Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика
за 10 клас
Стереометрия

Вие сте тук:   || Цилиндър. Конус. Сфера–теория || Цилиндър. Конус. Сфера - задачи



I. Прав кръгов цилиндър

  Теория

Решени задачи

Зад. №1:
Намерете лицето на повърхнината и обема на прав кръгов цилиндър, ако са дадени височината му h = 7 cm и лицето на околната повърхнина S = 70π cm2.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте подходящи формули.


Зад. №2:
Развивката на околната повърхнина на цилиндър е правоъгълник с размери 1 cm и 2 cm. Намерете:

а) тангенса на ъгъла, който сключва диагоналът на осното сечение на цилиндъра с равнината на основата;

б) обема на цилиндъра;

в) лицето на повърхнината на цилиндъра.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Разгледайте два случая: 1 случай : Когато диаметърът на цилиндъра е по-дългата страна на развивката, а височината му е по-късата страна на развивката. 2 случай: Диаметърът на цилиндъра е по-късата страна на развивката, а височината му е по-дългата страна на развивката, и използвайте подходящи формули, за да намерите търсените величини.

Разглеждаме два случая.

I случай:

  • Развивката е показана на Фиг. I – A), т.е. имаме h = 1 cm и C = 2πr = 2 cm.
  • Намираме радиуса на цилиндъра:
    C = 2πr = 2 r = cm.
  • Тогава диаметърът на цилиндъра (Фиг. I – Б) е:
    d = 2r = cm.
развивка на цилиндър

II случай:

  • Развивката е показана на Фиг. II – A), т.е. имаме h = 2 cm и C = 2πr = 1 cm.
  • Намираме радиуса на цилиндъра:
    C = 2πr = 1 r = cm.
  • Тогава диаметърът на цилиндъра (Фиг. II – Б) е:
    d = 2r = cm.

а)

  • Правоъгълникът ABB1A1 (Фиг. II – Б) е осното сечение на дадения цилиндър, като диагоналът му е отсечката AB1.
  • AB е проекцията на AB1 в равнината на основата, защото ABB1 = 90°.
  • Това означава, че търсеният ъгъл е BAB1 = φ.
  • Използваме тригонометрична функция от формула (25) за правоъгълния ΔABB1 (B = 90°):
цилиндър

Върни се в теорията  


II. Прав кръгов конус

  Теория

Решени задачи

Зад. №1:
Осното сечение на прав кръгов конус е равностранен триъгълник. Намерете радиуса на основата на конуса и лицето на осното му сечение, ако височината на конуса е cm.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте подходящи формули.

  • На фигурата е даден конуса с осно сечение ΔABM.
  • По условие ΔABM е равностранен и МО височина, тогава от формула (46) получаваме:
    MO = AB = 2 cm.
  • Намираме радиуса на основата:
    AO = r = . 2 = 1 cm.
  • Използваме формула (41), за да намерим лицето на осното сечение:
    SΔABM = cm2

Зад. №2:
Намерете лицето на околната повърхнина, лицето на повърхнината и обема на прав кръгов конус, ако:

а) радиусът на основата на конуса е r = 5 cm, а лицето на осното му сечение е 25 cm2.

б) лицето на осното му сечение е 60 cm2, а косинуса на ъгъл между височината h и околния ръб l на конуса е .

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а) Последователно намерете:

  1. Височината на ΔABM, като използвате подходяща формула за лице на триъгълник.
  2. Образуващата ВМ на конуса, като приложите Питагорова теорема за подходящ правоъгълен триъгълник.

б) От даденото и подходящ правоъгълен триъгълник последователно намерете:

  1. h, l и r на конуса.
  2. S, S1 и V на конуса.

Осното сечение на конуса е ΔABM.

а) Последователно намираме:

б) Нека да е дадено cos BMO = cos γ1 = :

  • От ΔBOM (O = 90°) – правоъгълен cos , т.е. h = 12x и l = 13x.
  • Прилагаме Питагорова теорема за ΔBOM (O = 90°):
    r2 = l2 – h2 = (13x)2 – (12x)2 = 25x2 r = 5x.
  • От даденото имаме SΔABM = = r.h 60 = 5x.12x x = 1.
  • Тогава h = 12x = 12.1 = 12 cm, l = 13x = 13.1 = 13 cm и r = 5x = 5.1 = 5 cm.
  • Последователно намираме:
    • S = πrl = π.5.13 S = 65π cm2.
    • S1 = πr(l + r) = π.5.(13 + 5) S1 = 90π cm2.
    • V = πr2h = π.52.12 = 100π cm3.

Зад. №3:
Образуващата на прав кръгов конус сключва с основата му ъгъл 30°. Около осното сечение на конуса е описана окръжност с радиус 6 cm. Намерете лицето на околната повърхнина, лицето на повърхнината и обема на конуса.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Нека осното сечение е ΔABM, а центърът на описаната около него окръжност е т. Н, тогава:

  1. Докажете, че ΔAHM е равностранен и намерете образуващата на конуса.
  2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете височината и радиуса на конуса.
  3. Намерете търсените величини, като използвате подходящи формули.
  • На фигурата е даден конус с осно сечение ΔABM, R = AH = MH = 6 cm – радиусът на описаната около него окръжност и MAB = 30° – ъгълът, който образуващата сключва с основата на конуса.
  • Знаем, че осното сечение ΔABM е равнобедрен триъгълник, но по условие MAB = 30°. Това означава, че ABM = 30° и AMB = 120°, т.е. ΔABM е тъпоъгълен и затова центърът H на описаната около осното сечение окръжност е извън ΔABM.
  • От теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔAOM (O = 90°, OMA = 30°) намираме, че AMO = 60°.
  • От AH = MH = R = 6 cm ΔAHM – равнобедрен, но AMH = 60°, т.е. ΔAHM е равностранен или AM = AH = MH = R = 6 cm.
  • Т.е. образуващата на конуса е l = AM = BM = 6 cm.
  • За ΔAOM (O = 90°) прилагаме подходяща формула за тригонометрични функции:
    синус и косинус
  • Последователно намираме:
    конус

Върни се в теорията  


III. Сфера и кълбо

  Теория

Решени задачи

Зад. №1:
Сфера е вписана в цилиндър. Докажете, че лицето на околната повърхнина на цилиндъра е равно на лицето на сферата.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  1. Докажете, че радиусът на вписаната в цилиндъра сфера е равен на радиуса на цилиндъра.
  2. Използвайте формулите за лицето на околната повърхнина на цилиндъра и лицето на сферата.
  • По условие сфера с център т. H е вписана в цилиндър, тогава допирните ѝ точки до основите са т. O и т. O1, а до образуващата – т. P.
  • Това означава, че радиусът на сферата е rсфера = HP = HO = HO1.
  • Радиусът на цилиндъра е AO = A1O1 = rцил..
  • AOHP е квадрат, защото: 1) P = O = A = 90°; 2) HP = HO, т.е. rсфера = rцил..
  • Нека Sцил. е лицето на околната повърхнина на цилиндъра, а Sсфера – лицето на сферата.
  • Sцил. = 2πrцил.h = 2π.AO.OO1 = 2π.PH.2OH = 4π.rсфера = 4πrсфера2 = Sсфера.

Зад. №2:
В правилна четириъгълна призма може да се впише кълбо с обем 36π cm3. Намерете лицето на повърхнината на призмата.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  1. Докажете, че призмата е куб.
  2. Използвайте формулата за обем на кълбо (формула 8), за да намерите радиуса на кълбото.
  3. Намерете лицето на повърхнината на призмата.
  • Кълбо е вписано в правилна четириъгълна призма, когато в основата на призмата може да се впише окръжност, като височината на призмата е равна на диаметъра на тази окръжност, т.е. призмата е куб с ръб a = h = 2r.
  • Центърът H на кълбото лежи в квадрата PQST, получен от равнина, перпендикулярна на основата и минаваща през допирните точни O и O1 на кълбото до основите на призмата.
  • От формулата за обем на кълбо (формула 8) намираме радиуса на кълбото:
    V = πr3 36π = πr3 r3 = 27 r = 3 cm.
  • Намираме височината на призмата:
    h = a = 2r = 2.3 = 6 cm.
  • Намираме лицето на повърхнината на призмата:
    S1 = 6a2 = 6.62 = 216 cm2.

Зад. №3:
Намерете обема на кълбо, в което е вписана правилна триъгълна пирамида с основен ръб 9 cm и околен ръб l, равен на радиуса R на кълбото.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  1. Ако с Н отбележим центъра на кълбото, то намерете позицията на този център.
  2. От подходящ равностранен триъгълник намерете R на кълбото.
  3. Използвайте формула (8), за да намерите обема на кълбото.
  • Кълбото е описано около правилна пирамида, т.е. центърът му H лежи на височината MO на пирамидата.
  • По условие ΔHCM е равностранен (защото CM = l = R и HC = HM = R) и ΔABC също е равностранен (защото имаме правилна триъгълна пирамида), т.е. т. H е извън пирамидата.
  • Нека CD е височина в равностранния ΔABC CD = cm.
  • т. O е медицентър в равностранния ΔABC CO = cm.
  • CO е проекцията на околният ръб CM на пирамидата върху основата, т.е. CO MH или CO е височина в равностранния ΔHCM. Тогава
    CO = .R R = 6 cm.
  • Vсфера = = 288π cm3.

Зад. №4:
В правилна четириъгълна пирамида с височина h = 9 cm е вписана сфера с радиус r = 4 cm. Намерете обема и лицето на повърхнината на пирамидата.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  1. Начертайте триъгълник, който да е описан около голямата окръжност на сферата, за да намерите центъра на вписаната сфера.
  2. Използвайте подходящи подобни триъгълници, за да намерите страната на основата.
  3. Използвайте съответните формули, за да намерите търсените величини.
  • Нека точките E и F са средите на страните BC и AD на квадрата ABCD, а точките P и O са допирните точки на сферата до стените (BCM) и (ABCD).
  • Тогава радиусът r на вписаната в пирамидата сфера е равен на радиуса r на вписаната в ΔFEM окръжност.
  • Намираме основния ръб AB = b:
    • По условие HO = PH = r = 4, тогава MH = h – r = 9 – 4 = 5.
    • Прилагаме Питагорова теорема за ΔHPM (P = 90°):
      MP2 = MH2 – PH2 = 52 – 42 = 9 MP = 3.
    • FE || AB и т. O е пресечната точна на диагоналите на квадрата ACBD OE = OF = b, но EP и EO са допирателни на окръжността OE = PE = b.
    • ΔOEM ~ ΔPHM по І признак, защото: 1) EOM = HPM = 90°; 2) M – общ b = AB = 24.
  • Намираме обема на пирамидата:
    • B = SABCD = b2 = 242 = 576.
    • V = = 1728 cm3.
  • Намираме лицето на повърхнината на пирамидата:
    • OE = . 24 = 12 cm.
    • Прилагаме Питагорова теорема за ΔOEM (O = 90°):
      ME2 = OE2 + MO2 = 122 + 92 = 225 ME = 15 cm.
    • Т.е. апотемата на пирамидата е k = ME = 15 cm.
    • Намираме лицето на околната повърхнина на правилната пирамида:
      S = S = 1 200 cm2.
    • Намираме лицето на основата (квадрата ABCD):
      B = SABCD = b2 = 242 = 576 cm2.
    • Намираме лицето на повърхнината на пирамидата:
      S1 = S + B = 1 200 + 576 = 1 776 cm2.

Върни се в теорията  

Върни се нагоре Начало Предходен


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

10 клас

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 классамоподготовка по математика за 10 класуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 0888 919 954 (вечер), г-н. Станев.

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание