Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
7 клас

Вие сте тук:   || Диаграми. Вероятности и статистика - теория


Графики и диаграми. Елементи от вероятности и статистика

Съдържание на темата:

  1. Разчитане на данни представени чрез диаграми и графики
    1. Линейна диаграма (графика)
    2. Правоъгълна (блокова) диаграма
    3. Кръгова диаграма
  2. Елементи от вероятности и статистика
    1. Множества и операции с тях
    2. Вероятност на случайно събитие
    3. Средноаритметично на данни

Теория

I. Разчитане на данни представени чрез диаграми и графики

Зад. №1:
Линейна диаграма (графика)На графиката е представено движението на три превозни средства. Намерете:

а) последователността на тръгване на превозните средства;

б) превозното средство, което се е движело с почивка и определете времето за престой;

в) времето, което е пътувало всяко превозно средство;

г) пътя в km, изминат общо от трите превозни средства;

д) скоростта на най-бързото превозно средство;

е) отношението на скоростта на превозно средство II към скоростта на превозно средство I.

Решение:

На абсцисната ос е нанесено времето, а на ординатната ос – пътя.

а)

  • Началото на всяка графика показва началното време на тръгване на всяко превозно средство.
  • Отговор: Първо тръгва тяло III, след него е тяло II и последно тръгва тяло I.

б)

  • Едно тяло е в покой, когато не се движи, т.е. графиката му е успоредна на абсцисната ос.
  • Третото тяло изпълнява това условие.
  • От графиката определяме, че тялото е в покой от 3 до 4 чáса, т.е. то е в покой 1 час.
  • Отговор: Тяло III се движи с почивка и почива 1 час.

в)

  • Тяло I – Графиката му започва от точка с абсциса 3 и завършва в точка с абсциса 7, т.е.това тяло се е движело 7 – 3 = 4 чáса.
  • Тяло II – Графиката му започва от точка с абсциса 1 и завършва в точка с абсциса 3, т.е.това тяло се е движело 3 – 1 = 2 чáса.
  • Тяло III – Графиката му започва от началото на координатната система и завършва в точка с абсциса 6, т.е.това тяло се е движело 6 чáса.
  • Отговор: Тяло I се е движело 4 чáса, тяло II – 2 чáса и тяло III – 6 чáса.

г)

  • Щом на ординатната ос сме нанесли пътя, то, за да намерим пътя изминат от всяко тяло, ще ни трябват ординатите на началните и крайните точки от всяка графика.
  • Тези координати са едни и същи, като началната е 0, а крайната е 200, т.е. всяко тяло изминава по 200 km.
  • Намираме общия път:
    sI + sII + sIII = 200 + 200 + 200 = 600.
  • Отговор: Трите тела изминават общо 600 km път.

д)

  • Използваме познатата формула от човекът и природата , където s – път, t – време, v – скорост.
  • Всички тела изминават един и същи път.
  • Във в) получихме, че II тяло изминава най-бързо този път (за tII = 2 чáса).
  • Това означава, че Второто тяло се движи с най-голяма скорост.
  • Намираме тази скорост:
    .
  • Отговор: Скоростта на II тяло е 100 km/h.

е)

  • Намираме скоростта на тяло I:
    .
  • Намираме търсеното отношение:
  • Отговор: Търсеното отношение е vII : vI = 2 : 1.

Други задачи: Виж Зад. № 11 от изпита през 2015 г, Зад. № 9 от изпита през 2016 г.

Правоъгълната диаграма (в някои случаи се нарича хистограма) се явява стъпаловидна диаграма, показваща данни (обикновено нанесени върху ординатната ос) разпределени в равни интервали (обикновено тези равни интервали се нанасят върху абсцисната ос като равни единични отсечки).

Зад. №2:
Правоъгълната диаграмаДенонощният режим на ученик е отразен на диаграмата.

а) По колко часа отделя ученикът за всяка от дейностите?

б) Какво е отношението на учебните часове към времето за сън?

в) Каква част от денонощието е за храна?

г) Колко процента от денонощието е за труд, спорт и др.?

Решение:

На хоризонталната (абсцисната) ос са нанесени видовете занимания, а на вертикалната (ординатната) ос – броя на часовете.

а) От диаграмата определяме, че ученикът отделя:

  • За сън – 9 часа.
  • За учебни часове – 6 часа.
  • За домашни занимания – 3 часа.
  • За хранене и почивка – 2 часа.
  • За труд, спорт и др. – 4 часа.

б) Намираме търсеното отношение:
.

Отговор: Търсеното отношение е Учебни часове : Сън = 2 : 3.

в) В денонощието имаме 24 чáса и съставяме отношението:
.

Отговор: За храна се отделя Една дванадесета част от денонощието.

г) Записваме търсеното отношение и получената дроб я превръщаме в процент:
отношение

Отговор: За труд, спорт и др. се отделя 16,67 % от денонощието.

Други задачи: Виж Зад. 20 от изпита през 2012 г, зад. 8 от изпита през 2013 г, зад. 9 от изпита през 2014 г, зад. 19 от изпита през 2016 г, зад. 21 от изпита през 2018 г.
  • Сектор – Ако един кръг го разделим на части с помощта на радиусите му, то тези части се наричат сектори. Например, на Фиг. 1 имаме три сектора, които са оцветени с различни цветове.
  • Централен ъгъл – Ъгъл, чиито връх е в центъра на окръжността, а раменете му са радиуси на окръжността. Например, на Фиг. 1 централните ъгли са α, β, γ.

    Ако имаме едно цяло нещо N, което на Фиг. 1 е разделено на части N1 (отговарящо на жълтия сектор от окръжността), N2 (отговарящо на синия сектор) и N3 (отговарящо на кафявия сектор) и отношението им е N1 : N2 : N3, то централните им ъгли са в същото отношение

    (1): α : β : γ = N1 : N2 : N3,

    а големината на централните ъгли се намира по формулата:

    Ако частите N1, N2 и N3 са зададени в проценти p1%, p2% и p3%, то формула (2) се записва:
    α = p1% . 360°;
    β = p2% . 360°;
    γ = p3% . 360°.

  • Кръгова диаграма – Кръговата диаграма се състои от кръг, разделен посредством негови радиуси на области (наречени сектори), пропорционални на данните, които представляват (Фиг. 1).
Зад. №3:
175 ученика се явяват на изпит. Резултатите от изпита са представени на дадената диаграма. Допълнете изреченията:

а) Броят на учениците, получили оценки 2, 3, 4, 5 и 6 са съответно равни на ………………. .

б) Отношението на броя на учениците, получили Среден и Добър е равно на ………… .

в) Учениците получили Отличен е ……… част от всички ученици.

Решение:

а) Намираме броя на учениците получили съответните оценки:

  • Оценка 2:
    12% от 175 = 0,12.175 = 21.
  • Оценка 3:
    20% от 175 = 0,2.175 = 35.
  • Оценка 4:
    28% от 175 = 0,28.175 = 49.
  • Оценка 5:
    24% от 175 = 0,24.175 = 42.
  • Оценка 6:
    16% от 175 = 0,16.175 = 28.
  • Отговор: Попълваме изречението:

    „Броят на учениците, получили оценки 2, 3, 4, 5 и 6 са съответно равни на 21, 35, 49, 42 и 28“.

б)

  • Намираме търсеното отношение:
    .
  • Отговор: Попълваме изречението:

    „Отношението на броя на учениците, получили Среден и Добър е равно на 5 към 7“.

в)

  • Намираме търсената част:
    .
  • Отговор: Попълваме изречението:

    „Учениците получили Отличен са част от всички ученици“.

Зад. №4:
На кръговата диаграма е представено разпределението на работещите на един строителен обект. Диаметърът на кръга е QP, а QON : PON = 7 : 3.

а) Колко процента от работещите на обекта са инженери?

б) Намерете средната заплата (в лв.) на работещите на обекта, ако строителните работници получават по 800 лв., техническите ръководители – по 1400 лв., а инженерите – по 2400 лв.

в) Ако техническите ръководители са с 12 човека повече от инженерите, намерете броя на строителните работници.

Решение:

I начин:

а)

  • От даденото отношение QON : PON = 7 : 3 QON = 7x, PON = 3x.
  • Използваме теорема за съседни ъгли:
    QON + PON = 180° 7x + 3x = 180° x = 18°.
  • Намираме централните ъгли:
    QON = 7x = 7.18 = 126°.
    PON = 3x = 3.18 = 54°.
  • Работещите на обекта инженери отговаря на PON = 54°, а цялата окръжност е 360° и намираме търсения процент:
    .
  • Отговор: Инженерите са 15% от всички работещи на обекта.

б)

  • Намираме централните ъгли отговарящи на всяка група работници:
    • Строителни работници (СР) – Понеже QP е диаметър тогава, QON = 180°.
    • Технически ръководители (ТР) – В а) получихме, че QON = 126°.
    • Инженери (И) – В а) получихме, че PON = 54°.
  • Намираме процента на всяка категория работници на обекта:
    • Строителни работници:
      .
    • Технически ръководители:
      0,35.
    • Инженери (И) – В а) получихме, че И = 15% = 0,15.
  • Нека с N да отбележим броя на всички работници от обекта. Тогава:
    • строителните работници (СР) са 0,5N;
    • техническите ръководители (ТР) са 0,35N;
    • инженерите (И) са 0,15N.
  • Използваме формула (5), за да намерим средната заплата:
    средноаритметично
  • Отговор: Средната заплата на работещите на обекта е 1250 лв.

в)

  • В б) получихме, че:
    • строителни работници (СР) са 0,5N;
    • технически ръководители (ТР) са 0,35N;
    • инженерите (И) са 0,15N.
  • Използваме условието:
    ТР = И + 12 0,35N = 0,15N + 12 0,35N – 0,15N = 12 N = 60.
  • Намираме броя на строителните работници:
    СР = 0,5N = 0,5.60 = 30.
  • Отговор: Броят на строителните работници е 30 човека.
II начин:
  • От условието QON : PON = 7 : 3 QON = 7x, PON = 3x.
  • QP – диаметър QOP = 10x.
  • От (1) следва, че:
    • строителните работници са СР = 10n.
    • техническите ръководители са ТР = 7n.
    • инженерите са И = 3n.
  • Тогава всички работници на обекта са ВР = 20n (n ).

а) Намираме процента на инженерите:
= 15%.

Отговор: Процентът на инженерите е 15%.

б) Използваме формула (5), за да намерим средната заплата:
средноаритметично втори начин

Отговор: Средната заплата на работещите на обекта е 1250 лв.

в)

  • Доказахме, че:
    • строителните работници са СР = 10n.
    • техническите ръководители са ТР = 7n.
    • инженерите са И = 3n.
  • Съставяме уравнение от условието, че „техническите ръководители са с 12 човека повече от инженерите“, т.е.
    ТР = И + 12 7n = 3n + 12 n = 3.
  • Намираме броя на строителните работници:
    СР = 10n = 10.3 = 30.
  • Отговор: Броят на строителните работници е 30 човека.

Други задачи: Виж Зад. 20 от изпита през 2015 г, зад. 21 от изпита през 2017 г.

II. Елементи от вероятности и статистика

  • Определение за множество – Съвкупност от обекти, обединени по някакъв общ признак.

    Например: Буквите на азбуката съставят множеството на тази азбука, учениците от 6-ти клас съставят множеството на шестокласниците, всички цели положителни числа съставят множеството на естествените числа, и т.н.
  • Елементи на множеството – Тези елементи, които принадлежат на даденото множество.

    Например: Буквата М е елемент от азбуката на кирилицата, но тя е елемент и от латинската азбука.
  • Крайно множество – Множество, което има краен брой елементи.

    Например: Множеството от буквите на кирилицата е ограничен брой, т.е. кирилицата е крайно множество.
  • Безкрайно множество – Множество, което има безброй много елементи.

    Например: Множеството на естествените числа е безкрайно множество.
  • Празно множество – Множество, което няма елементи.

    Например: Празно множество е множеството на всички четни едноцифрени числа, кратни на 5.

    Ако множеството А е празно, то записваме A = ∅.

  • Начини за задаване на множество:
    • Записваме елементите и ги поставяме в големи скоби.

      Например: А = {11; 22; 33; 44; 55; 66; 77; 88; 99}.
    • Заграждаме елементите на множеството със затворена линия.

      Например:
    • Бележка:

      Тези два начина е удобно да се използват за крайни множества.

    • Посочваме свойството, което характеризира елементите.

      Например: А = {Множеството на числата, които се делят на 11}.
      Бележка:

      Този начин е удобен за задаване на безкрайни множества.

  • Равни множества – Две множества А и В, които се състоят от едни и същи елементи независимо от подредбата им. Записваме A = B.

    Например: Множеството А = {1, 5, 9} е равно на множеството B = {9, 1, 5}, като записваме А = В.
  • Подмножество – Едно множество А се нарича подмножество на множество В, ако всички елементи на множество А са елементи и на множество В (Фиг. 2). Записваме A B.

    Например: Множеството А = {1, 5, 9} е подмножество на множеството B = {1, 5, 6; 8; 9}, като записваме A B.
  • Сечение на две множества – Ако две множества А и В имат общи елементи, то те се наричат пресичащи се. Общите елементи на двете множества разглеждаме като отделно множество С, което се нарича сечение на множествата А и В (Фиг. 3). Записваме C = A ∩ B.
    Сечение на две множества
  • Обединение на две множества – Множеството С, в което са включени всички елементи на множеството A и всички елементи на множеството B, се нарича тяхно обединение (Фиг. 4). Записваме C = A B.

    Ако множествата А и В имат общи елементи, в обединението общите елементи участват само веднъж.

    Обединение на две множества
  • Събитие – Събитие наричаме резултата, който се получава при извършване на определена дейност (извършване на опит).

    Например: В час учителят изпитва ученик и този ученик получава оценка Отличен. Събитието е изпитване, а резултатът от събитието е получената оценка.
  • Случайно събитие – Събитие, което при дадени условия може да се сбъдне, но може и да не се сбъдне.

    В горния пример получаването на оценка Отличен е случайно събитие, защото може да се случи, но може и да не се случи.

  • Достоверно събитие (истина) – Събитие, което винаги настъпва при наличието на дадени условия.

    Например: Събитието „Слънцето изгрява от изток“ е достоверно събитие, защото винаги се случва.
  • Невъзможно събитие (лъжа) – Събитие, което никога не се случва.

    Например: Събитието „Желязото при температура 10° С е в течно състояние“ е невъзможно събитие, защото никога не се случва.
  • Класическа вероятност

    От определението на понятието „случайно събитие“ следва, че при провеждане на един опит не е възможно да се предскаже настъпването на това събитие. Оказва се обаче, че ако се извършат достатъчно голям брой опити, започват да се проявяват някои закономерности на случайното събитие.

    Например при многократно хвърляне на една монета се забелязва, че броят на падналите се „лица“ се доближава до броя на падналите се „гербове“. Тази математическа наука, която изучава закономерностите на случайните събития, се нарича теория на вероятностите. Основна задача в теорията на вероятностите е на всяко случайно събитие да се съпостави число, с което да се оценява степента на възможност то да настъпи. Такова число ще наричаме вероятност на случайно събитие.

    Oпределение: Вероятността p на едно събитие се нарича числото, равно на отношението на благоприятните изходи m (случаи, при които събитието настъпва) и броя на всички възможни изходи n (случаи), т.е.:

    формула за вероятност
  • Свойства на класическата вероятност:
    • Вероятността на достоверното събитие е единица, т.е. p = 1, защото m = n.
    • Вероятността на невъзможното събитие е нула, т.е. p = 0, защото m = 0.
    • За вероятността на кое да е събитие А е в сила: 0 ≤ p (A) ≤ 1, защото m ≤ n.
  • Зад. №5:
    От множеството A = {9; 8; 7; 6; 5; 4; 3; 2;1} е избрано произволно число. Каква е вероятността избраното число да е четното.

    Решение:

    • Даденото множество има 9 елемента, т.е. броят на всички възможни случаи е 9 или n = 9.
    • Четните числа (числата, които се делят на 2) са 4 на брой (това са числата: 2, 4, 6, 8, общо 4), т.е. благоприятните случаи са 4 или m = 4.
    • Намираме вероятността, като използваме формула (3):
      .
    Зад. №6:
    правоъгълна диаграмаНа диаграмата е представено разпределение по класове на учениците, отишли на екскурзия.

    а) Намерете вероятността произволно избран ученик да е от 6 клас.

    б) Намерете вероятността произволно избран ученик да е или от 5 клас или от 7 клас.

    Решение:

    • От диаграмата намираме общия брой на учениците участващи в екскурзията:
      • 5 клас – 50 ученика.
      • 6 клас – 40 ученика.
      • 7 клас – 25 ученика.
      • Общо – 115 ученика.
    • Това означава, че всички възможни случаи за избор на ученици (броят на възможните случаи) е 115, т.е. n = 115.

    а)

    • Броят на учениците от 6 клас (броят на благоприятните случаи) е 40, т.е. m = 40.
    • Използваме формула (3), за да намерим търсената вероятност:
      .

    б)

    • Намираме благоприятните случаи:
      • Броят на учениците от 5 клас е 50.
      • Броят на учениците от 7 клас е 25.
      • Броят на благоприятните случаи е m = 50 + 25 = 75, защото по условие вариантите (учениците от 5 клас или 7 клас) са свързани със съюза „или“.
    • Използваме формула (3), за да намерим търсената вероятност:
      .
    Бележка:
    • Ако по условие вариантите са свързани със съюза „или“, то благоприятните случаи са равни на сбора от вариантите.
    • Ако по условие вариантите са свързани със съюза „и“, то благоприятните случаи са равни на произведението от вариантите.
    Зад. №7:
    На кръговата диаграма с диаметър АВ е представено разпределението на служителите в една фирма по възраст, като във фирмата има 8 човека на възраст от 41 до 50 години, 16 човека на възраст от 30 до 40 години, а централният ъгъл на служителите под 30 години е равен на 75°.

    а) Намерете броя на служителите над 50 години и общия брой на служителите във фирмата.

    б) Каква е вероятността случайно избран служител да е на възраст под 30 години?

    в) Как ще се измени вероятността за събитието от подточка б), ако:
    – във фирмата е назначен още един служител на 27 години;
    – от фирмата напусне един служител на 27 години?

    Решение:

    а)

    • Нека с α да отбележим централния ъгъл отговарящ на служителите над 50 години (оцветения в червено сектор на кръговата диаграма).
    • АВ – диаметър α + 75° = 180° α = 105°.
    • Съставяме отношението , т.е служителите над 50 години са 7х, а служителите под 30 години са 5х.
    • От диаграмата се вижда, че щом АВ е диаметър, то половината от служителите са 24 човека.
    • Тогава за другата половина може да запишем, че 7x + 5x = 24 x = 2.
    • Служителите над 50 години са 7x = 7.2 = 14 човека, а служителите под 30 години са 5x = 5.2 = 10 човека.
    • Всички служители са 14 + 10 + 8 + 16 = 48 човека.
    • Отговор: Служителите над 50 години са 14 човека, а всички служители във фирмата са 48 човека.

    б)

    • Всички служители във фирмата са 48 човека, т.е. броят на всички възможни случаи е 48 или n = 48.
    • Служителите под 30 години са 10 човека, т.е. благоприятните случаи са 10 или m = 10.
    • Намираме вероятността, като използваме формула (3):
      .

    в)

    • Ако във фирмата се назначи още един служител на 27 години, то броят на служителите под 30 години ще стане 11 човека, а общият брой на служителите ще стане 49 човека. Тогава n = 49, m = 11, а вероятността в този случай ще е
      .
    • Ако от фирмата напусне един служител на 27 години, то броят на служителите под 30 години ще стане 9 човека, а общият брой на служителите ще стане 47 човека. Тогава n = 47, m = 9, а вероятността в този случай ще е
      .
    • Сравняваме дробите по правилото за сравняване на дроби с различни знаменатели и стигаме до извода, че , т.е ако от фирмата напусне един служител на 27 години, то вероятността случайно избран служител да е на възраст под 30 години се намалява, а ако постъпи един служител на 27 години, то вероятността случайно избран служител да е на възраст под 30 години се увеличава.

Oпределение – Средна стойност (средноаритметично) на еднотипни числа е сборът на числата, разделен на техния брой. Например, ако са дадени n числа: a1, a2, …, an, то средноаритметичното им се намира по формулата:
средноаритметично

Ако между числата има повтарящи се е удобно да се използва следната формула:

(5): ,

където: m1 е брой на повторенията (срещанията) на числото a1, m2 – брой на повторенията на числото a2, mn – брой на повторенията на числото an.

Зад. №8:
правоъгълна диаграма 6 класНа диаграмата са представени резултатите от контролна работа по математика в 6А и 6Б клас.

а) Намерете средния успех от контролната работа за всеки клас.

б) Допълнете изреченията:

В ………. клас има повече отлични оценки. В ……… клас има по-малко тройки. …….. клас има по-висок среден успех. Като цяло, може да кажем, че ……. клас се е представил по-добре.

Решение:

а)

  • От диаграмата определяме, че:
    • оценка 3 имат трима ученика от 6А и един – от 6Б;
    • оценка 4 имат шест ученика от 6А и седем – от 6Б;
    • оценка 5 имат пет ученика от 6А и десет – от 6Б;
    • оценка 6 имат четирима ученика от 6А и двама – от 6Б.
  • Намираме средния успех на всеки клас, като използваме формула (5):
    • За 6А имаме общ брой оценки 18, т.е. n = 18, тогава средният успех е:
      = .
    • За 6Б имаме общ брой оценки 20, т.е. n = 20, тогава средният успех е:
      = 4,65.
  • Отговор: Средният успех на 6А клас е 4,56, а на 6Б клас е 4,65.

б)

Допълваме изреченията:

В 6А клас има повече отлични оценки. В 6Б клас има по-малко тройки. 6Б клас има по-висок среден успех. Като цяло, може да кажем, че 6Б клас се е представил по-добре.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание