Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Геометрия

Четириъгълници

Съдържание на темата:

Четириъгълник, вписан в окръжност
Четириъгълник, описан около окръжност
Успоредник. Видове успоредници
Трапец

Теория

I. Четириъгълник, вписан в окръжност

Определение

О – Четириъгълник (Фиг. 1), на който върховете му лежат на една окръжност, се нарича вписан в тази окръжност, а окръжността се нарича описана.

Център на описаната около четириъгълник окръжност

Центърът на тази окръжност лежи на пресечната точка на симетралите му, т.е. центърът на тази окръжност е на равни разстояния от върховете на четириъгълника.

Теорема

T₁ – Необходимото и достатъчно условие четириъгълник да е вписан в окръжност е сборът от два срещулежащи ъгъла да е равен на 180°, т.е. (Фиг. 1):

(1): ABCD – вписан A + C = 180°.

Бележки:

Изразът „необходимото и достатъчно условие“ обединява следните две твърдения:
- Ако четириъгълник е вписан в окръжност, то е необходимо сборът от два срещулежащи ъгъла да е равен на 180°.
- Ако сборът от два срещулежащи ъгъла да е равен на 180°, това е достатъчно да твърдим, че четириъгълникът е вписан в окръжност.
Така двете твърдения се обединяват в една теорема чрез думите „необходимото и достатъчно условие“.
В Тема 2 доказахме, че около всеки триъгълник може да се опише окръжност, но от Теорема 1 следва, че НЕ около всеки четириъгълник може да се опише окръжност, а само около този, за който е изпълнено условието:
A + C = 180°.

Решени задачи

II. Четириъгълник, описан около окръжност

Определение

О – Четириъгълник (Фиг. 2), на който страните се допират до окръжност, се нарича описан около окръжност, а окръжността се нарича вписана в четириъгълника.

Център на вписаната в четириъгълник окръжност

Центърът на вписаната в четириъгълник окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите му.

T₂ – Необходимото и достатъчно условие в изпъкнал четириъгълник да може да се впише окръжност, е сборът на две негови срещуположни страни да е равен на сбора от другите му две страни, т.е. (Фиг. 2):

(2): ABCD – описан AB + CD = AD + BC.

Бележки:

В Тема 2 доказахме, че във всеки триъгълник може да се впише окръжност, но от Теорема 2 следва, че НЕ във всеки четириъгълник може да се впише окръжност, а само в този, за който е изпълнено условието AB + CD = AD + BC.

III. Успоредник. Видове успоредници

Определение и теореми

За определението, теоремите-признаци и теоремите-свойства виж „Успоредник“.

Връзка между диагонали и страни в успоредник

Сборът от квадратите на диагоналите d₁ = AC и d₂ = BD на успоредник (Фиг. 3) е равен на удвоения сбор от квадратите на страните му a и b, т.е.:

(3): d₁² + d₂² = 2(a² + b²).

Лице на произволен успоредник

При стандартните означения за успоредник (Фиг. 3) имаме формулите:

(4): S = a.h_a = b.h_b = a.b.sin α = d₁.d₂.sin BOC.

Бележки:

От всички успоредници с едни и същи страни a и b най-голямо лице има правоъгълникът, защото α = 90°.
За други формули за лице на успоредник виж Зад. 3 и Зад. 4.

Успоредник, вписан в окръжност или описан около окръжност

Успоредникът е вид четириъгълник, затова всички твърдения изказани за четириъгълник важат и за успоредник.

Бележки:

Произволен успоредник НЕ може да се впише в окръжност. Ако успоредник е вписан в окръжност, то той е правоъгълник или квадрат.
Произволен успоредник НЕ може да се опише около окръжност. Ако успоредник е описан около окръжност, то той е ромб.

Видове успоредници

Ромб
- Определение и теореми – За определението, теоремите-признаци и теоремите-свойства виж „Ромб“.
- Връзка между диагонали и страни в ромб – За диагоналите на ромб е в сила равенството, преобразувана формула (3):
  (5): d₁² + d₂² = 4a².
- Ромб, вписан в окръжност – Ако около ромб се опише окръжност, то той е квадрат – това следва от Теорема 1 (формула 1) за четириъгълник, вписан в окръжност, т.е. около ромб НЕ може да се опише окръжност.
- Ромб, описан около окръжност – Диагоналите на ромба са перпендикулярни и ъглополовящи на прилежащите му ъгли, затова центърът O на вписаната окръжност съвпада с пресечната им точка и освен това, ако r е радиус на вписаната окръжност, h е височината към страната a, то:
  (6): h = 2r.
- Лице на ромб – Ако d₁ и d₂ са диагоналите на ромба, α = BAD, h – височината към страната a, r – радиус на вписаната окръжност, то:
  (7): S = a.h = a.2r = a².sin α = d₁.d₂.
Правоъгълник
- Определение и теореми – За определението, теоремите-признаци и теоремите-свойства виж „Правоъгълник“.
- Връзка между диагонали и страни в правоъгълник – За диагоналите на правоъгълник е в сила равенството, преобразувана формула (3):
  (8): d₁ = d₂ = .
- Правоъгълник, вписан в окръжност – Пресечната точка на диагоналите на правоъгълника съвпада с центъра на описаната около правоъгълника окръжност.
- Правоъгълник, описан около окръжност – Ако в правоъгълник се впише окръжност, то той е квадрат – това следва от Теорема 2 (формула 2) за четириъгълник, описан около окръжност, т.е. в правоъгълник НЕ може да се впише окръжност.
- Лице на правоъгълник – Ако d е диагонал на правоъгълника, φ – остър ъгъл между диагоналите му, то:
  (9): S = a.b = d².sin φ.
Квадрат
Бележки:

Квадратът притежава всички свойства на успоредника, ромба и правоъгълника.
- Определение и теореми – За определението, теоремите-признаци и теоремите-свойства виж „Квадрат“.
- Връзка между диагонал и страна в квадрат – Диагоналите на квадрат са равни (както при правоъгълника), страните му също са равни (както при ромб) и затова формула (3) за диагоналът d на квадрат със страна a е:
  (10): d = a.
- Квадрат, вписан в окръжност– Пресечната точка на диагоналите на квадрат съвпада с центъра на описаната около него окръжност.
- Квадрат, описан около окръжност – Диагоналите на квадрата са перпендикулярни и ъглополовящи на прилежащите му ъгли, затова центърът O на вписаната окръжност съвпада с пресечната им точка и освен това, ако r е радиус на вписаната окръжност в квадрат със страна a, то:
  (11): a = 2r.
- Лице на квадрат – Лицето S на квадрат със страна a и диагонал d е:
  (12): S = a² = d².

Основни задачи

Решени задачи

IV. Трапец

Бележка:

Трапецът е вид четириъгълник, затова всички твърдения изказани за четириъгълник важат и за трапец.

Определение за трапец

О – Четириъгълник, на който само една двойка срещуположни страни са успоредни. Например: На Фиг. 4, ако AB || CD, то ABCD е трапец.

Елементи на трапец

Основи – Успоредните страни се наричат основи. Всеки трапец има две основи. На Фиг. 4 основите са AB и CD.
Бедра – Страните, които НЕ са успоредни. На Фиг. 4 бедрата са AD и BC.
Височина – Перпендикулярът, спуснат от точка от едната основа към другата основа. На Фиг. 4 височината е DH.
Бележка:

Всеки трапец има безброй много височини, защото височината е разстоянието между успоредни прави, на които лежат основите на трапеца, а тези разстояния са безброй много. Обикновено се чертае височината от тъп ъгъл на трапеца.
Диагонали – Отсечките свързващи два срещулежащи върха. На Фиг. 4 диагоналите са AC = d₁ и BD = d₂.

Средна основа (или средна отсечка) на трапец

Определение – Отсечка, съединяваща средите на бедрата на трапец.
Теореми:
Т₁ – Средната основа MN на трапеца (Фиг. 4) е успоредна на основите му и е равна на полусбора им, т.е.:

(13): MN – средна основа MN || AB || CD и MN = (AB + CD).

Т₂ – Всяка права, която минава през средата на едното бедро на трапец и е успоредна на основите му, разполовява другото му бедро.
Средна основа и среди на диагоналите на трапец
Основни задачи

Равнобедрен трапец

Определение – Трапец с равни бедра. Например: На Фиг. 5, ако ABCD – трапец и AD = BC = c, то ABCD е равнобедрен трапец.
Теореми за равнобедрен трапец:
Т₁ – Един трапец е равнобедрен тогава и само тогава, когато ъглите при една от основите му са равни.

Например: На Фиг. 5, ако ABCD – трапец и BAD = ABC = α, то ABCD – равнобедрен трапец и обратното, ако ABCD – равнобедрен трапец, то BAD = ABC = α.

Т₂ – Един трапец е равнобедрен тогава и само тогава, когато диагоналите му са равни.

Например: На Фиг. 5, ако ABCD – трапец и AC = BD, то ABCD е равнобедрен трапец и обратното, ако ABCD е равнобедрен трапец, то AC = BD.

Т₃ – Един трапец е равнобедрен тогава и само тогава, когато диагоналите му образуват равни ъгли с основата.

Например: На Фиг. 5, ако ABCD – трапец и BAC = ABD = β, то ABCD е равнобедрен трапец и обратното, ако ABCD е равнобедрен трапец, то BAC = ABD = β.

Основни задачи

Връзка между диагонали и страни на трапец

За произволен трапец – Ако за трапец е дадено: a и b – голяма и малка основа, c и d – бедра, d₁ и d₂ – диагонали, то:
(16): d₁² + d₂² = c² + d² + 2ab.
За равнобедрен трапец имаме d₁ = d₂, d = c и формула (16) добива вида
(17): d₁² = c² + ab.

Трапец, вписан в окръжност

Един трапец е вписан в окръжност, когато сборът на два негови срещуположни ъгъла е равен на 180°, т.е. изпълнена е Теорема 1.
Ако един трапец е вписан в окръжност, то той е равнобедрен, т.е. около всеки равнобедрен трапец може да се опише окръжност.
Центърът на описаната около трапеца окръжност лежи на пресечната точка на симетралите (симетралите на голямата и малка основа съвпадат).

Трапец, описан около окръжност

Ъгълът между ъглополовящите на два прилежащи ъгъла е равен на 90°.
Един трапец е описан около окръжност, когато сборът на две негови срещуположни страни е равен на сбора от другите му две страни, т.е. изпълнена е Теорема 2.
Височината h на трапец описан около окръжност с радиус r е равна на диаметъра на окръжността, т.е.:
(18): h = 2r.
Центърът на вписаната в трапеца окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите му.
При произволен трапец центърът на вписаната окръжност лежи на средната му основа.
Бележка:

За доказателство виж Зад. №4 а).
При равнобедрен трапец центърът на вписаната окръжност разполовява средната основа.
При равнобедрен трапец симетралите на голямата и малката основа съвпадат, като центърът на вписаната в трапеца окръжност лежи върху тях.
Доказателство
- Нека т. О – център на вписаната в равнобедрения трапец ABCD окръжност, а т. Е и т. F – допирните точки на тази окръжност до основите АВ и CD. Тогава AO и BO – ъглополовящи, т.е. ΔABO – равнобедрен.
- OE = r – височина в ΔABO OE – медиана, т.е. ОЕ – симетрала на АВ.
- По аналогичен начин доказваме, че ΔDCO – равнобедрен и OF - симетрала на CD.