Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Стереометрия

(1): Тяло ограничено от два еднакви n – ъгълника лежащи в успоредни равнини, а останалите му стени са успоредници.

• Долна и горна основа – успоредните многоъгълници ABCDE и A₁B₁C₁D₁E₁.
• Околни стени – успоредниците ABB₁A₁ и т.н.
• Основни ръбове – всички страни на долната и горната основа. Например: AB, A₁B₁ и т.н.
• Околни ръбове – всички страни на околните стени (без основните ръбове). Всички околни ръбове са равни и успоредни, защото са срещуположни страни на еднакви успоредници.
  Например: AA₁, BB₁ и т.н.
• Височина – перпендикуляр спуснат от точка на едната основа до равнината на другата основа. Например: C₁O = h.
• Диагонал – Отсечка, която свързва два върха на призмата нележащи в една и съща стена. Например: EB₁ = d.

(2): Околните стени на правата призма са правоъгълници.

(3): Височината на правата призма е равна на нейния околен ръб, т.е. h = CC₁.

• Определение – Призма, на която основите са успоредници.
• Свойства – Всички стени (основи и околни стени) на паралелепипеда са успоредници.
• Елементи на паралелепипеда:
  • измерения на паралелепипеда – дължина a, ширина b, околен ръб c и височина h.
  • диагонали – d₁ = AC₁, d₂ = BD₁, d₃ = CA₁ и d₄ = DB₁.
    (4): Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и се разполовяват от нея.
• Видове паралелепипеди:
  • прав паралелепипед – права призма, на която основите са успоредници. Околните стени на правия паралелепипед са правоъгълници, т.е. околните ръбове са перпендикулярни на основите.
  • правоъгълен паралелепипед (Фиг. 5) – Права призма, на която всички стени са правоъгълници.
  • свойства на правоъгълен паралелепипед:

    (5): Височината на правоъгълния паралелепипед съвпада с околния ръб, т.е. h = c = AA₁ = BB₁ = CC₁ = DD₁.

    (6): Четирите му диагонала са равни, т.е. d = AC₁ = BD₁ = CA₁ = DB₁.

    (7): В сила е твърдение (4).

(8): За права призма е в сила формулата S = P.h, където P e периметъра на основата, а h – дължината на височината на призмата.

(9): За правилна права призма е в сила формулата S = n.b.h, където n е броят на страните на основата, b – дължината на основният ръб, а h – дължината на височината на призмата.

• Лице на пълна повърхнина на правоъгълен паралелепипед (Фиг. 5):
  (11): S₁ = 2(a.b + b.c + a.c), където a, b и c са измеренията на паралелепипеда.
• Лице на пълна повърхнина на куб:
  (12): S₁ = 6a², където a е дължината на ръбовете на куба.

• Обем на правоъгълен паралелепипед (Фиг. 5):
  (14): V = a.b.c, където a, b и c са измеренията на паралелепипеда.
• Обем на куб:
  (15): V = a³, където a е дължината на ръбовете на куба.

• Основа – На Фиг. 6 основата е ΔABC.
• Околни стени – триъгълниците ACM, CBM и ABM.
• Основни ръбове – всички страни на основата. Например: AC, AB, BC.
• Околни ръбове – всички страни на околните стени (без основните ръбове). Например: AM, CM, BM.
• Височина h – Отсечката MO съединяваща върха M на пирамидата с проекцията му O върху равнината на основата. Положението на петата на височината върху равнината на основата се определя от следните свойства на пирамидата:

  (17): Всички околни стени сключват равни ъгли с основата тогава и само тогава, когато в основата може да се впише окръжност и петата на височината съвпада с центъра на тази окръжност (Фиг. 7).

  (18): Петата O на височината на пирамида съвпада с центъра на вписаната в основата окръжност, ако е изпълнено едно от твърденията (Фиг. 7):

  (18.1): Всички околни стени сключват равни двустенни ъгли с основата, т.е. ODM = OKM = φ.

  Бележка:

  За обратното твърдение на (18.1) виж Основна зад. 4 и Основна зад. 5.

  (18.2): Височините на всички околни стени са равни, т.е. DM = KM.

  (18.3): Проекциите на височините на всички околни стени върху основата са равни (равни на радиуса r на вписаната в основата окръжност), т.е. OD = OK = r. Тогава е в сила формулата h = r tg φ.

  (18.4): Всички околни стени сключват равни ъгли с височината на пирамидата, т.е. DMO = KMO.

  (19): Петата O на височината на пирамида съвпада с центъра на описаната около основата окръжност, ако е изпълнено едно от твърденията (Фиг. 8):

  (19.1): Всички околни ръбове са равни, т.е. AM = BM = CM.

  Бележка:

  За обратното твърдение на (19.1) виж Основна зад. 3.

  (19.2): Всички околни ръбове сключват равни ъгли с основата, т.е. OAM = OBM = OCM = φ.

  (19.3): Всички околни ръбове сключват равни ъгли с височината на пирамидата, т.е. AMO = BMO = CMO.

  (19.4): Проекциите на всички околни ръбове върху основата са равни (равни на радиуса R на описаната около основата окръжност), т.е. AO = BO = CO = R.

  (20): За случай от Фиг. 8 е в сила формулата: h = R tg φ, където h – височината на пирамидата, R – радиуса на описаната около основата окръжност; φ – ъгълът между околен ръб и основата на пирамидата.

• Апотема k – Височината на коя да е околна стена, прекарана към съответния основен ръб (DM и KM на Фиг. 7).

• Определение – Пирамида, на която основата е правилен многоъгълник, а околните стени са еднакви равнобедрени триъгълници.
• Свойства на правилна пирамида:
  • Основните ръбове са равни, защото основата е правилен многоъгълник, т.е. многоъгълник с равни страни и тези ръбове се отбелязват с b.
  • Всички апотеми на пирамидата са равни. Например, на Фиг. 9 DM = KM = k.
  • Височината a на основата се нарича апотема на основата (отсечката CD на Фиг. 9).
  • Всички околни ръбове са равни и образуват с равнината на основата равни ъгли, т.е. на Фиг. 9 AM = BM = CM и OAM = OBM = OCM = φ.
  • Всички околни стени образуват равни двустенни ъгли с равнината на основата, т.е. на фиг. 9 (ABM; ABC) = (BCM; ABC) = ODM = OKM = φ.

• произволна пирамида:
  (21): Лицето на околната повърхнина S на произволна пирамида е равно на сумата от лицата на околните стени.
• правилна n – ъгълна пирамида:
  (22): S , където P – периметъра на основата, k – апотемата, b – дължина на основния ръб, n – броя на страните на основата.