Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
7 клас

Вие сте тук:   || Материал от 5 клас и 6 клас - теория


Материал от 5 клас и 6 клас


Теория

I. Дроби

Всяка обикновена дроб (Фиг. 1) има:

  • Числител X – показва колко части са взети от цялото „нещо“.
  • Знаменател Y – показва на колко равни части е разделено цялото „нещо“.
  • Дробна черта – разделя числител на знаменател.

Например (Фиг. 2): Цялото „нещо“ е разделено на 3 равни части (Y = 3) и сме взели 2 части (X = 2).
  • Правилна дроб – Дроб, на която числителят е по-малък от знаменателя, т.е.

    ако a < b, то дробта е правилна, като < 1.

  • Неправилна дроб – Дроб, на която числителят е по-голям или равен от знаменателя, т.е.

    ако a ≥ b, то дробта е неправилна, като ≥ 1.

  • смесено число Смесено число (Фиг. 3) – Това число е запис на неправилна дроб с цяла час и дробна част. Цялата част показва колко са целите единици, а дробната част показва каква част от единицата е добавена към цялата част.
  • Разширяване на дроб – Дробта не се променя, ако умножим числител и знаменател с едно и също число, различно от 0, т.е.:
    Бележка:
    Числото с което разширяваме (в случая с n), се нарича допълнителен множител.

    Например: Да разширим дробта с 3, означава:

  • Съкращаване на дроб – Дробта не се променя, ако разделим числител и знаменател с едно и също число, различно от 0, т.е.:

    Например: Съкратете дробта .

    1 начин за записване:

    2 начин за записване: .

Бележка:
  1. Обикновено НЕ се разширява или съкращава с 1.
  2. Най-често използваният начин за записване при съкращаване на дроби е 2 начин.
  3. Казваме, че сме съкратили една дроб тогава, когато я превърнем в несъкратима дроб.
  4. При съкращаване на дроби търсим общ делител на числителя и знаменателя, като използваме признаците за делимост на 2, 3, 5, 10.

Десетичната дроб е число с цяла и дробна част, които са разделени със запетая, наречена десетична запетая.

Бележка:
При калкулатори, касови апарати и др. понякога десетичната запетая се заменя с точка.
  • Сравняване на десетични дроби
    Правило за сравняване на десетични дроби:

    Ако десетичните дроби имат:

    • различни цели части, то по-голяма е тази, която има по-голяма цяла част. Например: 3, 99 < 4,21, защото за целите им части имаме 3 < 4;
    • равни цели части и равен брой знаци след десетичната запетая, то по-голяма е тази, която има по-голяма дробна част. Например:

    • равни цели части и различен брой знаци след десетичната запетая, то сравняването става, след като изравним броя на знаците в дробната им част. Например: 9,73 < 9,8, защото 9,73 < 9,80.
  • Сравняване на обикновени дроби:

    I начин: Превръщаме обикновените дроби в десетични числа и сравняваме получените десетични дроби.

    II начин:

    • Обикновените дроби имат равни знаменатели. Например:

      сравняване дроби с равни знаменатели

      Правило за сравняване на дроби с равни знаменатели:

      Дроби с равни знаменатели сравняваме, като сравним числителите. По-малка е тази дроб, която има по-малък числител.

      Например, ако a < b, то

    • Обикновените дроби имат различни знаменатели. Например:

      сравняване дроби с различни знаменатели

      Правило за сравняване на дроби с различни знаменатели:

      Дроби с различни знаменатели сравняваме, като първо ги приведем към дроби с равни знаменатели и сравняваме числителите на получените дроби.

II. Проценти

О – Обикновена дроб със знаменател 100.

I начин: – Умножаваме (или делим) числител и знаменател с подходящо число, така че в знаменател да се получи числото 100. Например:
предръщане на обикновена дроб в процент

II начин: – Делим числител на знаменател, ако е възможно. Например:
предръщане на обикновена дроб в процент

III. Изразяване с обикновени дроби, десетични дроби и проценти от илюстрация

Цялото нещо на Фиг. 6 е разделено на 5 части. Това число се записва в знаменател. Взели сме две части, като това число се записва в числител. Получава се дробта .

Обикновената дроб от Фиг. 6 я превръщаме в десетична, по описаните по-горе начини и получаваме = 0,6.

Обикновената дроб от Фиг. 6 я превръщаме в процент, по описаните по-горе начини и получаваме = 60%.

IV. Действия с числа

Правило за събиране (или изваждане) на дроби с равни знаменатели
Числителите се събират (или изваждат), а знаменателят се запазва, т.е.
, където c ≠ 0. Например: .
Правило за събиране (или изваждане) на дроби с различни знаменатели
  1. Дробите се привеждат под общ знаменател.
  2. Прилагаме правилото за събиране (или изваждане) на дроби с равни знаменатели.
Правило за умножение на обикновени дроби
Умножаваме числител с числител и знаменател със знаменател, т.е.:
, където b ≠ 0, d ≠ 0. Например: .
Правило за делене на обикновени дроби
Деленето свеждаме до умножение на първата дроб с реципрочното число на втората дроб, т.е.:
, където b ≠ 0, c ≠ 0, d ≠ 0. Например: .

Задачи от I вид: Намиране на част от число – Намерете x, ако от 12 = x.

Решение: от 12 = x . 12 = x x = 8.

Задачи от II вид: Намиране на число по дадени части от него – Намерете x, ако от x = 8.

Решение: от x = 8 . x = 8 x = 8 : = 8 . = 12.

Задачи от III вид: Намиране на неизвестна част от число – Намерете x, ако x от 12 = 8.

Решение: x от 12 = 8 x . 12 = 8 x = .

При трите вида задачи имаме равенство представено на Фиг. 6:

  • При задачите от I вид се търси x = C, като са дадени А и B.
  • При задачите от II вид се търси x = B, като са дадени А и C.
  • При задачите от III вид се търси x = A, като са дадени B и C.

Задачи от I вид: Намиране на процент от число – Намерете x, ако 5 % от 12 = x.

Решение: 5% от 12 = x x = x = 0,6.

Пример: Виж Зад. № 19 от изпита през 2016 г.

Задачи от II вид: Намиране на число по даден процент от него – Намерете x, ако 5 % от x = 0,6.

Решение: 5 % от x = 0,6 0,05 . x = 0,6 x = 0,6 : 0,05 x = 12.

Задачи от III вид: Намиране на процентно отношение – Намерете x, ако x % от 12 = 0,6.

Решение: x % от 12 = 0,6 . 12 = 0,6 x = 0,6 : 0,12 = 5.

При трите вида задачи имаме равенство представено на Фиг. 7:

  • При задачите от I вид се търси x = C, като са дадени А и B.
  • При задачите от II вид се търси x = B, като са дадени А и C.
  • При задачите от III вид се търси x = A, като са дадени B и C.

V. Правоъгълна координатна система

O – Две перпендикулярни числови оси (Фиг. 9), които имат общо начало и една и съща единична отсечка.

Мястото на произволна точка А (xA; yA) спрямо начертаната координатна система (Фиг. 9) се определя с числата xA и yA. Тези числа се наричат координати на точката.

  • xA се нарича абсциса на точката А.
  • yA се нарича ордината на точката А.
Правило

Виж Фиг. 9

  1. Спуска се перпендикуляр от точка А към оста Ox, като пресечната им точка е абсцисата xA.
  2. Спуска се перпендикуляр от точка А към оста Oy, като пресечната им точка е ордината yA.
  3. Записва се наредената двойка (xA; yA), като на първо място винаги е абсцисата.
Правило

Виж Фиг. 9

  1. През образа на числото xA се построява перпендикуляр към оста Ox.
  2. През образа на числото yA се построява перпендикуляр към оста Oy.
  3. Намира се пресечната точка А (xA; yA) на двата перпендикуляра.

Пример: Виж Зад. № 22 от изпита през 2012 г.

VI. Пропорции

  • Отношение – Частното на тези две числа, където b ≠ 0. Изписва се a : b или .
  • Пропорция – Две отношения, свързани със знака за равенство. Изписва се a : b = c : d или , като a ≠ 0, b ≠ 0, c ≠ 0 и d ≠ 0.
  • Основно свойство на пропорциите:

    (1): a . d = b . c.

  • Определение – Две величини x и y са правопропорционални, ако между тях има следната зависимост:

    (2): y = k.x или = k, k ≠ 0, x ≠ 0.

    Числото k се нарича коефициент на пропорционалност.

    Зад. №1:
    Един килограм ябълки струва 3 лв. Колко лева струват:

    а) 2 kg ябълки;

    б) 3 kg ябълки;

    в) 4 kg ябълки;

    г) 7 kg ябълки?

    Решение:

    Резултатите от пресмятанията подреждаме в таблица, като със стрелка отбелязваме посоката на увеличение на числата:

    права пропорционалност

    • От а) забелязваме, че при увеличаване на теглото 1 път, цената също се увеличава 1 път.
    • От б) забелязваме, че при увеличаване на теглото 2 пъти (спрямо първоначалното), цената също се увеличава 2 пъти.
    • И при другите подточки се наблюдава същата закономерност, т.е. колкото пъти се увеличава теглото x, също толкова пъти се увеличава цената y.
    • Съставяме отношението:
      права пропорционалност
    • Затова правим извода, че величините x и y са правопропорционални с коефициент на пропорционалност (в дадения пример) равен на 3.
  • Свойства на правопропорционалните величини:
    • С увеличаване на величината x се увеличава и съответната стойност на величината y.
    • Отношението на стойностите на променливата у към съответните стойности на променливата х е постоянна величина, равна на коефициента на пропорционалност k.
  • Практическо правило за откриване на правопропорционални величини:
    Правило:
    1. Нанасяме стойностите на двете величини в таблица.
    2. Със стрелка отбелязваме посоката, в която величините растат.
    3. Ако стрелките са в еднаква посока, то величините са правопропорционални.
  • Графика.

    Всяка правата пропорционалност y = kx има графика права линия, която минава през центъра на координатната система (Фиг. 10).

    Зад. №2:
    Дадена е правата пропорционалност y = 3x. Нека x = – 2, – 1, 0, 1, 2. За всяка от дадените стойности на х пресметнете стойността на y и нанесете точките с координати (х, у) върху декартова координатна система.

    Решение:

    Нанасяме получените резултати в таблица.

    графика на права пропорционалност

    • Нанасяме точките върху координатната система (Фиг. 10):
    • При точен чертеж, ако начертаем права линия през точките А и D, то тази права преминава и през останалите точки (точките В, О и С).
    • Тази права линия се нарича графика на правата пропорционалност y = 3x.
    Бележки:
    1. Графиката на правата пропорционалност минава през началото на координатната система O (0; 0).
    2. Всяка права е определена от две точки. За да начертаем графиката на правата пропорционалност, достатъчно е да намерим две точки от нея и да начертаем правата, която минава през тези две точки.
    3. При чертане на графиката на правата пропорционалност за удобство едната от двете точки може да бъде точката O (0; 0).
  • Определение – Две величини x и y са обратнопропорционални, ако между тях има следната зависимост:

    (3): y = k. или x.y = k, k ≠ 0, x ≠ 0.

    Числото k се нарича коефициент на пропорционалност.

    Зад. №3:
    Разстоянието между два града е s = 360 km. Да се намери времето t, за което може да бъде изминато това разстояние, ако скоростта на движение е:

    а) v = 80 km/h;

    б) v = 90 km/h;

    в) v = 120 km/h.

    Решение:

    Използваме познатата формула от физиката, че s = v.t :

    • Резултатите от пресмятанията подреждаме в таблица, като със стрелка отбелязваме посоката на увеличение на числата:
      обратна пропорционалност
    • От таблицата се вижда, че при увеличаване на величината х (скоростта), другата величина y (времето) се намалява.
    • Произведението между двете величини е едно и също (за всички подточки имаме x.y = 360).
    • Такава зависимост между y (времето t) и x (скоростта v) се нарича обратна пропорционалност, а числото (s = 360) не се променя и е коефициент на пропорционалност k.
  • Свойства на обратнопропорционалните величини:
    • С увеличаване на величината x се намалява съответната стойност на величината y.
    • Произведението на стойностите на променливата у и съответните стойности на променливата х е постоянна величина, равна на коефициента на пропорционалност k.
  • Практическо правило за откриване на обратнопропорционални величини:
    Правило:
    1. Нанасяме стойностите на двете величини в таблица.
    2. Със стрелка отбелязваме посоката, в която величините растат.
    3. Ако стрелките са в различни посока, то величините са обратнопропорционални.
  • Графика (Фиг. 11):графика на обратна пропорционалност
    • Графиката на обратната пропорционалност y = k. се състой от две криви линии, разположени в различни квадранти. Тези линии имат общо наименование хипербола.
    • Хиперболата е разположена в I и III квадрант (Фиг. 11 – а), когато коефициентът на пропорционалност е положително число, т.е. когато k > 0.
    • Хиперболата е разположена във II и IV квадрант (Фиг. 11 – б), когато коефициентът на пропорционалност е отрицателно число, т.е. когато k < 0.
    Бележка:

    Графиката на обратната пропорционалност (хиперболата) не минава през точките с абсциса 0, т.е. не пресича ординатната ос y).

Приложение на пропорциите – Основни задачи

  • Тези задачи се решават, като се използва това, че мащаб е отношението на дължината на отсечка от чертеж, карта или др. (РК) и действителната ѝ дължина (ДР), измерени в сантиметри, т.е.
    задачи с мащаб.

    Зад. №4:
    Имаме карта с мащаб 1 : 3 000 000.

    а) Намерете действителното разстояние между два града, измерено в километри, ако върху картата то е 25 cm.

    б) Разстоянието между два града е 750 km. Какво е разстоянието между тях върху картата.

    Решение:

    а)

    • Нека с x cm означим търсеното действително разстояние, т.е. x = ДР.
    • Използваме (4) и даденото, за да съставим пропорция:
      2 задача с мащаб
    • Превръщаме в km: знаем, че 1 km = 100 000 cm, тогава 75 000 000 cm = 75 000 000 : 100 000 = 750 km.
    • Отговор – Действителното разстояние е 750 km.

    б)

    • Нека с x cm означим търсеното разстояние върху картата, т.е. x = РК.
    • Превръщаме даденото разстояние в cm:
      750 km = 750 . 100 000 = 75 000 000 km.
    • Използваме (4), за да съставим пропорция:
      разстояние върху картата
    • Отговор – Разстоянието върху картата е 25 cm.

    Пример: Виж Зад. № 21 от изпита през 2016 г.
  • При този тип задачи е полезно да се действа по следната схема:

    Правило:
    1. Подреждаме данните в таблица.
    2. Отбелязваме с x елемента, който се търси.
    3. Съставяме пропорция (например, между числата в една и съща колонка поставяме дробна черта, а между различните колонки – знак за равно) и я решаваме спрямо x.
    Зад. №5:
    Автомобилът на г-н Монов изразходва 8 литра гориво на 100 километра при средна скорост 55 km/h. Цената на литър гориво е 2,50 лв. Дължината на пътя от София до Самоков е 60 km. Г-н Монов изминал това разстояние със средна скорост 55 km/h. Колко лева струва горивото за това пътуване?

    Решение:

    I начин:
    • Отбелязваме с x изразходваното гориво за пътя от София до Самоков.
    • Попълваме таблицата, като отчетем, че щом автомобилът на г-н Монов се движи с една и съща скорост и при 100 км изразходва 8 литра гориво, то при по-малко километри (6 km) ще изразходва по-малко гориво (x литра), т.е. величините път и литри са правопропорционални.
      право пропорционални величини
    • Съставяме пропорция (между числата в една и съща колонка поставяме дробна черта, а между различните колонки поставяме знак за равно) и я решаваме:
      = = 4,8 литра.
    • Пътуването струва 4,8 . 2,50 = 12 лв.
    • Отговор – Пътуването струва 12 лв.
    II начин:
    • Величините път и литри са правопропорционални и може да използваме формула (2):
      • Намираме коефициента на пропорционалност: щом за 100 km автомобилът изразходва 8 литра гориво, то за 1 km ще изразходва k = 8 : 100 = 0,08 литра.
      • От формула (2) следва, че за разстояние x = 60 km (разстоянието от София до Самоков) ще изразходва y = 60 . 0,08 = 4,8 литра гориво.
    • Пътуването ще струва 4,8 . 2,50 = 12 лв.
    • Отговор – Пътуването струва 12 лв.

    Пример: Виж Зад. № 21 от изпита през 2014 г. и Виж Зад. № 21 от изпита през 2013 г.
  • При този тип задачи е полезно да се действа по следната схема:

    Правило:
    1. Подреждаме данните в таблица.
    2. Отбелязваме с x елемента, който се търси.
    3. Сменяме местата на числата в една от колонките и съставяме пропорция но начин, описан при правата пропорционалност.
    Зад. №6:
    Първоначално от един клас са се записали за екскурзия 20 ученика. За да платят автобусния превоз, всеки от тях трябва да даде по 33 лв. Ако допълнително се запишат още 4 човека, по колко лева ще трябва да даде всеки от тях, за да съберат определената сума за превоза?

    Решение:

    I начин:
    • Отбелязваме с x сумата, която трябва да заплати всеки ученик във втория случай.
    • Попълваме таблицата, като отчетем, че щом броят на учениците се увеличава, то всеки от тях ще заплати по-малко, т.е. величините са обратнопропорционални.
      обратно пропорционални величини
    • Съставяме пропорция и я решаваме:
    • Отговор – Всеки ученик трябва за заплати по 27,5 лв. или 27 лв. и 50 стотинки.
    II начин:
    • Величините брой ученици и сума заплатена от тях са обратнопропорционални и може да използваме формула (3).
    • Отговор – Всеки ученик трябва за заплати по 27,5 лв. или 27 лв. и 50 стотинки.
  • Зад. №7:
    Дължините на катетите на триъгълник се отнасят както 5 : 12. Намерете лицето на триъгълника, ако дължината на по-големия катет е 24 cm.

    Решение:

    • Отбелязваме с x дължината на малкия катет.
    • Съставяме пропорция и я решаваме:
      Малък катет : Голям катет = 5 : 12 x : 24 = 5 : 12 x = = 10 cm.
    • Намираме лицето на триъгълника:
      = 120 cm2.
    • Отговор – Лицето е 120 cm2.
  • Зад. №8:
    Трима съдружници спечелили 17 850 лв. и си разпределили печалбата в отношение 2 : 3 : 5. Намерете по колко лева е получил всеки от тях.

    Решение:

    • Нека x > 0, тогава:

      I съдружник получил 2х лв.

      II съдружник получил 3х лв.

      III съдружник получил 5х лв.

    • Намираме x:
      2x + 3x + 5x = 17 850 10x = 17 850 x = 1 785.
    • Намираме отговора:

      I съдружник получил 2х = 2 . 1 785 = 3 570 лв.

      II съдружник получил 3х = 3 . 1 785 = 5 355 лв.

      III съдружник получил 5х = 5 . 1 785 = 8 925 лв.

VII. Правоъгълен триъгълник – Питагорова теорема

  • Хипотенуза (Фиг. 12) – страната която лежи срещу правия ъгъл, а обикновено правият ъгъл е при върха С и затова хипотенузата се отбелязва с малката буква на този връх, т.е. хипотенузата е AB = c.
  • Катети (Фиг. 12) – Страните, които излизат от правия ъгъл. По подразбирате това са страните BC = a и AC = b.
Т: В правоъгълния триъгълник сборът от квадратите на катетите е равен на квадрата на хипотенузата, т.е.:
(5): a2 + b2 = c2.
Зад. №9:
Даден е правоъгълен триъгълник с катети 3 cm и 0,4 dm. Намерете обиколката на триъгълника, лицето на триъгълника и височината към хипотенузата.

Решение:

  • Изравняваме мерните единици:
    b = 0,4 dm = 0,4.10 = 4 cm.
  • За ΔABC използваме Питагоровата теорема, за да намерим хипотенузата:
    a2 + b2 = c2 42 + 32 = c2 c2 = 25 c = 5 cm.
  • Намираме обиколката:
    P = a + b + c = 3 + 4 + 5 = 12 cm.
  • Намираме лицето:
    = 6 cm2.
  • Използваме друг запис на формулата за лице (формула (2)), за да намерим височината към хипотенузата:
    S = h = 2,4 cm.
  • Отговор: P = 12 cm, S = 6 cm2, h = 2,4 cm.
Зад. №10:
В правоъгълна координатна система Оху постойте точките А (–5; 0), В (–3; 0), С (0; –4), D (3; 0), E (5; 0) и F (0, 12). Намерете:

а) лицата на фигурите AOF и AEF в квадратни мерни единици;

б) лицето на фигурата ABCDEF в квадратни мерни единици;

в) обиколката на фигурата ABCDEF в мерни единици.

Решение:

  • Нанасяме дадените точки на координатната системи и получената фигура е дадена на чертежа.

а)

  • Фигурата AFO е правоъгълния ΔAFO.
  • От координатната система намираме дължините на катетите AO и FO в мерни единици (1 м. ед. = 1 деление):
    AO = 5 м. ед., FO = 12 м. ед.
  • Намираме лицето на ΔAFO, като използваме формула (2):
    = 30 кв. м. ед.
  • По подобен начин намираме лицето на ΔAEF, като използваме формула (1):
    • AE = 10 м. ед.
    • = 60 кв. м. ед.
  • Отговор: SΔAOF = 30 кв. м. ед., SΔAEF = 60 кв. м. ед.

б)

  • Фигурата ABCDEF е непозната.
  • За да намерим лицето ѝ я разделяме на познати фигури и намираме техните лица. Тези познати фигури са ΔAEF и ΔBDC.
  • Намираме лицето на ΔBDC:
    • BD = 6 м. ед., CO = 4 м. ед.
    • = 12 кв. м. ед.
  • Намираме лицето на фигурата ABCDEF:
    SФ = SΔAEF + SΔBDC = 60 + 12 = 72 кв. м. ед.
  • Отговор: SФ = 72 кв. м. ед.

в)

  • Фигурата ABCDEF се състои от отсечките AB, BC, CD, DE, EF и AF.
  • От координатната система може да се определи дължината на такава отсечка, която е или успоредна на двете оси или съвпада с тях.
  • В нашият случай това са отсечките: AB = 2 м. ед., DE = 2 м. ед.
  • Останалите отсечки ги намираме от подходящи правоъгълни триъгълници, като използваме питагоровата теорема:
    • За ΔBCO имаме:
      BC2 = BO2 + CO2 = 32 + 42 = 9 + 16 = 25 = 52 BC = 5 м. ед.
    • По аналогичен начин от ΔCDO получаваме, че CD = 5 м. ед.
    • За ΔEFO имаме:
      EF2 = EO2 + FO2 = 52 + 122 = 25 + 144 = 169 = 132 EF = 13 м. ед.
    • По аналогичен начин от ΔAFO получаваме, че AF = 13 м. ед.
  • Намираме обиколката на фигурата ABCDEF:
    PФ = AB + BC + CD + DE + EF + AF = 2 + 5 + 5 + 2 + 13 + 13 = 40 м. ед.
  • Отговор: PФ = 40 м. ед.
Бележка:
Запомнете, че от координатната система може да намерим дължината само на отсечка, която е успоредна или съвпада с някоя от координатите оси. Дължините на останалите отсечки намираме, като за подходящ правоъгълен триъгълник приложим питагоровата теорема.

VIII. Геометрични фигури и тела

  • Окръжност (Фиг. 13) – Окръжност е затворена крива, образувана от всички точки в дадена равнина, намиращи се на определено разстояние r от избрана точка О.
  • Кръг (Фиг. 13) – Равнината заградена от окръжността, т.е. всички точки оградени от окръжността.
  • Елементи на окръжност и кръг:
    • Център – това е избраната точка О.
    • Радиус r – Разстоянието от центъра до произволна точка от окръжността. На Фиг. 13 радиусът е AO = OB = OC = r.
    • Диаметър d – Отсечката, свързваща две точки от окръжността и минаваща през центъра. На Фиг. 13 диаметърът е BC = d = 2r.
  • Дължина на окръжност C:
    (6): C = 2πr = πd, където
  • Лице на кръг S:
    (7) : S = πr2.
  • Основна задача.
    Зад. №11:
    На чертежа лицето на големия кръг е cm2. Намерете:

    а) Диаметъра на големия кръг.

    б) Обиколката на оцветената в червено фигура.

    в) Лицето на оцветената в бяло фигура, намираща се във вътрешността на големия кръг.

    г) Отношението на лицето на оцветената в червено към лицето на оцветената в бяло фигури.

    Решение:

    а)

    • Използваме една от стойностите на π, за да запишем даденото лице по друг начин:
      Sголям кръг
    • Използваме формула (7), за да намерим радиуса:
      Sголям кръг = πr2 4π = πr2 r2 = 4 r = 2 cm.
    • Намираме диаметъра:
      d = 2AO = 2r = 2.2 = 4 cm.
    • Отговор: d = 4 cm.

    б) Обиколката на червената фигура е съставена от 3 отсечки AO = r = 2 cm и дължините на 3 полудъги с радиус AO = 1 cm, т.е:
    Pчервена фигура = 3AO + 3..2π.1 = 3.2 + 3..2π.1 = 6 + 3π = 3(2 + π) cm.

    Отговор: Pчервена фигура = 3(2 + π) cm.

    в)

    • Намираме лицето на оцветената с червено фигура:
      • Оцветената с червено фигура е съставена от 3 полукръга с диаметър AO = r = 2 cm (на фиг. тези полукръгове са номерирани с 1, 2 и 3).
      • Лицата на полукръговете 1 и 2 е равно на лицето на един кръг с радиус AO = 1 cm, т.е.:
        Sполукръг 1 и 2 = π.12 = π cm2.
      • Лицето на полукръг 3 е равно на половината от лицето на кръг с радиус 1 cm, т.е.:
        Sполукръг 3 = π.12 = cm2.
      • Лицето на червената фигура е:
        Sчервена фигура = Sполукръг 1 и 2 + Sполукръг 3 = π cm2.
    • Намираме лицето на бялата фигура:
      Sбяла фигура = Sголям кръг – Sчервена фигура = 4π – cm2.
    • Отговор: Sбяла фигура = cm2..

    г): Съставяме търсеното отношение:

  • Определение за правилен многоъгълник – Многоъгълник, на който всички страни са равни и всички ъгли са равни.
  • Видове правилни многоъгълници – Броят на страните определят вида на многоъгълника.
    • Правилен многоъгълник с три страни (правилен триъгълник) е равностранен триъгълник.
    • Правилен многоъгълник с четири страни (правилен четириъгълник) е квадрат.
    • Правилен многоъгълник с шест страни (Фиг. 14) се нарича правилен шестоъгълник и т.н.
  • Елементи на правилен многоъгълник:
    • Страна – Прието е страните на правилния многоъгълник да се отбелязват с буквата b. На Фиг. 14 страните са AB = BC = CD = DE = EF = AF = b.
    • Върхове – На Фиг. 14 върховете са точките A, B, C, D, E и F.
      Бележка:
      Върховете на всеки правилен многоъгълник лежат на окръжност и я делят на равни дъги (части).
    • Диагонали – Отсечката свързваща два срещулежащи върха. На Фиг. 14 диагоналите са: AD, BE, CF.
    • Център на правилен многоъгълник – Пресечната точка на диагоналите, тя е и среда на диагоналите. Прието е да се отбелязва с точка О.
    • Апотема a – Височината на триъгълник свързващ центъра с два от върховете. Прието е да се отбелязва с буквата a. На Фиг. 14 апотемата е OH = a.
  • Периметър (обиколка):
    • на произволен многоъгълник – Сборът от всички страни.
    • на правилен многоъгълник – Ако всеки правилен многоъгълник има n страни, то периметърът му се намира по формулата:
      (8) : P = nb.
  • Лице:
    • За намиране на лицето на многоъгълниците: триъгълник, правоъгълник, успоредник и трапец, се използват познатите формули:

      лице триъгълник, успоредник, трапец

    • Лице на правилен многоъгълник:

      където Р = n . b е периметърът, n – броят на страните, b – страната, а – апотемата на правилния многоъгълник.
    • Лице на произволен многоъгълник – Лицето на произволен многоъгълник намираме като сбор от лицата на триъгълници или на други познати фигури, които го съставят.
  • права призма Права призма – Тяло (Фиг. 15), на което две от стените му са успоредни многоъгълника, а останалите стени са правоъгълници.
  • Елементи на правата призма:
    • Основи – Двата успоредни многоъгълника. На Фиг. 15 – А) двете основи са ΔABC, ΔA1B1C1. Основите на правите призми могат да бъдат триъгълници (Фиг. 15 – А), четириъгълници (Фиг. 15 – Б), петоъгълници и т.н.
    • Околни стени – Останалите стени на призмата. При правата призма всички околни стени са правоъгълници.
    • Основни ръбове – Страните на двете основи. На Фиг. 15 – А) основните ръбове са: AB, BC, AC, A1B1, B1C1 и A1C1.
    • Околни ръбове – На Фиг. 15 – А) околните ръбове са: AA1, BB1 и CC1.
    • Върхове – На Фиг. 15 – А) това са точките A, B, C, A1, B1 и C1.
    • Образуваща – При правата призма всеки околен ръб е образуваща. На Фиг. 15 – А) образуващата е един от околните ръбове AA1 = BB1 = CC1 = l.
    • Височина – При правата призма височината h съвпада с образуващата l, т.е. h = l.
  • Правилна призми – Права призма, на която основите са правилни многоъгълници.

    Например:
    • Правоъгълният паралелепипед е права четириъгълна призма (Фиг. 15 – Б).
    • Кубът е правилна четириъгълна призма.
    Бележка:
    Освен права призма има и наклонена призма. Ние ще разглеждаме САМО права призма и затова в бъдеще, ако споменем призма, ще разбираме права призма.
  • Лице на околната повърхнина S:
    • на права призма – Сборът от лицата на околните стени, които са правоъгълници.
    • на правилна призма: Ако Р = n . b е периметърът на основата, n – броят на страните на основата, b – основен ръб, h – височина (образуващата) на призмата, то:
      (10) : S = P.h или S = n.b.h.
  • Лице на повърхнината (пълната повърхнина) S1:
    • на права призма – Сборът от лицата на всички стени на призмата (основи и околни).
    • на правилна призма: Ако с B отбележим лицето на основата, то:
      (11) : S1 = S + 2B.
  • Обем V на права призма – Обемът V на права призма е равен на произведението от лицето на основата B и дължината на височината h на призмата, т.е.:
    (12) : V = B.h.
    Бележки:
    1. Ако имаме правоъгълен паралелепипед, който е права четириъгълна призма, то лицето на основата е B = a.b, защото имаме правоъгълник със страни a и b, а височината му е h = c, тогава за обема получаваме познатата формула:
      V = a.b.c.
    2. Ако имаме куб (правилна четириъгълна призма с основа квадрат), то лицето на основата (квадрат със страна a) е B = a.a, а височината му е h = a, тогава за обема получаваме познатата формула:
      V = a.a.a.
  • Пирамида – Тяло (Фиг. 16), образувано от многоъгълник и триъгълници с общ връх, нележащ в равнината на многоъгълника.
  • Правилна пирамида – Пирамида с основа правилен многоъгълник и равни околни ръбове.
    Бележка:

    Ние ще разглеждаме САМО правилна пирамида.

  • Правилна пирамида Елементи на правилната пирамида:
    • Основа – Правилният многоъгълник на пирамидата. На Фиг. 16 – А) основата е ΔABC. Основата на правилната пирамида може да бъде равностранен триъгълник (Фиг. 16 – А), квадрат (Фиг. 16 – Б), правилен петоъгълник и т.н.
    • Околни стени – Равнобедрените триъгълници с общия връх. На Фиг. 16 – А околните стени са равнобедрените ΔABM, ΔBCM и ΔACM.
    • Основни ръбове – Страните на основата. На Фиг. 16 – А) основните ръбове са: AB = BC = AC = b.
    • Околни ръбове – На Фиг. 16 – А) околните ръбове са: AM = BM = CM = l.
    • Център на основата О – центърът на правилния многоъгълник.
    • Върхове – Върховете на основата и общият връх на всички околни стени. На Фиг. 16 – А) това са точките A, B, C и M.
    • Апотема k на правилната пирамида – Височина на околна стена (понеже околните стени са еднакви равнобедрени триъгълници, то височините им също са равни, т.е. няма значение коя височина на коя околна стена ще изберем за апотема на пирамидата). На Фиг. 16 – А) апотемата е MK = k.
    • Апотема a на основата – Височината на правилния многоъгълник. На Фиг. 16 – А) апотемата на основата е CK = a.
    • Височина h на пирамидата – Отсечката свързваща върха М с центъра на основата О. На Фиг. 16 – А) височината на пирамидата е отсечката MO = h.
  • Лице на околната повърхнина S на правилна пирамида – Ако Р = n . b е периметърът на основата, n – броят на страните на основата, b – основен ръб, k – апотема на пирамидата, то:
    (13):
  • Лице на повърхнината (пълната повърхнина) S1 на правилна пирамида – Ако с B отбележим лицето на основата, то:
    (14): S1 = S + B.
  • Обем V на правилна пирамида – Ако с B отбележим лицето на основата, а с h височината на пирамидата, то:
    (15): .
Бележка:

Ние ще разглеждаме само прав кръгов цилиндър и затова ще го наричаме просто цилиндър.

  • Определение – Тяло (Фиг. 17 – Г), повърхнината на което е съставена от два еднакви кръга и цилиндрична повърхнина. цилиндър
  • Елементи – Прав кръгов цилиндър може да се получи при пълно завъртане на правоъгълник ABCD (Фиг. 17) около една от страните му, например около BC.
    • Основи – Двата еднакви кръга. На Фиг. 17 – Г) основите са кръговете с центрове B и C и радиус AB = DC = r.
    • Образуваща l – Отсечката AD (Фиг. 17) описваща цилиндрична повърхнина, се нарича образуваща l на правия кръгов цилиндър.
    • Радиус r – Отсечките AB и CD (Фиг. 17) описващи двата еднакви кръга и са радиусите на двете основи (AB = CD = r), се нарича радиус r на цилиндъра.
    • Ос на въртене – Отсечката BC (Фиг. 17) от въртящия се правоъгълник ABCD, която остава неподвижна.
    • Осно сечение – Правоъгълникът AA3D3D (Фиг. 17 – Г) се нарича осно сечение.
    • Височина h – Отсечката съединява центровете на двете основи и е перпендикулярна на двата радиуса AB и CD. На Фиг. 17 – Г) височината е h = BC = AD = A3D3 = l.
      Бележка:

      В прав кръгов цилиндър височината h съвпада с образуващата l, защото те са успоредни страни на въртящия се правоъгълник ABCD.

  • Лице на околната повърхнина S – Ако Р = 2πr е периметърът (обиколката) на основата, r – радиусът на цилиндъра, h – височината на цилиндъра, то:
    (16): S = P.h или S = 2πrh.
  • Лице на повърхнината (пълната повърхнина) S1 – Ако с B = πr2 отбележим лицето на основата, където r – радиус на цилиндъра, то:
    (17): S1 = S + 2B или S1 = 2πr(h + r).
  • Обем V – Ако с B = πr2 отбележим лицето на основата, където r – радиус на цилиндъра и h височината на цилиндъра, то:
    (18): V = B.h или V = πr2h.
Бележка:

Ние ще разглеждаме само прав кръгов конус и затова ще го наричаме просто конус.

  • Определение – Тяло (Фиг. 18 – Г), заградено от конична повърхнина и кръг. конус
  • Елементи – Прав кръгов конус може да се получи при пълно завъртане на правоъгълен ΔABC (Фиг. 18) около един от катетите му, например около BC.
    • Основа – Кръг (Фиг. 18 – Г) с център C и радиус CA =CA1 = CA2 = CA3 = r.
    • Образуваща l – Хипотенузата AB (Фиг. 18) на ΔABC (C = 90°) описваща коничната повърхност, се нарича образуваща l на конуса.
    • Радиус r – Катетът AC (Фиг. 18) описващ кръга на основата, се нарича радиус r на конуса.
    • Ос на въртене – Катетът BC (Фиг. 18) от въртящия се ΔABC, който остава неподвижен.
    • Осно сечение – Равнобедреният ΔAA3B (Фиг. 18 – Г) се нарича осно сечение.
    • Височина h – Разстоянието от върха M на конуса до центъра на основата. Това разстояние е равно на катета, около който се върти правоъгълният триъгълник. На Фиг. 18 – Г) височината е h = BC.
      Бележка:

      В прав кръгов конус височината h съвпада с оста на въртене.

  • Лице на околната повърхнина S – Нека да имаме означенията: r – радиус на конуса, l – образуваща, то лицето S на околната повърхнина е:
    (19): S = πrl.
  • Лице на повърхнината (пълната повърхнина) S1 – Ако с B = πr2 отбележим лицето на основата, където r – радиус на конуса, то:
    (20): S1 = S + B или S1 = πr(l + r).
  • Обем V – Ако с B = πr2 отбележим лицето на основата, където r – радиус на конуса и h височината на конуса, то:
    (21): .
  • Сфера (сферична повърхност) – Повърхнината, която се състои от всички точки в пространството на разстояние r от дадена точка О.
  • Елементи на сфера – Сфера може да се получи при пълно завъртане на окръжност с център O и радиус r около диаметъра си (Фиг. 19).
    • Център О на сферата.
    • Радиус r – Отсечката свързваща центъра с произволна точка от сферичната повърхност. На Фиг. 19 радиусът е AO = BO = r.
    • Диаметър d – На Фиг. 19 диаметърът е d = 2r = AB.
    • Голяма окръжност – Окръжност с център O и диаметър 2r. На Фиг. 19 са начертани три големи окръжности: k, k1 и k2.
  • Лице S на сфера (лице на сферичната повърхнина):
    (22): S = 4πr2 или S = πd2.
    Бележка:

    Сферата е повърхнина. Затова под „лице на сфера” разбираме лицето на повърхнината, която е сфера, т.е. лицето на сферичната повърхност.

  • Кълбо – Кълбото е част от пространството, заградена от сфера. Центърът O, радиусът r и диаметърът d на сферата се наричат съответно център O, радиус r и диаметър d на кълбото.
    Бележка:

    Сферата е повърхнината на кълбото, така както окръжността е контур (обиколка) на кръга.

  • Обем на кълбо:
    V = πr3.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 0888 919 954 (вечер), г-н. Станев.

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание