Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Геометрия

Вие сте тук:   || Триъгълници - теория


Триъгълници


Теория

I. Теорема на Талес. Подобни триъгълници

Бележка:

Навсякъде в долните формули се използват следните означения: AB = c, AC = b, BC = a, A = α, B = β, C = γ, ma, mb, mc – медиани към съответните страни; la, lb, lc – ъглополовящи към съответните страни; ha, hb, hc – височини към съответните страни; r - радиус на вписаната окръжност; R – радиус на описаната окръжност; Р – периметър, S – лице.

  • Права теорема (Фиг. 1)
    (1): Ако AB || CD, то .
  • Следствие:
    (2): Ако AB || CD, то .

    Доказателство:

    • От Фиг. 1 OD = OB + BD; OC = OA + AC.
    • Използваме формула (1):
      следствие теорема Талес
  • Обратна теорема на Талес (Фиг. 1):
    (3): Ако , то AB || CD.
  • Определение – Ако ΔABC ~ ΔA1B1C1 (Фиг. 2), то A = B = C и = k, където k е коефициент на подобие.
  • І признак – Ако два ъгъла от един триъгълник са съответно равни на два ъгъла от друг триъгълник, то триъгълниците са подобни, т.е. (Фиг. 2):
    (4): Ако A = A1 и B = B1 ΔABC ~ ΔA1B1C1.
  • ІІ признак – Ако две страни от един триъгълник са съответно пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите, заключени между тях са равни, то триъгълниците са подобни, т.е. (Фиг.2):
    (5): Ако и B = B1 ΔABC ~ ΔA1B1C1.
  • ІІІ признак – Ако страните на един триъгълник са съответно пропорционални на страните на друг триъгълник, то триъгълниците са подобни, т.е. (Фиг.2):
    (6): Ако ΔABC ~ ΔA1B1C1.
  • ІV признак (само за правоъгълни триъгълници) – Два правоъгълни триъгълника са подобни, ако катет a и хипотенуза c от един триъгълник Δ са съответно пропорционални на катет a1 и хипотенуза c1 от друг триъгълник Δ1, т.е.:

  Решени задачи

II. Правоъгълен триъгълник

Теорема 1 – Ако А = 30° (Фиг. 3), то

(10): BC = AB (или AB = 2BC).

Теорема 2 – Ако е изпълнено (10) следва, че А = 30°.

Теорема 1 – Ако mc = CO е медиана към хипотенузата c = AB (Фиг. 4) в ΔABC (C = 90°), то

(11): mc = CO = AB (или AB = 2CO).

Теорема 2 – Ако в произволен триъгълник медианата към едната страна е равна на половината от нея, то ъгълът срещу тази страна е прав, т.е. На Фиг. 4, ако AO = BO = CO, то C = 90°.

Виж Фиг. 3.

(12): a2 + b2 = c2.

  • Правоъгълен триъгълник – Ако
    (13): a2 + b2 = c2 γ = 90°.
  • Тъпоъгълен триъгълник – Ако
    (14): a2 + b2 < c2 γ > 90°.
  • Остроъгълен триъгълник – Ако
    (15): a2 + b2 > c2 γ < 90°.

Ако CD = hc (Фиг. 3) е височина, а AD = b1 и BD = a1 са проекциите съответно на катетите b и a върху хипотенузата c, то:

(16): a2 = c.a1;

(17): b2 = c.b1;

(18): hc2 = a1.b1;

(19): hc.c = a.b.

В правоъгълният триъгълник ΔABC (Фиг. 4) хипотенузата АВ е диаметър на описаната окръжност, т.е.:

(20): c = AB = 2R.

  • Права АС е допирателна до окръжност тогава и само тогава, когато е перпендикулярна на радиуса r в общата точка на правата и окръжността (Фиг. 5), т.е.
    Ако АС – допирателна до к AC r, където r = OM.
  • Допирателните от външна точка към окръжността са равни (Фиг. 5), т.е.
    Ако АM и АP – допирателни AM = AP.
  • Радиус на вписана окръжност – Ако точките M и N са допирните точки на окръжността до правоъгълния ΔABC (Фиг. 5), т. О – център на вписаната окръжност, а т. С – връх с прав ъгъл, то ONCM – квадрат, т.е.
    (21): OM = ON = CM = CN = r.
  • Връзка между радиусът на вписаната окръжност и страните на триъгълника – Ако с p отбележим полупериметъра на триъгълника, то за r имаме изпълнено (Фиг. 5)
    (22): r = p – c = .

  Решени задачи

III. Средни отсечки в триъгълник

О – Отсечка, която съединява средите на две от страните на триъгълник. На Фиг. 6, ако точките M, N и P са среди съответно на страните AC, BC и AB, то MN, PM и PN са средни отсечки в ΔABC.

T1 – Права, минаваща през средата на една от страните на триъгълник и е успоредна на втора страна, то тя минава през средата на третата страна (Фиг. 6), т.е.
(28): т. M – среда на АС и MN || AB следва, че т. N е среда на ВС.

T2 – Всяка средна отсечка в триъгълник е успоредна на една от страните му и е равна на половината от нея (Фиг. 6), т.е.
(29): MN – средна отсечка MN = AB (или AB = 2MN).

  Основни задачи

IV. Медиани в триъгълник

О – В геометрията, медианата е отсечката в триъгълника, която свързва всеки негов връх със средата на срещуположната му страна. Всеки триъгълник има точно 3 медиани (Фиг. 7), съответно на броя върхове.

  • Определение – Медианите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича медицентър.
  • Теорема – Медицентърът разделя всяка медиана в отношение 2:1, считано от върха на триъгълника. Например: На Фиг. 7, ако AA1 е медиана и т. M е медицентър, то
    (30): AM : MA1 = 2 : 1.

При стандартните обозначения за страните на триъгълник, ако ma е медианата към страната a имаме формулата:

(31): 4ma2 = 2(b2 + c2) – a2.

Бележка:

Тази формула може да се запише и за медианите към другите страни в триъгълника.

Ако са дадени трите медиани и една от страните на триъгълник, имаме формулата:

(32): 9a2 = 4(2mb2 + 2mc2 – ma2).

Бележка:

Тази формула може да се запише и за другите две страни в триъгълника.

  Основни задачи

V. Ъглополовящи в триъгълник

О – Отсечките, които делят съответния ъгъл на две равни части. В триъгълник има точно 3 ъглополовящи, съответно на броя върхове (Фиг. 8).

Вътрешните ъглополовящи на всеки триъгълник се пресичат в една точка (на Фиг. 8 това е т. L), която е център на вписаната в триъгълника окръжност.

Ако AA1 = la е ъглополовяща на A (Фиг. 8), то:

(33): .

(34): AA12 = AB.AC – BA1.A1C.

(35): AA12 = AB.AC – .

Бележка:

Формули (33), (34) и (35) може да се запишат и за ъглополовящите към другите страни в триъгълника (в Основна зад. 5.3 сме извели формула (35) за ъглополовящата BB1).

  • Всяка точка от ъглополовящата на ъгъл се намира на равни разстояния от раменете на ъгъла.
  • В равнобедрен триъгълник медианата, ъглополовящата и височината през върха срещу основата съвпадат и лежат върху симетралата на основата, т.е. медиана, ъглополовяща, височина и симетрала към основата съвпадат.
  • В равностранен триъгълник медианата, ъглополовящата и височината през всеки връх съвпадат и лежат върху симетралата на съответната страна, т.е. медиана, ъглополовяща, височина и симетрала към всяка страна съвпадат.

  Основни задачи

  Решени задачи

VI. Височини и симетрали в триъгълник

Височините на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър.

ортоцентър
  • При остроъгълен триъгълник – Ортоцентърът (т. Н) е вътрешна точка за триъгълника (Фиг. 9).
  • При правоъгълен триъгълник – Ортоцентърът (т. Н) съвпада с върха на правия ъгъл (Фиг. 10).
  • При тъпоъгълен триъгълник – Ортоцентърът (т. Н) е външна точка за триъгълника (Фиг. 11).
симетрала

Симетралите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която е център на описаната около триъгълника окръжност. На чертежите центърът на описаната окръжност е отбелязан с т. О, като на Фиг. 12 ΔABC е остроъгълен, на Фиг. 13 ΔABC е правоъгълен и на Фиг. 14 ΔABC е тъпоъгълен.

Бележки:
  1. В равностранен триъгълник медицентърът, ортоцентърът, центърът на вписаната и центърът на описаната окръжност съвпадат, т.е. те лежат върху височината.
  2. В равнобедрен триъгълник медицентърът, ортоцентърът, центърът на вписаната и центърът на описаната окръжност лежат върху височината към основата, но НЕ съвпадат.

  Основни задачи

VII. Окръжност, описана около триъгълник

О – Окръжността, която минава през върховете на триъгълник, се нарича описана около триъгълника, а триъгълникът се нарича вписан в окръжността.

T – Симетралите на трите страни на триъгълник се пресичат в центъра на описаната около триъгълника окръжност (точка О).

център на описана окръжност

Центърът на описаната около триъгълник окръжност е на различно место:

  • Ако ΔABC е остроъгълен, т. О е вътрешна за триъгълника (Фиг. 15).
  • Ако ΔABC е правоъгълен, т. О е среда на хипотенузата (Фиг. 16).
  • Ако ΔABC е тъпоъгълен, т. О е външна за триъгълника (Фиг. 17).

За всеки произволен триъгълник, ортоцентърът Н, медицентърът М и центърът О на описаната окръжност (пресечната точка на симетралите на страните) лежат на една права, като НМ = 2МО.

Бележка:

От определението и теоремата следва, че около всеки триъгълник може да се опише окръжност.

VIII. Окръжност, вписана в триъгълник

О – Окръжността, която се допира до страните на триъгълник, се нарича вписана окръжност за триъгълника, а триъгълникът се нарича описан около окръжността (Фиг. 18).

T – Вътрешните ъглополовящи на ъглите на триъгълник се пресичат в центъра на вписаната в триъгълника окръжност (Фиг. 18).

ОЗ 8.1:
Нека произволен ΔABC има стани AB = c, BC = a и AC = b, и вписаната в него окръжност допира тези страни съответно в точките K, P, N (Фиг. 18). Ако означим: AK = AN = x, BK = BP = y, CP = CN = z и р – полупериметъра на ΔABC, то:

(36): x = p – a = ,

y = p – b = ,

z = p – c = .

Бележка:

От определението и теоремата следва, че във всеки триъгълник може да се впише окръжност.

  Решени задачи

IX. Забележителни точки в триъгълник

В триъгълник разгледахме четири характерни точки:

  1. Медицентър – Трите медиани се пресичат в една точка, която е медицентър M на триъгълника.
  2. Център на вписаната окръжност – Трите вътрешни ъглополовящи се пресичат в една точка, която е център L на вписаната в триъгълника окръжност.
  3. Център на описаната окръжност – Трите симетрали се пресичат в една точка, която е център O на описаната около триъгълника окръжност.
  4. Ортоцентър – Трите височини се пресичат в една точка, която е ортоцентър H на триъгълника.

Тези четири точки се наричат забележителни точки в триъгълника.

  • Точките 1 и 2 – Медицентърът и центърът на вписаната окръжност са винаги вътрешни за триъгълника.
  • Точките 3 и 4 – Центърът на описаната около триъгълника окръжност и ортоцентърът са вътрешни за остроъгълния триъгълник, лежат върху хипотенузата (точка 3) или връх в правоъгълния триъгълник (точка 4) и са външни за тъпоъгълния триъгълник.
  • В равностранен триъгълник – Четирите точки съвпадат.
    Бележка:

    Ако две от забележителните точки в един триъгълник съвпадат, триъгълникът е равностранен.

  • В равнобедрен триъгълник – Четирите точки лежат върху височината (или медианата или ъглополовящата или симетралата) към основата на триъгълника, но НЕ съвпадат.

  Решени задачи

X. Връзка между страни и ъгли в триъгълник

T – В триъгълник срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл и обратно, срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна.

  • В триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две, т.е. (Фиг. 19):
    (37): a < b + c, b < a + c, c < a + b.
  • В триъгълник всяка страна е по-голяма от разликата на другите две, т.е. (Фиг. 19):
    (38): a > c – b, b > c – a, c > b – a.

Ако имаме стандартните означения за страни и ъгли в триъгълник (Фиг. 19), а R е радиус на описаната около триъгълника окръжност, то са в сила равенствата:

(39): = 2R.

Виж Фиг. 19.

(40): a2 = b2 + c2 – 2b.c.cos α.

b2 = a2 + c2 – 2a.c.cos β.

c2 = a2 + b2 – 2a.b.cos γ.

или

cos α = ; cos β = ; cos γ = .

  Решени задачи

XI. Лице на триъгълник

  • Височина в равностранен триъгълник със страна a:
    (46): h = a.
  • Лице:
    (47): S = a2.
Бележка:

За лице на правоъгълен триъгълник виж формула (27).

  Решени задачи

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 классамоподготовка по математика за 10 класуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 0888 919 954 (вечер), г-н. Станев.

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание