Самоподготовка по Математика за
7 клас

Разлагане на многочлени на множители

Съдържание на темата:

Първи модул.
Втори модул.

Теория

Тест – 7 клас

ПЪРВИ МОДУЛ

ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР

Критерии за оценяване

Вярното разлагане на израза 16x²y³ – 8xy² – 12x³y⁴ е:
- А)4x²y²(4y – 2 – 12xy²)
- Б)xy(16xy² – 8y² – 12xy²)
- В)4xy²(4xy – 2 – 3x²y²)
- Г)4xy²(4xy – 2y – 3x²y²)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Изнесете общ множител пред скоба.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Изнасяме общ множител пред скоба:
  16x²y³ – 8xy² – 12x³y⁴ = 4xy²(4xy – 2 – 3x²y²).
- Верен отговор В).

Вярното разлагане на многочлена x⁴y⁵ – 2x⁴y⁶ на множители е:
- А)x⁴y⁴(1 – 2y)
- Б)x⁴y⁴(2y⁴ – 1)
- В)– x⁴y⁴(2y² – 1)
- Г)– x⁴y⁵(2y – 1)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Изнесете общ множител пред скоба.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Изнасяме общ множител пред скоба:
  x⁴y⁵ – 2x⁴y⁶ = – x⁴y⁵(–1 + 2y) = – x⁴y⁵(2y –1).
- Верен отговор Г).

Изразът 9a² – 12a + 4 в разложен вид е:
- А)(3a + 2)(3a – 2)
- Б)(2 – 3a)²
- В)(3a + 2)²
- Г)(3a + 4)(3a + 1).
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разложете на множители с помощта на формулата (a – b)².

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Разлагаме на множители с помощта на формула (2):
  9a² – 12a + 4 = (3a)² – 2.3a.2 + 2² = (3a – 2)² = (2 – 3a)².
- Верен отговор Б).

Изразът x² – в разложен вид е:
- А)
- Б)
- В)
- Г)не се разлага
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разложете на множители с помощта на формулата a² – b².

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Разлагаме на множители с помощта на формула (5):
  .
- Верен отговор А).

Многочленът (2x – 4)² – (– 4)² се разлага на множители:
- А)4x² – 16x
- Б)4x(x – 4)
- В)2x(x – 4)
- Г)не се разлага
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разложете на множители с помощта на формулата a² – b².

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Разлагаме на множители с помощта на формула (5):
  (2x – 4)² – (– 4)² = (2x – 4 – 4)(2x – 4 + 4) = (2x – 8)2x = 4x(x – 4).
- Верен отговор Б).

Разлагането на многочлена 3a(a – 1) + 2(a – 1) на множители е:
- А)(a – 1)(3a – 2)
- Б)(a – 1)(2 – 3a)
- В)(a + 1)(2 – 3a)
- Г)(a – 1)(2 + 3a)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Изнесете общ множител пред скоба.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Изнасяме общ множител пред скоба:
  3a(a – 1) + 2(a – 1) = (a – 1)(3a + 2).
- Верен отговор Г).

Кое разлагане на многочлена 15ab + 2 – 3a – 10b на множители е вярно?
- А)(3a + 2)(5b – 1)
- Б)(3a + 2)(1 + 5b)
- В)(1 – 5b)(2 – 3a)
- Г)(3a – 2)(5b + 1)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разложете на множители чрез групиране, като групирате Първо с Трето, и Второ с Четвърто.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Решаваме чрез групиране, като от Първо и Трето изнасяме 3a, а от Второ и Четвърто изнасяме – 2:
  15ab + 2 – 3a ̵ 10b = 3a(5b – 1) – 2(5b – 1) = (5b – 1)(3a – 2).
- От двете скоби изнасяме – 1 и получаваме верен отговор B).

Изразът 5x(x – y) + y(y – x) в разложен вид е:
- А)(5x – y)(y – x)
- Б)(5x – y)(x – y)
- В)(5x + y)(x – y)
- Г)(5x + y)(y – x)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От вторият едночлен изнесете – 1;
2. Изнесете пред скоба израза (x – y).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Разлагаме на множители чрез изнасяне на общ множител пред скоба:
  5x(x – y) + y(y – x) = 5x(x – y) – y(x – y) = (x – y)(5x – y).
- Верен отговор Б).

Кое от посочените равенства е тъждество?
- А)(9x – 5)² = 81x² – 25
- Б)(3x + 8)² = 3x² + 48x + 64
- В)(x – 5)(x² + 5x + 25) = x³ – 125
- Г)(x – y)³ = 9 – y³
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте подходяща формула за съкратено умножение.

Отговорът е верен.

Вижте решение

Решение:

Само отговор В) отговаря на формулите за съкратено умножение (формула 7).

Стойността на израза 47² – 2.47.53 + 53² е равна на:
- А)6
- Б)36
- В)100
- Г)10 000
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разложете на множители с помощта на формулата (a – b)².

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Разлагаме на множители с помощта на формула (2):
  47² – 2.47.53 + 53² = (47 – 53)² = (–6)² = 36.
- Верен отговор Б).

Критерии за оценяване

Многочленът x⁶y⁶ – 2x³y³ + 1 е:
- А)точен куб
- Б)точен квадрат
- В)сбор от квадрати
- Г)разлика от кубове
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте формулата (a – b)².

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Прилагаме формула (2):
  x⁶y⁶ – 2x³y³ + 1 = (x³y³)² – 2x³y³ + 1= (x³y³ – 1)².
- Верен отговор Б).

Изразът 3x² – 6x + 3 се разлага на множители:
- А)(3 – 3x)²
- Б)3(1 + x)²
- В)3(1 – x)²
- Г)(3x + 1)²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Изнесете 3 пред скоба.
2. Използвайте формула (2).
3. Използвайте формула (8).
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Изнасяме общ множител пред скоба и прилагаме формула (8):
  3x² – 6x + 3 = 3(x² – 2x + 1) = 3(x – 1)² = 3(1 – x)².
- Верен отговор В).

Стойността на израза е:
- А)–
- Б)–
- В)
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разложете на множители числител и знаменател като използвате формули (1) и (5).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Разлагаме на множители числител и знаменател с помощта на формули (1) и (5):
  = – .
- Верен отговор А).

Разлагането на многочлена (a – 4)² – 9(a + 2)² на множители е:
- А)(2a – 1)(a + 5)
- Б)– 4(a + 5)(2a + 1)
- В)4(a + 5)(1 + 2a)
- Г)4(a – 5)(1 + 2a)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Разложете на множители като използвате формула (5).

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Разлагаме на множители като използваме формулата a² – b²:
  (a – 4)² – 9(a + 2)² = (a – 4 – 3a – 6)(a – 4 + 3a + 6) = (–2a – 10)(4a + 2) = –4(a + 5)(2a + 1).
- Верен отговор Б).

Разлагането на многочлена x² + 2xy + y² – 64 на множители е:
- А)(x + y + 8)²
- Б)(x + y – 8)(x + y + 8)
- В)(x – y – 8)(x – y + 8)
- Г)(x + y – 8)²
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Групирайте 1, 2 и 3, и приложете подходяща формула.
2. За да разложите на множители приложете формулата a² – b².
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Групираме Първо, Второ и Трето събираемо, и прилагаме формула (1):
  x² + 2xy + y² – 64 = (x + y)² – 64.
- Разлагаме на множители с помощта на формулата a² – b²:
  (x + y)² – 64 = (x + y)² – 8² = (x + y – 8)(x + y + 8).
- Верен отговор Б).

Изразът (x + 5)³ – 36(x + 5) НЕ е тъждествено равен на:
- А)(x + 5)[(x + 5)² – 36]
- Б)(x + 5)(x + 5 – 6)(x + 5 + 6)
- В)(x + 5)(x – 1)(x + 11)
- Г)(x + 5)(x² + 10 – 11)
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Изнесете пред скоба еднаквите многочлени.
2. Приложете формулата a² – b².
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Изнасяме пред скоба общия множител (x + 5) и получаваме отговор А), т.е.:
  (x + 5)³ – 36(x + 5) = (x + 5)[(a + 5)² – 6²].
- Прилагаме формулата a² – b² и получаваме отговор Б), т.е.:
  (x + 5)[(a + 5)² – 6²] = (x + 5)(x + 5 – 6)(x + 5 + 6).
- Извършваме приведение в скобите и получаваме отговор В), т.е.:
  (x + 5)(x + 5 – 6)(x + 5 + 6) = (x + 5)(x – 6)(x + 11).
- Само отговор Г) не може да се получи при тъждествени преобразования. Това е търсеният отговор.
- Верен отговор Г).

ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР

Отговорите на задачи 17. – 20. запишете на съответните места в листа с отговори.

Ако a – b = 3 и a.b = 10, колко е стойността на израза a² + b²?

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте формула (14).

Вижте решение
Решение:
- Прибавяме и изваждаме едно и също число (числото 2ab) и прилагаме формула (2):
  a² + b² = a² – 2ab + b² + 2ab = (a – b)² + 2ab.
- Заместваме с даденото a – b = 3 и a.b = 10:
  (a – b)² + 2ab = 3² + 2.10 = 9 + 20 = 29.
- Отговор a² + b² = 29.
Критеории за ценяване

За верен отговор – 8 точки.

Намерете числената стойност на израза при x = – 13.

Вижте упътване
Упътване:
1. Преобразувайте числителя по формулата a³ – b³.
2. Заместете с дадената стойност на х.
Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме числителя с формула (7):
  = 3 – x.
- Заместваме с x = – 13:
  3 – (–13) = 3 + 13 = 16.
- Отговор: Търсената стойност е 16.
Критерии за оценяване

За верен отговор – 5 точки.

Дадени са многочлените:

(A): x² – 9, (B): 4x³ – 4, (C): 3x² + 18x + 27, (D): (x + 1)² – 4 и (E): (x – 2)³ + (2 – x)².

В таблицата по-долу срещу множителите (x + 3) и (x – 1) запишете онези многочлени, в чието разлагане съответният израз може да участва.

Множител	Многочлени
x + 3
x – 1

Вижте упътване

Вижте решение

Критерии за оценяване

Ако 2x + y = 5 и 4x² + y² = 17, намерете стойността на израза xy.

Вижте упътване

Упътване:

Повдигнете на квадрат двете страни на израза 2x + y = 5 и от полученото равенство намерете x.y.

Вижте решение
Решение:
- Повдигнете на квадрат двете страни на израза 2x + y = 5 и получаваме:
  (2x + y)² = 5² 4x² + 4xy + y² = 25 4xy + (4x² + y²) = 25 4xy + 17 = 25 4xy = 8 xy = 2.
- Отговор: Търсената стойност е 2.
Критерии за оценяване

За верен отговор – 7 точки.

ВТОРИ МОДУЛ

Отговорите на задачи 21. и 22. запишете на съответните места в листа с отговори.

На мястото на Q поставете едночлени така, че равенството да е тъждество:
(4x + Q)(Q – Q + Q) = Q + 27y³.

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте формула (6).

Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме даденото равенство:
  (4x + Q)(Q – Q + Q) = Q + 27y³ (4x + Q)(Q – Q + Q) = (4x)³ + (3y)³.
- Използваме формула (6):
  (4x + Q)(Q – Q + Q) = (4x)³ + (3y)³ (4x + 3y)(16x² – 12xy + 9y²) = 64x³ + 27y³.
Критерии за оценяване
- За всяка вярна стойност на Q по 1 точка.
- Общо 5 точки.

Даден е израза: .
а) Преобразувайте израза А като тези преобразования ги запишете в листа с отговори.

б) Намерете числената стойност на израза А.

Вижте упътване
Упътване:
1. За първата дроб приложете формула (7).
2. За второто събираемо приложете формула (5).
Вижте решение

Решение:

а) Използваме формули (7) и (5):

.

б) Намираме числената стойност на А:

A = .

Критерии за оценяване
- За правилно приложени формули (7) и (5) – по 1 точка.
- За съкращенията в първата дроб и получаване на израз за А – 1 точка.
- За получаване на стройността A = – 2 точки.
- Общо 5 точки.

На задачи 23. и 24. запишете пълните решения с необходимите обосновки.

Намерете числената стойност на израза A = при .

Вижте упътване

Упътване:

Разложете израза А на множители като използвате комбинация от различните методи.

Вижте решение
Решение:
- Намираме x:
- Преобразуваме А:
  A = .
- При x = 16 намираме A:
  A = = 7.
- Отговор: Търсената стойност е A = 7.
Критерии за оценяване
- За намиране на x = 16 – 5 точки.
- За получаване на A = – 3 точки.
- За получаване на A = 7 – 2 точки.
- Общо 10 точки.

Ако x = , намерете стойността на израза B = .

Вижте упътване

Упътване:

Разложете израза B на множители като използвате комбинация от различните методи.

Вижте решение
Решение:
- Намираме х като използваме формулата a² – b² и правим приведение:
  x = = 40.
- Преобразуваме В като използваме формула a³ – b³ и съкращаваме получената дроб:
  B = = 2x – 1.
- При x = 40 намираме B:
  B = 2.40 – 1 = 80 – 1 = 79.
- Търсената стойност е B = 79.
Критерии за оценяване
- За намиране на x = 40 – 3 точки.
- За получаване на B = 2x – 1 – 5 точки.
- За намиране числената стойност на В – 2 точки.
- Общо 10 точки.