О – Четириъгълник (Фиг. 1), на който върховете му лежат на една окръжност, се нарича вписан в тази окръжност, а окръжността се нарича описана.
Центърът на тази окръжност лежи на пресечната точка на симетралите му, т.е. центърът на тази окръжност е на равни разстояния от върховете на четириъгълника.
T1 – Необходимото и достатъчно условие четириъгълник да е вписан в окръжност е сборът от два срещулежащи ъгъла да е равен на 180°, т.е. (Фиг. 1):
(1): ABCD – вписан A + C = 180°.
Така двете твърдения се обединяват в една теорема чрез думите „необходимото и достатъчно условие“.
О – Четириъгълник (Фиг. 2), на който страните се допират до окръжност, се нарича описан около окръжност, а окръжността се нарича вписана в четириъгълника.
Центърът на вписаната в четириъгълник окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите му.
T2 – Необходимото и достатъчно условие в изпъкнал четириъгълник да може да се впише окръжност, е сборът на две негови срещуположни страни да е равен на сбора от другите му две страни, т.е. (Фиг. 2):
(2): ABCD – описан AB + CD = AD + BC.
В Тема 2 доказахме, че във всеки триъгълник може да се впише окръжност, но от Теорема 2 следва, че НЕ във всеки четириъгълник може да се впише окръжност, а само в този, за който е изпълнено условието AB + CD = AD + BC.
За определението, теоремите-признаци и теоремите-свойства виж „Успоредник“.
Сборът от квадратите на диагоналите d1 = AC и d2 = BD на успоредник (Фиг. 3) е равен на удвоения сбор от квадратите на страните му a и b, т.е.:
(3): d12 + d22 = 2(a2 + b2).
Успоредникът е вид четириъгълник, затова всички твърдения изказани за четириъгълник важат и за успоредник.
Квадратът притежава всички свойства на успоредника, ромба и правоъгълника.
Трапецът е вид четириъгълник, затова всички твърдения изказани за четириъгълник важат и за трапец.
О – Четириъгълник, на който само една двойка срещуположни страни са успоредни. Например: На Фиг. 4, ако AB || CD, то ABCD е трапец.
Всеки трапец има безброй много височини, защото височината е разстоянието между успоредни прави, на които лежат основите на трапеца, а тези разстояния са безброй много. Обикновено се чертае височината от тъп ъгъл на трапеца.
Т1 – Средната основа MN на трапеца (Фиг. 4) е успоредна на основите му и е равна на полусбора им, т.е.:
(13): MN – средна основа MN || AB || CD и MN = (AB + CD).
Т2 – Всяка права, която минава през средата на едното бедро на трапец и е успоредна на основите му, разполовява другото му бедро.
Т1 – Един трапец е равнобедрен тогава и само тогава, когато ъглите при една от основите му са равни.
Например: На Фиг. 5, ако ABCD – трапец и BAD = ABC = α, то ABCD – равнобедрен трапец и обратното, ако ABCD – равнобедрен трапец, то BAD = ABC = α.
Т2 – Един трапец е равнобедрен тогава и само тогава, когато диагоналите му са равни.
Например: На Фиг. 5, ако ABCD – трапец и AC = BD, то ABCD е равнобедрен трапец и обратното, ако ABCD е равнобедрен трапец, то AC = BD.
Т3 – Един трапец е равнобедрен тогава и само тогава, когато диагоналите му образуват равни ъгли с основата.
Например: На Фиг. 5, ако ABCD – трапец и BAC = ABD = β, то ABCD е равнобедрен трапец и обратното, ако ABCD е равнобедрен трапец, то BAC = ABD = β.
За доказателство виж Зад. №4 а).
Виж Фиг. 4.
(19): S = MN.h = . h.
Върни се нагоре Начало Предходен Следващ
Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.
Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.
Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание