Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Алгебра

Комбинаторика и вероятности. Статистика и обработка на данни

Съдържание на темата:

Комбинаторика и вероятности
Статистика и обработка на данни

Теория

I. Комбинаторика и вероятности

Съединения

Oпределение – Съединение се нарича група от елементи на дадено крайно множество.
Видове съединения:
- Съединение без повторение – съединение, което се състои от различни елементи.
  
  Например: Групата от числа 1, 2, 3 или 7, 8, 5 са две съединения с различни елементи. Нито едно от числата в двете групи не се повтаря.
- Съединение с повторение – при този вид съединение някои елементи могат да се повтарят.
  
  Например: Групата от числа 1, 1, 3 или 2, 2, 1 са две съединения с повтарящи се елементи. В първата група се повтаря елемента 1, а във втората – елемента 2.
Бележка:

Ще разглеждаме само съединения с не повтарящи се елементи.

Основни правила за действия със съединения

Правило за събиране – Ако елементът А може да бъде избран по N начина, а друг елемент В – по М начина, то кой да е елемент А или В от групата може да бъде избран по N + M начина.

Например: Виж Зад. 1.
Правило за умножение – Ако елементът А може да бъде избран по N начина и при всеки избор на А елементът В може да бъде избран по М начина, то изборът на наредената двойка (A, B) може да стане по N.M начина.

Например: Виж Зад. 2.

Правило:

В някои случаи е трудно да се определи кое правило трябва да се използва. Може да се ръководите от следното:

В условието на задачата, ако елементите А и В са свързани със съюза „или“, прилагаме правилото за събиране.
В условието на задачата, ако елементите А и В са свързани със съюза „и“, прилагаме правилото за умножение.

Пермутации

Oпределение – Наредена група, която съдържа всички дадени елементи точно по един път.
По какво се различават пермутациите – Пермутациите имат еднакви елементи, но се различават само по подредбата им.

Примери:

Числата 1 и 2 образуват две различни пермутации: (1,2) и (2,1), защото се използват всичките два елемента, но подредбата им е различна.
Числата 1, 2 и 3 образуват шест различни пермутации: (1,2,3), (1,3,2), (3,1,2), (2,1,3), (2,3,1) и (3,2,1), защото се използват всичките три елемента, но са подредени по различен начин.
Виж още Зад. 3 и Зад. 4.

Формула – Броят на всички пермутации от n елемента се означава с P_n и се намира по формулата:
(1): P_n = n(n – 1)(n – 2) … 3.2.1 = n!.

Вариации

Oпределение – Наредена група от k различни елемента (k-ти клас) избрани измежду дадените n елемента, като k ≤ n.
По какво се различават вариациите – Две вариации се различават една от друга или по един различен елемент или ако имат еднакви елементи, но подредени по различен начин.

Примери:

С цифрите 1, 2 и 3 могат да се съставят следните различни двуцифрени числа: 12, 21, 13, 31, 23, 32. Виждаме, че първата и втората наредена двойка от числа имат еднакви елементи, но са подредени по различен начин. Затова, тези двойки са две различни вариации. Първата и последната двойка от числа се състои от различни елементи и затова са две различни вариации.
Виж още от Зад. 5 до зад. 7.

Формула – Броят на вариациите на n елемента от k-ти клас се означава V_n^k и се намира по формулата:
(2): V_n^k = n(n – 1)(n – 2) … (n – k + 1) = .

Бележка:

От определенията за пермутации и вариации следва, че пермутации на n елемента могат да се разглеждат като вариации на n елемента от n–ти клас, т.е. P_n = V_nⁿ.

Комбинации

Oпределение – Наредена група от k различни елемента (k-ти клас) избрани измежду дадените n елемента, като редът на елементите в групата е без значение, като k ≤ n.
По какво се различават комбинациите – Две комбинации се различават една от друга само ако имат по един различен елемент, без значение в какъв ред са те (за разлика от вариациите, където редът на елементите има значение).

Примери:

Нека да вземем числото 123. Ако разместим (пермутираме) елементите на това число, получаваме P₃ = 3! = 3.2.1 = 6 съединения. Това са числата 123, 132, 213, 231, 312, 321. Ако имаме три топки (имаме еднакви елементи) номерирани с цифрите 1, 2 и 3, то без значение от реда на изтегляне на топките (първо – топка с число 1, след това – топка с число 2 и накрая – топка с число 3 или в някакъв друг ред, то сме взели и трите топки) имаме само една комбинация.
От примера за вариации видяхме, че с цифрите 1, 2 и 3 може да съставим шест двуцифрени числа, защото от формулата за вариации (формула 2) следва, че при n = 3 и k = 2 получаваме: V₃² = 3.2 = 6 вариации. Нека сега да имаме три топки и се питаме по колко начина може да изберем две от тях. В случая няма значение редът на избирането на топките (дори е по-добре да мислим, че двете топки се избират едновременно), затова свеждаме задачата до позната задача. Предполагаме, че редът на избиране на топките има значение. Възможните начини за избор са V₃² = 3.2 = 6. При това предположение изборът (първо – на топка 1, а после – на топка 2) е различен от избора (първо – на топка 2, а после – на топка 1). В конкретната задача подредбата на двете топки няма значение, т.е. изборът (топка 1 и топка 2) и изборът (топка 2 и топка 1) дават един и същи резултат, избират се две еднакви топки. Това означава, че намереният брой е два пъти по-голям от търсения брой в задачата, т.е. имаме = 3 начина да изберем две топки от общо три.
Виж още от Зад. 8 до зад. 11.

Формула – Броят на комбинациите на n елемента от k-ти клас се означава C_n^k и се намира по формулата:
(3): .

Бележка:

Ако имаме съмнения дали даден случай е вариация или комбинация, достатъчно е да проверим дали се променя ситуацията, ако се разменят местата на елементите:

Ако ситуацията се променя, то имаме вариация.
Ако ситуацията НЕ се променя, то имаме комбинация.

Класическа вероятност

Събитие – Резултатът от проведен опит или наблюдение.
Видове събития:
- Достоверно събитие – Събитие, което винаги се случва. Например: Достоверно събитие е водата да се превърне в лед, ако я поставим във фризера.
- Невъзможно събитие – Събитие, което никога няма да се случи. Например: Невъзможно събитие е при хвърлянето на един зар да се падне 7.
- Несъвместими събития – Събитията A и B се наричат несъвместими, когато НЕ могат да се случат едновременно. Например: При хвърлянето на един зар НЕ могат да се случат едновременно двете събития: събитие А = „броят на точките да е 2“ и събитие В = „броят на точките да е нечетно число“.
- Съвместими събития – Събитията A и B се наричан съвместими, когато могат да се случат едновременно. Например: При хвърлянето на един зар могат да се случат едновременно двете събития: събитие А = „броят на точките да е 2“ и събитие В = „броят на точките да е четно число“.
- Противоположно събитие – Събитие, което се случва тогава и само тогава, когато НЕ се случва събитието А. Означава се с .
Oпределение за вероятност – Вероятност р за настъпване на едно събитие А наричаме отношението на броя m на благоприятните случаи на А към броя n на всички възможни случаи, т.е.
Основни свойства на вероятностите:
- Вероятността на достоверното събитие е равна на 1 (или 100%).
- Вероятността на невъзможното събитие е равна на 0 (или 0%).
- Вероятността на кое да е събитие А е между 0 и 1, т.е. 0 ≤ p (A) ≤ 1 (или 0% ≤ p (A) ≤ 100%).
Вероятност на сума от несъвместими събития – Вероятността на обединението на две несъвместими събития А и В е равна на сумата от вероятностите на тези събития, т.е.
(5): p (A B) = p (A) + p (B).
Вероятност на сума от съвместими събития – Вероятността на обединението на две съвместими събития А и В е равна на сумата от вероятностите на тези събития минус вероятността на сечението им, т.е.
(6): p (A B) = p (A) + p (B) – p (A ∩ B).
Вероятност на противоположно събитие – Вероятността на противоположното събитие е равна на единица минус вероятността на събитието А, т.е.
(7): p () = 1 – p (A).

Примери: Виж още Зад. 2 и Зад. 13.

Решени задачи

II. Статистика и обработка на данни

Средна стойност

Когато данните не се повтарят
(8): , където x₁, x₂, …, x_n са стойностите на данните, n – броят им, – средната стойност.

Пример: Средната стойност на множеството от данни 3, 5, 1, 5 е

= 3,5.

Бележка:

Независимо от това, че имаме повтарящи се данни (числото 5 се среща на две места), може да използваме формула (8).
Когато има повтарящи се данни – Ако стойностите на данните са x₁, x₂, …, x_n, броят на повторенията (честотите) на всяка от данните е f₁, f₂, …, f_n, а броят на всички данни е n, то използваме формулата:
(9): .

Медиана

Статистически ред – Данните са подредени по големина, като най-често се започва от най-малката, т.е. при статистическият ред данните се подреждат по възходящ ред.
Oпределение – Стойността, която се намира в средата на статистическия ред.
Намиране на медианата при нечетен брой данни – когато броят на данните е нечетен, то медианата е равна на числото намиращо се в средата на редицата.
Пример: Медианата на множеството от данни 2, 2, 4, 7, 7 е числото 4, защото:
1. Данните са подредени по възходящ ред.
2. Броят на членовете е нечетен.
3. Числото 4 е централен член (преди него и след него има еднакъв брой членове).
Намиране на медианата при четен брой данни – когато броят на данните е четен, то медианата е равна на средноаритметичното на двата централни члена в редицата.
Пример: Медианата на множеството от данни 2, 2, 2, 4, 7, 7 е числото 3, защото:
1. Данните са подредени по възходящ ред.
2. Броят на членовете е четен.
3. Числото 3 е средното аритметично на двата централни члена 2 и 4.
Практическо правило за определяне на медианата – Ако данните са много е удобно да използваме следното
Правило:
В някои случаи е трудно да се определи кое правило трябва да се използва. Може да се ръководите от следното:
1. Подреждаме данните във възходящ ред.
2. Изчисляваме номера на медианата №_Ме по формулата
  , където n е броят на данните.
  - Ако n е нечетно число, номерът №_Ме ще е цяло число и ще имаме един централен член с този номер.
  - Ако n е четно число, номерът №_Ме няма да е цяло число и ще имаме два централни члена, чиито номера съответстват на двете цели числа, обграждащи №_Ме.
3. Намираме медианата.
  - Ако n е нечетно число, то медианата е равна на централния член.
  - Ако n е четно число, то медианата е равна на средното аритметично на двата централни члена.

Мода

Oпределение – Стойността, която се среща най-често в данните (понякога тя се нарича средна величина на гъстотата).

Примери:

В редицата 3, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 7 най-често срещаната стойност е 5, затова модата е равна на 5.
В редицата 4, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 9 най-често се срещат числата 5 и 6, и то с еднаква честота. Тогава тази редица има две моди: 5 и 6.
В редицата 4, 4, 5, 5, 6, 6 всички числа се срещат еднакво често, тогава модата не е определена.

Бележки:

По лесно се определя модата, ако данните предварително са подредени във възходящ ред (от по-малко към по-голямо).
За разлика от останалите величини, в едно разпределение може да има повече от една мода (както във втори и трети пример).
Средната стойност на множество от данни ни дава възможност да преценим какво е относителното положение на даден резултат в това множество. В някои случаи обаче (например, когато голяма част от числата участващи в множеството, се колебаят около 2, а най-голямото число е 10 000) средната стойност не дава достатъчно добра информация за характера на данните или дори може да бъде и подвеждаща. В подобни случаи е удобно да се използва медианата, като числена характеристика на данните.
В някои случаи и медианата не е най-добрата характеристика, а в други случаи – е модата.

Например: В един магазин продават 21 стоки, като 10 стоки по 15 лв., 4 – по 25 лв., 3 – по 30 лв., 2 – по 60 лв., 1 – по 125 лв. и 1 – по 150 лв. Тогава от формула (8) определяме, че средната стойност на цената на стоката е 35 лв., но както виждаме, 17 от 21 стоки имат по-ниска цена. Затова по-добрата характеристика на това множество е медианата, която в този случай е 25 лв. Но почти половината от стоките (10) са с по-ниска цена. В конкретната задача е удобно да се използва модата като характеристика на разпределението (която е 15 лв.), защото тя дава най-точна представа за цената на една стока.

Решени задачи

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ