Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Геометрия

Вие сте тук:   || Четириъгълници - теория


Четириъгълници


Теория

I. Четириъгълник, вписан в окръжност

О – Четириъгълник (Фиг. 1), на който върховете му лежат на една окръжност, се нарича вписан в тази окръжност, а окръжността се нарича описана.

Центърът на тази окръжност лежи на пресечната точка на симетралите му, т.е. центърът на тази окръжност е на равни разстояния от върховете на четириъгълника.

T1 – Необходимото и достатъчно условие четириъгълник да е вписан в окръжност е сборът от два срещулежащи ъгъла да е равен на 180°, т.е. (Фиг. 1):

(1): ABCD – вписан A + C = 180°.

Бележки:
  1. Изразът „необходимото и достатъчно условие“ обединява следните две твърдения:
    • Ако четириъгълник е вписан в окръжност, то е необходимо сборът от два срещулежащи ъгъла да е равен на 180°.
    • Ако сборът от два срещулежащи ъгъла да е равен на 180°, това е достатъчно да твърдим, че четириъгълникът е вписан в окръжност.

    Така двете твърдения се обединяват в една теорема чрез думите „необходимото и достатъчно условие“.

  2. В Тема 2 доказахме, че около всеки триъгълник може да се опише окръжност, но от Теорема 1 следва, че НЕ около всеки четириъгълник може да се опише окръжност, а само около този, за който е изпълнено условието:
    A + C = 180°.

  Решени задачи

II. Четириъгълник, описан около окръжност

О – Четириъгълник (Фиг. 2), на който страните се допират до окръжност, се нарича описан около окръжност, а окръжността се нарича вписана в четириъгълника.

Центърът на вписаната в четириъгълник окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите му.

T2 – Необходимото и достатъчно условие в изпъкнал четириъгълник да може да се впише окръжност, е сборът на две негови срещуположни страни да е равен на сбора от другите му две страни, т.е. (Фиг. 2):

(2): ABCD – описан AB + CD = AD + BC.

Бележки:

В Тема 2 доказахме, че във всеки триъгълник може да се впише окръжност, но от Теорема 2 следва, че НЕ във всеки четириъгълник може да се впише окръжност, а само в този, за който е изпълнено условието AB + CD = AD + BC.

III. Успоредник. Видове успоредници

За определението, теоремите-признаци и теоремите-свойства виж „Успоредник“.

Сборът от квадратите на диагоналите d1 = AC и d2 = BD на успоредник (Фиг. 3) е равен на удвоения сбор от квадратите на страните му a и b, т.е.:

(3): d12 + d22 = 2(a2 + b2).

При стандартните означения за успоредник (Фиг. 3) имаме формулите:

(4): S = a.ha = b.hb = a.b.sin α = d1.d2.sin BOC.

Бележки:
  1. От всички успоредници с едни и същи страни a и b най-голямо лице има правоъгълникът, защото α = 90°.
  2. За други формули за лице на успоредник виж Зад. 3 и Зад. 4.

Успоредникът е вид четириъгълник, затова всички твърдения изказани за четириъгълник важат и за успоредник.

Бележки:
  1. Произволен успоредник НЕ може да се впише в окръжност. Ако успоредник е вписан в окръжност, то той е правоъгълник или квадрат.
  2. Произволен успоредник НЕ може да се опише около окръжност. Ако успоредник е описан около окръжност, то той е ромб.
  • Ромб
    • Определение и теореми – За определението, теоремите-признаци и теоремите-свойства виж „Ромб“.
    • Връзка между диагонали и страни в ромб – За диагоналите на ромб е в сила равенството, преобразувана формула (3):
      (5): d12 + d22 = 4a2.
    • Ромб, вписан в окръжност – Ако около ромб се опише окръжност, то той е квадрат – това следва от Теорема 1 (формула 1) за четириъгълник, вписан в окръжност, т.е. около ромб НЕ може да се опише окръжност.
    • Ромб, описан около окръжност – Диагоналите на ромба са перпендикулярни и ъглополовящи на прилежащите му ъгли, затова центърът O на вписаната окръжност съвпада с пресечната им точка и освен това, ако r е радиус на вписаната окръжност, h е височината към страната a, то:
      (6): h = 2r.
    • Лице на ромб – Ако d1 и d2 са диагоналите на ромба, α = BAD, h – височината към страната a, r – радиус на вписаната окръжност, то:
      (7): S = a.h = a.2r = a2.sin α = d1.d2.
  • Правоъгълник
    • Определение и теореми – За определението, теоремите-признаци и теоремите-свойства виж „Правоъгълник“.
    • Връзка между диагонали и страни в правоъгълник – За диагоналите на правоъгълник е в сила равенството, преобразувана формула (3):
      (8): d1 = d2 = .
    • Правоъгълник, вписан в окръжност – Пресечната точка на диагоналите на правоъгълника съвпада с центъра на описаната около правоъгълника окръжност.
    • Правоъгълник, описан около окръжност – Ако в правоъгълник се впише окръжност, то той е квадрат – това следва от Теорема 2 (формула 2) за четириъгълник, описан около окръжност, т.е. в правоъгълник НЕ може да се впише окръжност.
    • Лице на правоъгълник – Ако d е диагонал на правоъгълника, φ – остър ъгъл между диагоналите му, то:
      (9): S = a.b = d2.sin φ.
  • Квадрат
    Бележки:

    Квадратът притежава всички свойства на успоредника, ромба и правоъгълника.

    • Определение и теореми – За определението, теоремите-признаци и теоремите-свойства виж „Квадрат“.
    • Връзка между диагонал и страна в квадрат – Диагоналите на квадрат са равни (както при правоъгълника), страните му също са равни (както при ромб) и затова формула (3) за диагоналът d на квадрат със страна a е:
      (10): d = a.
    • Квадрат, вписан в окръжност– Пресечната точка на диагоналите на квадрат съвпада с центъра на описаната около него окръжност.
    • Квадрат, описан около окръжност – Диагоналите на квадрата са перпендикулярни и ъглополовящи на прилежащите му ъгли, затова центърът O на вписаната окръжност съвпада с пресечната им точка и освен това, ако r е радиус на вписаната окръжност в квадрат със страна a, то:
      (11): a = 2r.
    • Лице на квадрат – Лицето S на квадрат със страна a и диагонал d е:
      (12): S = a2 = d2.

  Основни задачи

  Решени задачи

IV. Трапец

Бележка:

Трапецът е вид четириъгълник, затова всички твърдения изказани за четириъгълник важат и за трапец.

О – Четириъгълник, на който само една двойка срещуположни страни са успоредни. Например: На Фиг. 4, ако AB || CD, то ABCD е трапец.

  • Основи – Успоредните страни се наричат основи. Всеки трапец има две основи. На Фиг. 4 основите са AB и CD.
  • Бедра – Страните, които НЕ са успоредни. На Фиг. 4 бедрата са AD и BC.
  • Височина – Перпендикулярът, спуснат от точка от едната основа към другата основа. На Фиг. 4 височината е DH.
    Бележка:

    Всеки трапец има безброй много височини, защото височината е разстоянието между успоредни прави, на които лежат основите на трапеца, а тези разстояния са безброй много. Обикновено се чертае височината от тъп ъгъл на трапеца.

  • Диагонали – Отсечките свързващи два срещулежащи върха. На Фиг. 4 диагоналите са AC = d1 и BD = d2.
  • Определение – Отсечка, съединяваща средите на бедрата на трапец.
  • Теореми:

    Т1 – Средната основа MN на трапеца (Фиг. 4) е успоредна на основите му и е равна на полусбора им, т.е.:

    (13): MN – средна основа MN || AB || CD и MN = (AB + CD).

    Т2 – Всяка права, която минава през средата на едното бедро на трапец и е успоредна на основите му, разполовява другото му бедро.

  • Средна основа и среди на диагоналите на трапец

      Основни задачи

  • Определение – Трапец с равни бедра. Например: На Фиг. 5, ако ABCD – трапец и AD = BC = c, то ABCD е равнобедрен трапец.
  • Теореми за равнобедрен трапец:

    Т1 – Един трапец е равнобедрен тогава и само тогава, когато ъглите при една от основите му са равни.

    Например: На Фиг. 5, ако ABCD – трапец и BAD = ABC = α, то ABCD – равнобедрен трапец и обратното, ако ABCD – равнобедрен трапец, то BAD = ABC = α.

    Т2 – Един трапец е равнобедрен тогава и само тогава, когато диагоналите му са равни.

    Например: На Фиг. 5, ако ABCD – трапец и AC = BD, то ABCD е равнобедрен трапец и обратното, ако ABCD е равнобедрен трапец, то AC = BD.

    Т3 – Един трапец е равнобедрен тогава и само тогава, когато диагоналите му образуват равни ъгли с основата.

    Например: На Фиг. 5, ако ABCD – трапец и BAC = ABD = β, то ABCD е равнобедрен трапец и обратното, ако ABCD е равнобедрен трапец, то BAC = ABD = β.

  Основни задачи

  • За произволен трапец – Ако за трапец е дадено: a и b – голяма и малка основа, c и d – бедра, d1 и d2 – диагонали, то:
    (16): d12 + d22 = c2 + d2 + 2ab.
  • За равнобедрен трапец имаме d1 = d2, d = c и формула (16) добива вида
    (17): d12 = c2 + ab.
  • Един трапец е вписан в окръжност, когато сборът на два негови срещуположни ъгъла е равен на 180°, т.е. изпълнена е Теорема 1.
  • Ако един трапец е вписан в окръжност, то той е равнобедрен, т.е. около всеки равнобедрен трапец може да се опише окръжност.
  • Центърът на описаната около трапеца окръжност лежи на пресечната точка на симетралите (симетралите на голямата и малка основа съвпадат).
  • Ъгълът между ъглополовящите на два прилежащи ъгъла е равен на 90°.
  • Един трапец е описан около окръжност, когато сборът на две негови срещуположни страни е равен на сбора от другите му две страни, т.е. изпълнена е Теорема 2.
  • Височината h на трапец описан около окръжност с радиус r е равна на диаметъра на окръжността, т.е.:
    (18): h = 2r.
  • Центърът на вписаната в трапеца окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите му.
  • При произволен трапец центърът на вписаната окръжност лежи на средната му основа.
    Бележка:

    За доказателство виж Зад. №4 а).

  • При равнобедрен трапец центърът на вписаната окръжност разполовява средната основа.
  • При равнобедрен трапец симетралите на голямата и малката основа съвпадат, като центърът на вписаната в трапеца окръжност лежи върху тях.

    Доказателство

Виж Фиг. 4.

(19): S = MN.h = . h.

  Решени задачи

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 классамоподготовка по математика за 10 класуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 0888 919 954 (вечер), г-н. Станев.

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание