Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Стереометрия

Вие сте тук:   || Призма и пирамида - теория


Ръбести тела (Многостени)


Теория

I. Призма

  • Определение за призма (Фиг. 1):

    (1): Тяло ограничено от два еднакви n – ъгълника лежащи в успоредни равнини, а останалите му стени са успоредници.

  • Елементи на призма (Фиг. 1):
    • Долна и горна основа – успоредните многоъгълници ABCDE и A1B1C1D1E1.
    • Околни стени – успоредниците ABB1A1 и т.н.
    • Основни ръбове – всички страни на долната и горната основа. Например: AB, A1B1 и т.н.
    • Околни ръбове – всички страни на околните стени (без основните ръбове). Всички околни ръбове са равни и успоредни, защото са срещуположни страни на еднакви успоредници.
      Например: AA1, BB1 и т.н.
    • Височина – перпендикуляр спуснат от точка на едната основа до равнината на другата основа. Например: C1O = h.
    • Диагонал – Отсечка, която свързва два върха на призмата нележащи в една и съща стена. Например: EB1 = d.
    призми
  • Триъгълна, четириъгълна и т.н. n-ъгълна призма – призма, на която основите са триъгълник, четириъгълник и т.н. n-ъгълник. Например, призмата на Фиг. 1 е петоъгълна.
  • Права призма (Фиг. 2) – призма, на която околните ръбове са перпендикулярни на основата.

    (2): Околните стени на правата призма са правоъгълници.

    (3): Височината на правата призма е равна на нейния околен ръб, т.е. h = CC1.

  • Правилна призма (Фиг. 3) – права призма с основи правилни многоъгълници. Например, на Фиг.3 ABCDE е правилен петоъгълник, защото AB = BC = CD = DE = EA = b.
    Бележка:
    Правилен многоъгълник е многоъгълник, на който всички страни и всички ъгли са равни.
  • Паралелепипед (Фиг. 4):
    • Определение – Призма, на която основите са успоредници.
    • Свойства – Всички стени (основи и околни стени) на паралелепипеда са успоредници.
    • Елементи на паралелепипеда:
      • измерения на паралелепипеда – дължина a, ширина b, околен ръб c и височина h.
      • диагонали – d1 = AC1, d2 = BD1, d3 = CA1 и d4 = DB1.
        (4): Диагоналите на паралелепипеда се пресичат в една точка и се разполовяват от нея.
    • Видове паралелепипеди:
      • прав паралелепипед – права призма, на която основите са успоредници. Околните стени на правия паралелепипед са правоъгълници, т.е. околните ръбове са перпендикулярни на основите.
      • правоъгълен паралелепипед (Фиг. 5) – Права призма, на която всички стени са правоъгълници.
      • свойства на правоъгълен паралелепипед:

        (5): Височината на правоъгълния паралелепипед съвпада с околния ръб, т.е. h = c = AA1 = BB1 = CC1 = DD1.

        (6): Четирите му диагонала са равни, т.е. d = AC1 = BD1 = CA1 = DB1.

        (7): В сила е твърдение (4).

  • Куб – Призма, на която всички околни стени и основи са квадрати, т.е. всички ръбове (основни и околни) са рани на a.
  • Лице на околната повърхнина S на произволна призма е равно на сумата от лицата на околните стени.

    (8): За права призма е в сила формулата S = P.h, където P e периметъра на основата, а h – дължината на височината на призмата.

    (9): За правилна права призма е в сила формулата S = n.b.h, където n е броят на страните на основата, b – дължината на основният ръб, а h – дължината на височината на призмата.

    Бележка:
    Периметърът P на правилен многоъгълник е равен на P = n.b, затова формула (9) се получава от формула (8), като заместим с P = n.b.
  • Лице на пълна повърхнина S1 на произволна призма е равно на сумата от лицето на околната повърхнина S и лицата на двете основа B на призмата, т.е.:
    (10): S1 = S + 2B.
    • Лице на пълна повърхнина на правоъгълен паралелепипед (Фиг. 5):
      (11): S1 = 2(a.b + b.c + a.c), където a, b и c са измеренията на паралелепипеда.
    • Лице на пълна повърхнина на куб:
      (12): S1 = 6a2, където a е дължината на ръбовете на куба.
  • Обем V на произволна призма – Ако B е лицето на основата, а h – височината на призмата, то
    (13): V = B.h.
    • Обем на правоъгълен паралелепипед (Фиг. 5):
      (14): V = a.b.c, където a, b и c са измеренията на паралелепипеда.
    • Обем на куб:
      (15): V = a3, където a е дължината на ръбовете на куба.

  Решени задачи

II. Пирамида

  • Определение за пирамида (Фиг. 6):
    (16): Тяло, на което една от стените е многоъгълник, а останалите стени са триъгълници с общ връх.
  • Елементи на пирамида (Фиг. 6):
    • Основа – На Фиг. 6 основата е ΔABC.
    • Околни стени – триъгълниците ACM, CBM и ABM.
    • Основни ръбове – всички страни на основата. Например: AC, AB, BC.
    • Околни ръбове – всички страни на околните стени (без основните ръбове). Например: AM, CM, BM.
    • Височина h – Отсечката MO съединяваща върха M на пирамидата с проекцията му O върху равнината на основата. Положението на петата на височината върху равнината на основата се определя от следните свойства на пирамидата:

      (17): Всички околни стени сключват равни ъгли с основата тогава и само тогава, когато в основата може да се впише окръжност и петата на височината съвпада с центъра на тази окръжност (Фиг. 7).

      (18): Петата O на височината на пирамида съвпада с центъра на вписаната в основата окръжност, ако е изпълнено едно от твърденията (Фиг. 7):

      (18.1): Всички околни стени сключват равни двустенни ъгли с основата, т.е. ODM = OKM = φ.

      Бележка:
      За обратното твърдение на (18.1) виж Основна зад. 4 и Основна зад. 5.

      (18.2): Височините на всички околни стени са равни, т.е. DM = KM.

      (18.3): Проекциите на височините на всички околни стени върху основата са равни (равни на радиуса r на вписаната в основата окръжност), т.е. OD = OK = r. Тогава е в сила формулата h = r tg φ.

      (18.4): Всички околни стени сключват равни ъгли с височината на пирамидата, т.е. DMO = KMO.

      (19): Петата O на височината на пирамида съвпада с центъра на описаната около основата окръжност, ако е изпълнено едно от твърденията (Фиг. 8):

      (19.1): Всички околни ръбове са равни, т.е. AM = BM = CM.

      Бележка:
      За обратното твърдение на (19.1) виж Основна зад. 3.

      (19.2): Всички околни ръбове сключват равни ъгли с основата, т.е. OAM = OBM = OCM = φ.

      (19.3): Всички околни ръбове сключват равни ъгли с височината на пирамидата, т.е. AMO = BMO = CMO.

      (19.4): Проекциите на всички околни ръбове върху основата са равни (равни на радиуса R на описаната около основата окръжност), т.е. AO = BO = CO = R.

      (20): За случай от Фиг. 8 е в сила формулата: h = R tg φ, където h – височината на пирамидата, R – радиуса на описаната около основата окръжност; φ – ъгълът между околен ръб и основата на пирамидата.

    • Апотема k – Височината на коя да е околна стена, прекарана към съответния основен ръб (DM и KM на Фиг. 7).
  • Триъгълна, четириъгълна и т.н. n-ъгълна пирамида – Пирамида, на която основата е триъгълник, четириъгълник и т.н. n-ъгълник. Например, на Фиг. 9 пирамидата е триъгълна.
  • Правилна пирамида:
    • Определение – Пирамида, на която основата е правилен многоъгълник, а околните стени са еднакви равнобедрени триъгълници.
    • Свойства на правилна пирамида:
      • Основните ръбове са равни, защото основата е правилен многоъгълник, т.е. многоъгълник с равни страни и тези ръбове се отбелязват с b.
      • Всички апотеми на пирамидата са равни. Например, на Фиг. 9 DM = KM = k.
      • Височината a на основата се нарича апотема на основата (отсечката CD на Фиг. 9).
      • Всички околни ръбове са равни и образуват с равнината на основата равни ъгли, т.е. на Фиг. 9 AM = BM = CM и OAM = OBM = OCM = φ.
      • Всички околни стени образуват равни двустенни ъгли с равнината на основата, т.е. на фиг. 9 (ABM; ABC) = (BCM; ABC) = ODM = OKM = φ.
  • Триъгълна пирамида (тетраедър) – пирамида, на която основата е триъгълник (Фиг. 9), т.е. всички стени на тетраедъра са триъгълници (включително и основата).
  • Лице на околната повърхнина S на:
    • произволна пирамида:
      (21): Лицето на околната повърхнина S на произволна пирамида е равно на сумата от лицата на околните стени.
    • правилна n – ъгълна пирамида:
      (22): S , където P – периметъра на основата, k – апотемата, b – дължина на основния ръб, n – броя на страните на основата.
  • Лице на пълна повърхнина S1:
    (23): Лицето на повърхнината (пълната повърхнина) S1 на произволна пирамида е равно на сумата от лицата на всички стени (околни и основа), т.е. S1 = S + B, където B – лицето на основата.
    Бележка:
    Твърдение (23) се използва и за правилна пирамида, като намирането на S става от твърдение (22).
  • Обем V на произволна пирамида:
    (24): Обемът V на произволна пирамида с височина h и лице на основата B се намира по формулата V = B.h.

  Решени задачи

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 классамоподготовка по математика за 10 класуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 0888 919 954 (вечер), г-н. Станев.

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание