Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Геометрия

Вие сте тук:   || Окръжност. Ъгли в окръжност - теория


Взаимно положение на права и окръжност. Ъгли свързани с окръжност


Теория

I. Взаимно положение на права и окръжност

  • Oпределение за окръжност – Фигура, състояща се от всички точки, които са на едно и също разстояние r от дадена точка O (Фиг. 1).
  • Елементи на окръжността:
    • Център – Например, на Фиг. 1 центърът е точка O.
    • Радиус r – Разстоянието от центъра до произволна точка на окръжността. Например, на Фиг. 1 радиусът е ON = OM = r.
    • Диаметър d – Отсечка, минаваща през центъра и свързваща две точки от окръжността. Например, на Фиг. 1 диаметърът е NM = d = 2r.
  • Начин за означаване – обикновено се означава с k (O; r).

Отсечка, свързваща две произволни точки от окръжността. Например, правата AB на Фиг. 1.

Бележка:

Диаметърът d = MN (Фиг. 1) на окръжността е вид хорда, която минава през центъра на окръжността.

Права, която има две общи точки с окръжността. Например, правата AB на Фиг. 3.

Права, която има една обща точка с окръжността, като общата точка се нарича допирна точка. Например, правата ЕВ на Фиг. 3 е допирателна към окръжността, като допирната точка е т. Е.

  • За хорда и диаметър:

    Теорема 1: Ако диаметър е перпендикулярен на хорда в окръжност, то той разполовява хордата и съответната ѝ дъга, т.е. (Фиг. 1):

    диаметър и хорда

    Теорема 2: Нека AB, CD, PG са хорди, които се пресичат в точка М (Фиг. 2) и нека PG е перпендикулярна на диаметъра EF, то:

    (2): AM.MB = MD.CM = PM2 = GM2.

    Следствие 1: Ако е дадена хорда в окръжност, то центърът на тази окръжност лежи на симетралата на хордата (или симетралата на хорда в окръжност минава през центъра на окръжността). Например: Ако AB е хорда (Фиг. 1), то NM е симетралата на тази хорда.

  • За допирателни:

    Теорема 3: Допирателната е винаги перпендикулярна на радиуса на окръжността. Например, на Фиг. 3 ЕВ OE.

    Теорема 4: Ако правите ЕВ и DB (Фиг. 3) са допирателни и се пресичат във външна точка B на окръжността, то ОВ е ъглополовяща на EBD и

    (3): EB = DB.

    Теорема 5: Ако точка B (Фиг. 3) е външна за окръжността, правите АВ и CB са секущи, а ЕВ допирателна, то:

    (4): FB.AB = GB.CB = EB2.

Бележка:

За извод на първото и третото равенство от формула (4) виж Зад. 3, а за извод на първото и второто равенство виж Зад.4.



  Решени задачи

II. Ъгли свързани с окръжност

Върхът му O е в центъра на окръжността, а раменете му са секателни. За този ъгъл имаме (Фиг. 4):

Следствие 1: На равни централни ъгли съответстват равни хорди и обратното, на равни хорди отговарят равни централни ъгли.

Следствие 2: На равни дъги отговарят равни хорди и обратното, на равни хорди отговарят равни дъги.

Върхът му C лежи на окръжността, а раменете му са секателни. За него имаме (Фиг. 4):

Следствие 1: Всички вписани ъгли в една и съща окръжност, чиито рамене отсичат едни и същи дъги, са равни.

Следствие 2: Вписани ъгли чиито рамене минават през краищата на диаметър, са прави.

Върхът му C лежи на окръжността, едното му рамо е допирателно, а другото рамо пресича окръжността. За този ъгъл имаме (Фиг. 4):

Бележка:

Формула (9) може да се приложи и когато едната или двете прави от AB и CB са допирателни.

  Решени задачи

III. Взаимно положение на две окръжности

Правата свързваща центровете на две окръжности. Например, на Фиг. 5 са дадени окръжностите k1 (O1; r) и k2 (O2; R), като r < R. Разстоянието между техните центрове се отбелязва с d = O1O2 и се нарича тяхна централа.

две окръжности Взаимното положение на двете окръжности k1 (O1; r) и k2 (O2; R) се определя от числото d и от радиусите r и R на окръжностите.

  • Концентрични окръжности.
    • Определение – Окръжности, на които центровете им съвпадат.
    • Чертеж – Фиг. 6.
    • Брой на общите им точки – Двете окръжности нямат общи точки.
    • Критерий – d = 0.
  • Едната окръжност е вътрешна за другата.
    • Чертеж – Фиг. 7.
    • Брой на общите им точки – Двете окръжности нямат общи точки.
    • Критерий – d < R – r.
  • Вътрешно допирателни окръжности.
    • Чертеж – Фиг. 8.
    • Брой на общите им точки – Двете окръжности имат 1 обща точка.
    • Допирна точка – Общата точка на двете окръжности. На Фиг. 8 т. Т е допирната точка на двете окръжности.
    • Критерий – d = R – r.
  • две окръжности - чертежи Пресичащи се окръжности.
    • Чертеж – Фиг. 9.
    • Брой на общите им точки – Двете окръжности имат 2 обща точка.
    • Критерий – R – r < d < R + r.
  • Външно допирателни окръжности.
    • Чертеж – Фиг. 10.
    • Брой на общите им точки – Двете окръжности имат 1 обща точка.
    • Допирна точка – Общата точка на двете окръжности. На Фиг. 10 т. Т е допирната точка на двете окръжности.
    • Критерий – d = R + r.
  • Непресичащи се окръжности, външни една за друга.
    • Чертеж – Фиг. 11.
    • Брой на общите им точки – Двете окръжности нямат общи точки.
    • Критерий – d > R + r.

IV. Общи допирателни на две окръжности

О – Прави, които се допират до двете окръжности.

обща допирателна
  • Обща външна допирателна – Двете окръжности са в една и съща полуравнина спрямо общата им допирателна (Фиг. 12).
  • Обща вътрешна допирателна – Двете окръжности са в различни полуравнини спрямо общата им допирателна (Фиг. 13).
  • Едната окръжност е вътрешна за другата (или са концентрични окръжности):
    • Чертеж – Фиг. 14.
    • Брой общи вътрешни допирателни – Двете окръжности нямат общи вътрешни допирателни.
    • Брой общи външни допирателни – Двете окръжности нямат общи външни.
  • Вътрешно допирателни окръжности:
    • Чертеж – Фиг. 15.
    • Брой общи вътрешни допирателни – Двете окръжности нямат общи вътрешни допирателни.
    • Брой общи външни допирателни – Двете окръжности имат 1 обща външна допирателна.
  • Пресичащи се окръжности:
    • Чертеж – Фиг. 16.
    • Брой общи вътрешни допирателни – Двете окръжности нямат общи вътрешни допирателни.
    • Брой общи външни допирателни – Двете окръжности имат 2 общи външни допирателни.
  • Външно допирателни окръжности:
    • Чертеж – Фиг. 17.
    • Брой общи вътрешни допирателни – Двете окръжности имат 1 обща вътрешна допирателна.
    • Брой общи външни допирателни – Двете окръжности имат 2 общи външни допирателни.
  • Непресичащи се окръжности, външни една за друга:
    • Чертеж – Фиг. 18.
    • Брой общи вътрешни допирателни – Двете окръжности имат 2 общи вътрешни допирателни.
    • Брой общи външни допирателни – Двете окръжности имат 2 общи външни допирателни.
Бележка:

Броят на общите вътрешни и външни допирателни към две окръжности зависи от взаимното положение на тези две окръжности.


вътрешно допирателни окръжности
пресичащи се окръжности
външно допирателни окръжности
окръжности

  Решени задачи

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 классамоподготовка по математика за 10 класуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 0888 919 954 (вечер), г-н. Станев.

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание