Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
7 клас

Вие сте тук:   || Неравенства. Неравенства в триъгълник - теория


Неравенства. Неравенства в триъгълник

  Решени тестови задачи


Теория

  • Числови неравенства

    О – Два числови израза, свързани с един от знаците <, >, ≤ или ≥ образуват числово неравенство.

    1. Ако a < b, то b > a.

      ПРИМЕР: Ако –3 < 5, то 5 > –3.

    2. Ако a < b и b < c, то a < c.

      ПРИМЕР: Ако –3 < 5 и 5 < 9, то –3 < 9.

    3. Еднопосочните неравенства събираме почлено, т.е. събираме поотделно левите и десните им страни, като в резултата поставяме същия знак, както е в условието, т.е.

      ПРИМЕР:

      БЕЛЕЖКА: Еднопосочните числови неравенства могат само да се събират, НО НЕ МОГАТ ДА СЕ ИЗВАЖДАТ.

    4. Ако към двете страни на вярно числово неравенство прибавим (или извадим) едно и също число, то отново се получава вярно неравенство, т.е.

      Ако: a < b | + c, то a + c < b + c или a < b | – c, то a – c < b – c.

      ПРИМЕР: –4 < 5 | + 3 – 1 < 8 или – 4 < 5 | – 3 – 7 < 2.

    5. Ако двете страни на вярно числово неравенство умножим (или разделим) с:
      • положително число, се получава вярно неравенство.

        Т.е. Ако c > 0 и a < b | . c, то a.c < b.c.

        ПРИМЕР: –4 < 5 | . 3 – 12 < 15.

      • отрицателно число и сменим посоката на неравеството, се получава вярно неравенство.

        Т.е. Ако c < 0 и a < b | . c, то a.c > b.c.

        ПРИМЕР: – 4 < 5 | . (– 3) 12 > –15.

  • Неравенство с едно неизвестно

    О – Неравенство между изрази с една променлива се нарича неравенство с едно неизвестно.

  • Еквивалентни неравенства

    О – Две неравенства, които имат едни и същи решения или и двете нямат решение.

    Теорема 1 (теорема за прехвърляне) – Всеки член на неравенството може да се прехвърли от едната страна на неравенството в другата му страна с обратен (противоположен) знак.

    ПРИМЕР: 3x –5 < 1 3x < 1 + 5.

    Теорема 2 (теорема за заместване) – В едно неравенство всеки израз може да се замести с тъждествено равен на него израз.

    ПРИМЕР: –2(x + 1) < x –2x –2 < x.

    Теорема 3 (теорема за умножение или делене с число) – Ако двете страни на неравенството се умножат или разделят c:

    • положително число, т.е. c > 0, се получава неравенство, еквивалентно на даденото.

      ПРИМЕР: 8x > 2|:2 4x > 1.

    • отрицателно число, т.е. c < 0 и се смени посоката на неравенството, се получава неравенство, еквивалентно на даденото.

      ПРИМЕР: 2x < 5|.(–1) 2x > –5.

  • Линейно неравенство с едно неизвестно

    О – Неравенство от вида ax + b < 0 или ax + b > 0, където x е неизвестното число (променлива), a и b са числа (константи), се нарича линейно неравенство с едно неизвестно.

    Правило

    Преобразуваме неравенството до вида ax > b или ax < b:

    1. Ако имаме скоби ги разкриваме.
    2. Ако имаме знаменател привеждаме под общ знаменател и двете страни на неравенството.
    3. Прехвърляме неизвестните от едната страна на неравенството, а известните от другата страна и извършваме приведение.
    4. Продължаваме в зависимост от коефициента a:
      • Ако числото a > 0, при неравенство ax > b решенията са x > , а при неравенство ax < b решенията са x < .
      • Ако числото a < 0, при неравенство ax > b решенията са x < , а при неравенство ax < b решенията са x > .
      • Ако числото a = 0 неравенствата приемат вида 0x > b или 0x < b), тогава решаването на неравенството става чрез разсъждения, при които се проверява дали съответното числово неравенство е вярно, или не е вярно.

        ПРИМЕРИ:

        а) Неравенството е 0x > 5. Числовото неравенство 0 > 5 не е вярно. Следователно неравенството няма решение.

        б) Неравенството е 0x < 9. Числовото неравенство 0 < 9 е вярно. Следователно всяко х е решение на неравенството.

        в) Неравенството е 0x ≥ 0. Числовото неравенство 0 ≥ 0 е вярно. Следователно неравенството има решение за всяко х.

    Пример: Виж Зад. № 6 от теста.

    Ще решим Зад. 23 от изпита през 2016 г.

    Зад. №1:
    В една работилница майстор и чирак изработват еднакви чашки. Майсторът изработва по 60 чашки за 1 час. За да изработят един и същ брой чашки, на чирака е нужно с 25% повече време, отколкото на майстора.

    Пречертайте и попълнете липсващите данни в таблицата и обосновете отговорите си.

      Време за изработване на 60 чашки
    (в минути)
    Брой чашки, изработени за
    1 час
    Майстор   60
    Чирак    

    Един ден майсторът започнал сам работа в 8:00 часá. След известно време, машината се развалила. Ремонтът продължил 4 чáса. След ремонта започнал да работи само чиракът и изработил толкова чашки, колкото е изработил майсторът преди да се развали машината. Най-много по колко чашки е изработил всеки от тях, ако чиракът е приключил работа не по-късно от 18:00 часá?

    Решение:

    Попълваме таблицата:

    • Превръщаме даденото време в минути – 1 h = 60 min, т.е. майсторът изработва 60 чашки за 60 минути.
    • От условието намираме времето за което чиракът изработва 60 чашки:
      60 + 25% от 60 = 60 + 0,25 . 60 = 75 минути.
    • Нека да имаме следните означения: Ам, Nм, tм – работата, производителност (работа извършена за 1 час), време на майстора, Ач, Nч, tч – работата, производителност, време на чирака.
    • Превръщаме минутите в часове:
      tч = 75 min = 75 : 60 = h.
    • По условие имаме Ач = Ам = 60.
    • Използваме формула (2), за да намерим Nч – производителността на чирака:
      Ач = Nч . tч 60 = Nч . Nч = 60 : = 60 . = 48, т.е. за 1 час чиракът изработва 48 чашки.
    • Попълваме таблицата:
        Време за изработване на 60 чашки
      (в минути)
      Брой чашки, изработени за
      1 час
      Майстор 60 60
      Чирак 75 48

    Решаваме последната част от задачата.

    • В условието на задачата е споменато количеството работа. Съставяме таблица от 3 колонки, в които нанасяме величините Ам, Nм, tм, Ач, Nч, tч:
      • Нанасяме ясно дадените величини, а това са: Nм = 60 чашки, Nч = 48 чашки.
      • Въвеждаме неизвестното x – По условие имаме, че работата извършена от двамата е една и съща, т.е. Ам = Ач = x.
          N
        [чашки]
        t
        [дни]
        A
        Майстор 60 tм = x
        Чирак 48 tч = x
      • Прилагаме формула (2) и изчисляваме времето за работа на всеки от тях:
        Ам = Nм . tм x = 60 . tм tм = ;
        Ач = Nч . tч x = 48 . tч tч = .
    • Нека времето за ремонт да отбележим с tпрестой.
    • От условието следва, че работата е продължила 10 чáса (защото са започнали работа в 8:00 часá и са приключили в 18:00 часá).
    • Съставяме неравенството, като изравним времената, защото в колонката за времето сме приложили формула (2):
      tм + tч + tпрестой ≤ 10 + 4 ≤ 10 x ≤ 160.
    • Отговор: Всеки от двамата е изработил най-много по 160 чашки.
  • Параметрични неравенства

    О – Неравенство, което освен неизвестното, съдържа и параметри (букви, които могат да приемат различни стойности, но са постоянни за дадената задача).

    Правило

    Общият вид на параметрично линейно неравенство с едно неизвестно е Ax > B или Ax < B, където А и В са изрази, поне един от които съдържа параметър.

    • Ако А не съдържа параметър, то неравенството е линейно, т.е. решенията му са x > или x < .

      ПРИМЕР: Да се реши неравенството 3.x ≥ a x ≥ .

    • Ако А съдържа параметър, тогава разглеждаме три случая:

      I случай: При А > 0, неравенството A.x < B има решение x < .

      II случай: При А < 0, неравенството A.x < B има решение x > .

      III случай: При А = 0, решенията на неравенството зависят от В:

      1. Ако В > 0, неравенството Ax < B има решение всяко х, а неравенството Ax > B няма решение.
      2. Ако В < 0, неравенството Ax < B няма решение, а неравенството Ax > B има решение всяко х.
      3. Ако В = 0, неравенствата Ax < B и Ax > B нямат решение, а неравенствата Ax ≤ B и Ax ≥ B имат решение всяко х.
    • ПРИМЕР:

      Да се реши неравенството a.x ≤ 3: Коефициента пред неизвестното х зависи от параметъра затова разглеждаме случаите:

      I случай: При a > 0, неравенството има решение x ≤ .

      II случай: При a < 0, неравенството има решение x ≥ .

      III случай: При a = 0, неравенството е 0.x ≤ 3, което е вярно за всяко х.

    Пример: Виж Зад. № 18 от теста.

  • Неравенства на триъгълника

    Теорема 1: – В триъгълник срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл.

    Теорема 2: – В триъгълник срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна.

    Теорема признак 1: Триъгълник със страни a, b и c съществува, ако всяка страна е по-малка от сбора на другите две.

    Теорема признак 2: Триъгълник със страни a, b и c съществува, ако всяка страна е по-голяма от разликата на другите две.

    Теореми свойства:

    1. В триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две, т.е.
      a < b + c
      b < a + c
      c < a + b.

      БЕЛЕЖКА: Достатъчно е тази проверка да се направи само за най-голямата страна в триъгълника.

    2. Всяка страна е по-голяма от разликата на останалите две, т.е.
      a > c – b
      b > c – a
      c > b – a.

      БЕЛЕЖКА: Достатъчно е тази проверка да се направи само за най-малка страна в триъгълника.

    Пример: Виж Зад. № 8 и № 9 от теста.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание