения. Това са числата 123, 132, 213, 231, 312, 321. Ако имаме три топки (имаме еднакви елементи) номерирани с цифрите 1, 2 и 3, то без значение от реда на изтегляне на топките (първо – топка с число 1, след това – топка с число 2 и накрая – топка с число 3 или в някакъв друг ред, то сме взели и трите топки) имаме само една комбинация.
    • От примера за вариации видяхме, че с цифрите 1, 2 и 3 може да съставим шест двуцифрени числа, защото от формулата за вариации (формула 2) следва, че при n = 3 и k = 2 получаваме: V32 = 3.2 = 6 вариации. Нека сега да имаме три топки и се питаме по колко начина може да изберем две от тях. В случая няма значение редът на избирането на топките (дори е по-добре да мислим, че двете топки се избират едновременно), затова свеждаме задачата до позната задача. Предполагаме, че редът на избиране на топките има значение. Възможните начини за избор са V32 = 3.2 = 6. При това предположение изборът (първо – на топка 1, а после – на топка 2) е различен от избора (първо – на топка 2, а после – на топка 1). В конкретната задача подредбата на двете топки няма значение, т.е. изборът (топка 1 и топка 2) и изборът (топка 2 и топка 1) дават един и същи резултат, избират се две еднакви топки. Това означава, че намереният брой е два пъти по-голям от търсения брой в задачата, т.е. имаме = 3 начина да изберем две топки от общо три.
    • Виж още от Зад. 8 до зад. 11.
  • Формула – Броят на комбинациите на n елемента от k-ти клас се означава Cnk и се намира по формулата:
    (3): .
Бележка:

Ако имаме съмнения дали даден случай е вариация или комбинация, достатъчно е да проверим дали се променя ситуацията, ако се разменят местата на елементите:

  • Ако ситуацията се променя, то имаме вариация.
  • Ако ситуацията НЕ се променя, то имаме комбинация.
  • Събитие – Резултатът от проведен опит или наблюдение.
  • Видове събития:
    • Достоверно събитие – Събитие, което винаги се случва. Например: Достоверно събитие е водата да се превърне в лед, ако я поставим във фризера.
    • Невъзможно събитие – Събитие, което никога няма да се случи. Например: Невъзможно събитие е при хвърлянето на един зар да се падне 7.
    • Несъвместими събития – Събитията A и B се наричат несъвместими, когато НЕ могат да се случат едновременно. Например: При хвърлянето на един зар НЕ могат да се случат едновременно двете събития: събитие А = „броят на точките да е 2“ и събитие В = „броят на точките да е нечетно число“.
    • Съвместими събития – Събитията A и B се наричан съвместими, когато могат да се случат едновременно. Например: При хвърлянето на един зар могат да се случат едновременно двете събития: събитие А = „броят на точките да е 2“ и събитие В = „броят на точките да е четно число“.
    • Противоположно събитие – Събитие, което се случва тогава и само тогава, когато НЕ се случва събитието А. Означава се с .
  • Oпределение за вероятност – Вероятност р за настъпване на едно събитие А наричаме отношението на броя m на благоприятните случаи на А към броя n на всички възможни случаи, т.е.
    вероятност
  • Основни свойства на вероятностите:
    • Вероятността на достоверното събитие е равна на 1 (или 100%).
    • Вероятността на невъзможното събитие е равна на 0 (или 0%).
    • Вероятността на кое да е събитие А е между 0 и 1, т.е. 0 ≤ p (A) ≤ 1 (или 0% ≤ p (A) ≤ 100%).
  • Вероятност на сума от несъвместими събития – Вероятността на обединението на две несъвместими събития А и В е равна на сумата от вероятностите на тези събития, т.е.
    (5): p (A B) = p (A) + p (B).
  • Вероятност на сума от съвместими събития – Вероятността на обединението на две съвместими събития А и В е равна на сумата от вероятностите на тези събития минус вероятността на сечението им, т.е.
    (6): p (A B) = p (A) + p (B) – p (A ∩ B).
  • Вероятност на противоположно събитие – Вероятността на противоположното събитие е равна на единица минус вероятността на събитието А, т.е.
    (7): p () = 1 – p (A).

Примери: Виж още Зад. 2 и Зад. 13.

  Решени задачи

II. Статистика и обработка на данни

  • Когато данните не се повтарят
    (8): , където x1, x2, …, xn са стойностите на данните, n – броят им, – средната стойност.

    Пример: Средната стойност на множеството от данни 3, 5, 1, 5 е

    = 3,5.

    Бележка:

    Независимо от това, че имаме повтарящи се данни (числото 5 се среща на две места), може да използваме формула (8).

  • Когато има повтарящи се данни – Ако стойностите на данните са x1, x2, …, xn, броят на повторенията (честотите) на всяка от данните е f1, f2, …, fn, а броят на всички данни е n, то използваме формулата:
    (9): .
  • Статистически ред – Данните са подредени по големина, като най-често се започва от най-малката, т.е. при статистическият ред данните се подреждат по възходящ ред.
  • Oпределение – Стойността, която се намира в средата на статистическия ред.
  • Намиране на медианата при нечетен брой данни – когато броят на данните е нечетен, то медианата е равна на числото намиращо се в средата на редицата.

    Пример: Медианата на множеството от данни 2, 2, 4, 7, 7 е числото 4, защото:

    1. Данните са подредени по възходящ ред.
    2. Броят на членовете е нечетен.
    3. Числото 4 е централен член (преди него и след него има еднакъв брой членове).
  • Намиране на медианата при четен брой данни – когато броят на данните е четен, то медианата е равна на средноаритметичното на двата централни члена в редицата.

    Пример: Медианата на множеството от данни 2, 2, 2, 4, 7, 7 е числото 3, защото:

    1. Данните са подредени по възходящ ред.
    2. Броят на членовете е четен.
    3. Числото 3 е средното аритметично на двата централни члена 2 и 4.
  • Практическо правило за определяне на медианата – Ако данните са много е удобно да използваме следното
    Правило:
  • Oпределение – Стойността, която се среща най-често в данните (понякога тя се нарича средна величина на гъстотата).
  • Примери:

    • В редицата 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7 най-често срещаната стойност е 5, затова модата е равна на 5.
    • В редицата 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9 най-често се срещат числата 5 и 6, и то с еднаква честота. Тогава тази редица има две моди: 5 и 6.
    • В редицата 4, 4, 5, 5, 6, 6 всички числа се срещат еднакво често, тогава модата не е определена.
Бележки:
  1. По лесно се определя модата, ако данните предварително са подредени във възходящ ред (от по-малко към по-голямо).
  2. За разлика от останалите величини, в едно разпределение може да има повече от една мода (както във втори и трети пример).
  3. Средната стойност на множество от данни ни дава възможност да преценим какво е относителното положение на даден резултат в това множество. В някои случаи обаче (например, когато голяма част от числата участващи в множеството, се колебаят около 2, а най-голямото число е 10 000) средната стойност не дава достатъчно добра информация за характера на данните или дори може да бъде и подвеждаща. В подобни случаи е удобно да се използва медианата, като числена характеристика на данните.
  4. В някои случаи и медианата не е най-добрата характеристика, а в други случаи – е модата.

Например: В един магазин продават 21 стоки, като 10 стоки по 15 лв., 4 – по 25 лв., 3 – по 30 лв., 2 – по 60 лв., 1 – по 125 лв. и 1 – по 150 лв. Тогава от формула (8) определяме, че средната стойност на цената на стоката е 35 лв., но както виждаме, 17 от 21 стоки имат по-ниска цена. Затова по-добрата характеристика на това множество е медианата, която в този случай е 25 лв. Но почти половината от стоките (10) са с по-ниска цена. В конкретната задача е удобно да се използва модата като характеристика на разпределението (която е 15 лв.), защото тя дава най-точна представа за цената на една стока.

  Решени задачи

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 классамоподготовка по математика за 10 класуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 0888 919 954 (вечер), г-н. Станев.

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание