Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Стереометрия

Използвайте подходящи формули.

• От лицето на отколната повърхнина намираме радиуса на цилиндъра:
  S = 2πrh 70π = 2πr.7 r = 5 cm.
• Намираме лицето на повърхнината:
  S₁ = 2πr(h + r) = 2π.5(7 + 5) = 120π cm².
• Намираме обема:
  V = πr²h = π.5².7 = 175π cm³.

Разгледайте два случая: 1 случай : Когато диаметърът на цилиндъра е по-дългата страна на развивката, а височината му е по-късата страна на развивката. 2 случай: Диаметърът на цилиндъра е по-късата страна на развивката, а височината му е по-дългата страна на развивката, и използвайте подходящи формули, за да намерите търсените величини.

Разглеждаме два случая.

I случай:

• Развивката е показана на Фиг. I – A), т.е. имаме h = 1 cm и C = 2πr = 2 cm.
• Намираме радиуса на цилиндъра:
  C = 2πr = 2 r = cm.
• Тогава диаметърът на цилиндъра (Фиг. I – Б) е:
  d = 2r = cm.

II случай:

• Развивката е показана на Фиг. II – A), т.е. имаме h = 2 cm и C = 2πr = 1 cm.
• Намираме радиуса на цилиндъра:
  C = 2πr = 1 r = cm.
• Тогава диаметърът на цилиндъра (Фиг. II – Б) е:
  d = 2r = cm.

а)

• Правоъгълникът ABB₁A₁ (Фиг. II – Б) е осното сечение на дадения цилиндър, като диагоналът му е отсечката AB₁.
• AB е проекцията на AB₁ в равнината на основата, защото ABB₁ = 90°.
• Това означава, че търсеният ъгъл е BAB₁ = φ.
• Използваме тригонометрична функция от формула (25) за правоъгълния ΔABB₁ (B = 90°):

Използвайте подходящи формули.

• На фигурата е даден конуса с осно сечение ΔABM.
• По условие ΔABM е равностранен и МО височина, тогава от формула (46) получаваме:
  MO = AB = 2 cm.
• Намираме радиуса на основата:
  AO = r = . 2 = 1 cm.
• Използваме формула (41), за да намерим лицето на осното сечение:
  S_ΔABM = cm²

а) Последователно намерете:

1. Височината на ΔABM, като използвате подходяща формула за лице на триъгълник.
2. Образуващата ВМ на конуса, като приложите Питагорова теорема за подходящ правоъгълен триъгълник.

б) От даденото и подходящ правоъгълен триъгълник последователно намерете:

1. h, l и r на конуса.
2. S, S₁ и V на конуса.

Осното сечение на конуса е ΔABM.

а) Последователно намираме:

• S_ΔABM = h = 5 cm.
• Прилагаме Питагорова теорема за ΔBOM (O = 90°):
  BM² = OB² + MO² = 5² + 5² =2.25 BM = l = 5.
• Използваме формула (4), за да намерим лицето на околната повърхнина на конуса:
  S = πrl = π.5.5 S = 25π cm².
• Използваме формула (5), за да намерим лицето на повърхнина на конуса:
  S₁ = πr(l + r) = π.5.( 5 + 5) S₁ = 25( + 1)π cm².
• Използваме формула (6), за да намерим обема конуса:
  V = cm³.

б) Нека да е дадено cos BMO = cos γ₁ = :

• От ΔBOM (O = 90°) – правоъгълен cos , т.е. h = 12x и l = 13x.
• Прилагаме Питагорова теорема за ΔBOM (O = 90°):
  r² = l² – h² = (13x)² – (12x)² = 25x² r = 5x.
• От даденото имаме S_ΔABM = = r.h 60 = 5x.12x x = 1.
• Тогава h = 12x = 12.1 = 12 cm, l = 13x = 13.1 = 13 cm и r = 5x = 5.1 = 5 cm.
• Последователно намираме:
  • S = πrl = π.5.13 S = 65π cm².
  • S₁ = πr(l + r) = π.5.(13 + 5) S₁ = 90π cm².
  • V = πr²h = π.5².12 = 100π cm³.

Нека осното сечение е ΔABM, а центърът на описаната около него окръжност е т. Н, тогава:

1. Докажете, че ΔAHM е равностранен и намерете образуващата на конуса.
2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината и радиуса на конуса.
3. Намерете търсените величини, като използвате подходящи формули.

• На фигурата е даден конус с осно сечение ΔABM, R = AH = MH = 6 cm – радиусът на описаната около него окръжност и MAB = 30° – ъгълът, който образуващата сключва с основата на конуса.
• Знаем, че осното сечение ΔABM е равнобедрен триъгълник, но по условие MAB = 30°. Това означава, че ABM = 30° и AMB = 120°, т.е. ΔABM е тъпоъгълен и затова центърът H на описаната около осното сечение окръжност е извън ΔABM.
• От теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔAOM (O = 90°, OMA = 30°) намираме, че AMO = 60°.
• От AH = MH = R = 6 cm ΔAHM – равнобедрен, но AMH = 60°, т.е. ΔAHM е равностранен или AM = AH = MH = R = 6 cm.
• Т.е. образуващата на конуса е l = AM = BM = 6 cm.
• За ΔAOM (O = 90°) прилагаме подходяща формула за тригонометрични функции:
  
• Последователно намираме:
  

1. Докажете, че радиусът на вписаната в цилиндъра сфера е равен на радиуса на цилиндъра.
2. Използвайте формулите за лицето на околната повърхнина на цилиндъра и лицето на сферата.

• По условие сфера с център т. H е вписана в цилиндър, тогава допирните ѝ точки до основите са т. O и т. O₁, а до образуващата – т. P.
• Това означава, че радиусът на сферата е r_сфера = HP = HO = HO₁.
• Радиусът на цилиндъра е AO = A₁O₁ = r_цил..
• AOHP е квадрат, защото: 1) P = O = A = 90°; 2) HP = HO, т.е. r_сфера = r_цил..
• Нека S_цил. е лицето на околната повърхнина на цилиндъра, а S_сфера – лицето на сферата.
• S_цил. = 2πr_цил.h = 2π.AO.OO₁ = 2π.PH.2OH = 4π.r_сфера = 4πr_сфера² = S_сфера.

1. Докажете, че призмата е куб.
2. Използвайте формулата за обем на кълбо (формула 8), за да намерите радиуса на кълбото.
3. Намерете лицето на повърхнината на призмата.

• Кълбо е вписано в правилна четириъгълна призма, когато в основата на призмата може да се впише окръжност, като височината на призмата е равна на диаметъра на тази окръжност, т.е. призмата е куб с ръб a = h = 2r.
• Центърът H на кълбото лежи в квадрата PQST, получен от равнина, перпендикулярна на основата и минаваща през допирните точни O и O₁ на кълбото до основите на призмата.
• От формулата за обем на кълбо (формула 8) намираме радиуса на кълбото:
  V = πr³ 36π = πr³ r³ = 27 r = 3 cm.
• Намираме височината на призмата:
  h = a = 2r = 2.3 = 6 cm.
• Намираме лицето на повърхнината на призмата:
  S₁ = 6a² = 6.6² = 216 cm².

1. Ако с Н отбележим центъра на кълбото, то намерете позицията на този център.
2. От подходящ равностранен триъгълник намерете R на кълбото.
3. Използвайте формула (8), за да намерите обема на кълбото.

• Кълбото е описано около правилна пирамида, т.е. центърът му H лежи на височината MO на пирамидата.
• По условие ΔHCM е равностранен (защото CM = l = R и HC = HM = R) и ΔABC също е равностранен (защото имаме правилна триъгълна пирамида), т.е. т. H е извън пирамидата.
• Нека CD е височина в равностранния ΔABC CD = cm.
• т. O е медицентър в равностранния ΔABC CO = cm.
• CO е проекцията на околният ръб CM на пирамидата върху основата, т.е. CO MH или CO е височина в равностранния ΔHCM. Тогава
  CO = .R R = 6 cm.
• V_сфера = = 288π cm³.

1. Начертайте триъгълник, който да е описан около голямата окръжност на сферата, за да намерите центъра на вписаната сфера.
2. Използвайте подходящи подобни триъгълници, за да намерите страната на основата.
3. Използвайте съответните формули, за да намерите търсените величини.

• Нека точките E и F са средите на страните BC и AD на квадрата ABCD, а точките P и O са допирните точки на сферата до стените (BCM) и (ABCD).
• Тогава радиусът r на вписаната в пирамидата сфера е равен на радиуса r на вписаната в ΔFEM окръжност.
• Намираме основния ръб AB = b:
  • По условие HO = PH = r = 4, тогава MH = h – r = 9 – 4 = 5.
  • Прилагаме Питагорова теорема за ΔHPM (P = 90°):
    MP² = MH² – PH² = 5² – 4² = 9 MP = 3.
  • FE || AB и т. O е пресечната точна на диагоналите на квадрата ACBD OE = OF = b, но EP и EO са допирателни на окръжността OE = PE = b.
  • ΔOEM ~ ΔPHM по І признак, защото: 1) EOM = HPM = 90°; 2) M – общ b = AB = 24.
• Намираме обема на пирамидата:
  • B = S_ABCD = b² = 24² = 576.
  • V = = 1728 cm³.
• Намираме лицето на повърхнината на пирамидата:
  • OE = . 24 = 12 cm.
  • Прилагаме Питагорова теорема за ΔOEM (O = 90°):
    ME² = OE² + MO² = 12² + 9² = 225 ME = 15 cm.
  • Т.е. апотемата на пирамидата е k = ME = 15 cm.
  • Намираме лицето на околната повърхнина на правилната пирамида:
    S = S = 1 200 cm².
  • Намираме лицето на основата (квадрата ABCD):
    B = S_ABCD = b² = 24² = 576 cm².
  • Намираме лицето на повърхнината на пирамидата:
    S₁ = S + B = 1 200 + 576 = 1 776 cm².