Лого за уроци по математика

Самоподготовка по Математика за
7 клас

Вие сте тук:   || Еднакви триъгълници - теория


Еднакви триъгълници

  Решени тестови задачи


Теория

  • Признаци за еднаквост на триъгълници

    О – Два триъгълника са еднакви, ако съответните страни са равни и съответните ъгли са равни.

    TП – Два триъгълника са еднакви, ако две страни и ъгъл заключен между тях от един триъгълник са съответно равни на две страни и ъгъл заключен между тях от друг триъгълник.

    От чертежа, ако AB = A1B1, AC = A1C1 и BAC = B1A1C1, то ΔABC ≅ ΔA1B1C1.

    TП – Два триъгълника са еднакви, ако страна и два ъгъла от един триъгълник са съответно равни на страна и два ъгъла от друг триъгълник.

    От чертежа, ако AB = A1B1, BAC = B1A1C1 и ABC = A1B1C1, то ΔABC ≅ ΔA1B1C1.

    TП – Два триъгълника са еднакви, ако три страни от един триъгълник са съответно равни на три страни от друг триъгълник.

    От чертежа, ако AB = A1B1, BC = B1C1 и AC = A1C1, то ΔABC ≅ ΔA1B1C1.

    TП – Два правоъгълни триъгълника са еднакви, ако катет и хипотенуза от един триъгълник са съответно равни на катет и хипотенуза от друг триъгълник.

    От чертежа, ако BC = B1C1 и AB = A1B1, и ACB = A1C1B1 = 90°, то ΔABC ≅ ΔA1B1C1.

  • Симетрала на отсечка

    О – Права, която минава през средата на отсечката и е перпендикулярна на нея.

    TП 1 – Всяка точка, която се намира на равни разстояния от краищата на една отсечка, е точка от симетралата на отсечката.

    TП 2 – Ако две точки са на равно разстояние от краищата на една отсечка, то правата която ги свързва е симетрала на отсечката.

    TСВ – Всяка точка от симетралата на една отсечка е на равни разстояния от краищата на отсечката.

  • Ъглополовяща на ъгъл

    О – Отсечката, която дели съответният ъгъл на две равни части.

    TП – Ако вътрешна точка на ъгъл е на равни разстояния от раменете му, то точката лежи на ъглополовящата на ъгъла.

    TСВ – Всяка точка от ъглополовящата на ъгъл се намира на равни разстояния от раменете на ъгъла.

  • Равнобедрен триъгълник

    О – Триъгълник, на който две от страните са равни.

    TП 1 – Ако в един триъгълник два ъгъла са равни, то той е равнобедрен.

    TП 2 – Ако два от елементите височина, медиана и ъглополовяща, построени от един връх на триъгълника, съвпадат, то триъгълникът е равнобедрен.

    TСВ 1 – В равнобедрен триъгълник ъглите при основата са равни.

    TСВ 2 – В равнобедрен триъгълник медианата, ъглополовящата и височината през върха срещу основата съвпадат и лежат върху симетралата на основата, т.е. медиана, ъглополовяща, височина и симетрала към основата съвпадат.

  • Равностранен триъгълник

    О – Триъгълник, на който и трите страни са равни.

    TП 1 – Ако трите ъгъла на един триъгълник са равни, то той е равностранен.

    TП 2 – Всеки равнобедрен триъгълник с ъгъл 60° е равностранен.

    TП 3 – Ако два от елементите височина, медиана и ъглополовяща, построени от всеки връх на триъгълника, съвпадат, то триъгълникът е равностранен.

    TСв 1 – В равностранен триъгълник трите ъгъла са равни на 60°.

    TСв 2 – В равностранен триъгълник медианата, ъглополовящата и височината през всеки връх съвпадат и лежат върху симетралата на съответната страна, т.е. медиана, ъглополовяща, височина и симетрала към всяка страна съвпадат.

  • Разстояние
    • между две точки (Фиг. 1) – Разстоянието между две точки е разстоянието измерено по правата, която ги свързва. Например, на Фиг. 1 разстоянието между т. А и т.В е отсечката AB = n.
    • от точка до права (Фиг. 2) – Дължината на перпендикуляра MN = m се нарича разстояние от т. M до правата a.
    • между две успоредни прави (Фиг. 3) – Разстоянието от коя да е точка от едната права c до другата права b. Например, на Фиг. 3 това са отсечките CD = EF = PQ = d.
  • Правоъгълен триъгълник

    Теорема 1 – Катетът, лежащ срещу ъгъл 30° в правоъгълен триъгълник, е равен на половината от хипотенузата.

    В ΔABC (C = 90°) от B = 30° b = c (c = 2b).

    Теорема 2 – Ако в правоъгълен триъгълник катет е равен на половината от хипотенузата, то ъгълът срещу него е 30°.

    В ΔABC (C = 90°) от b = c (c = 2b) B = 30°.

    Теорема 1 – Ако в триъгълник медианата към една страна е равна на половината от нея, то ъгълът срещу тази страна е прав, т.е. триъгълникът е правоъгълен.

    Ако AM = BM = CM, то ΔABC (C = 90°).

    Теорема 2 – Медианата към хипотенузата в правоъгълен триъгълник е равна на половината от хипотенузата.

    Ако ΔABC (C = 90°), то AM = BM = CM.

  • Основни задачи
    Зад. №1:
    Да се докаже, че в правоъгълен триъгълник медианата към хипотенузата разделя триъгълника на два равнобедрени триъгълника.
    • Нека СМ – медиана в ΔABC (C = 90°) MC = AM = BM, т.е. MAC = MCA = α и MBC = MCB = α или ΔAMC и ΔBMC са равнобедрени.
    Зад. №2:
    В ΔABC имаме дадено: AB = 2a, BC = a и ABC = 60°. Да се докаже, че C = 90°.
    • Построяваме СМ – медиана в ΔABC, тогава AM = BM = BC = a.
    • В ΔMBC имаме: BM = BC и MBC = 60° ΔMBC – равностранен, т.е. MCB = BMC = 60°.
    • AMC – външен за ΔMBC AMC = MCB + MBC = 60° + 60°, т.е. AMC = 120°, но ΔAMC – равнобедрен (AM = MC = a) 2ACM + AMC = 180° 2ACM + 120° = 180° ACM = 30°.
    • ACB = ACM + MCB = 30° + 60° = 90° ACB = 90°.
    Зад. №3:
    Докажете, че в правоъгълен триъгълник с остър ъгъл 15°, височината към хипотенузата е четири пъти по-малка от хипотенузата.

    Пример: Виж Зад. № 16 от теста.

    Зад. №4:
    Докажете, че ако симетралите на две от страните в един триъгълник се пресичат върху третата му страна, то триъгълникът е правоъгълен.
    • т.P sAC AP = CP, т.е. PAC = ACP = α.
    • т.P sBC BP = CP, т.е. PBC = PCB = β. Тогава
      (1): ACB = ACP + PCB = α + β.
    • От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC α + β + ACB = 180° и от (1) α + β + α + β = 180° 2α + 2β = 180° 2(α + β) = 180° α + β = 90°.
    • Заместваме в (1) и получаваме ACB = α + β = 90°, т.е. ΔABC – правоъгълен.

    Пример: Виж Зад. № 10 от теста.

    Зад. №5:
    а) Ъглополовящите на външните ъгли при върховете В и С на ΔАВС се пресичат в точка О. Да се докаже, че АО е ъглополовяща на BAC.

    б) Вътрешната ъглополовяща при върха А и външната ъглополовяща при върха В на ΔАВС се пресичат в точка О. Да се намери AOB, ако ACB = γ.

    а) Виж Фиг. 1.

    • Нека OE, OP и OQ са перпендикулярите спуснати от точка О съответно към AB, BC и AC.
    • От BO – ъглополовяща на CBE (1): OE = OP.
    • От CO – ъглополовяща на BCQ (2): OQ = OP.
    • От (1) и (2) OE = OQ и по Теорема-признак за ъглополовяща АО – ъглополовяща на BAC.

    б) Виж Фиг. 2.

    • АО – ъглополовяща на BAC CAO = OAB = α1.
    • CBD – външен за ΔABC, тогава
      CBD = BAC + ACB = 2α1 + γ.
    • ОВ – ъглополовяща на CBD CBO = DBO = n = CBD = (2α1 + γ) = α1 + .
    • DBO – външен за ΔABO DBO = BAO + AOB α1 + = α1 + x, т.е. x = AOB = .

    Пример: Виж Зад. № 22 от Общ тест.

    Зад. №6:
    Даден е равнобедреният остроъгълен ΔABC (AC = BC) с основа AB. Да се докаже, че:

    а) Височините AH1 и BH2 към бедрата са равни и ΔAHB е равнобедрен, където точка Н е пресечна точка на AH1 и BH2.

    б) Ъглополовящите AL1 и BL2 към бедрата са равни и ΔALB е равнобедрен, където точка L е пресечна точка на AL1 и BL2.

    в) Медианите AM1 и BM2 към бедрата са равни и ΔAMB е равнобедрен, където точка M е пресечна точка на AM1 и BM2.

    а) Виж Фиг. 1.

    • ΔABH1 ≅ ΔABH2 по ІІ признак, защото:
      1. H1 = H2 = 90° – по условие;
      2. AB – обща;
      3. ABH1 = BAH2 – по условие.
    • От ΔABH1 ≅ ΔABH2 следва, че: AH1 = BH2 ABH2 = BAH1, т.е. ΔABH – равнобедрен.

    б) Виж Фиг. 2.

    • ΔABC – равнобедрен и AL1 и BL2 ъглополовящи към бедрата ABL2 = BAL1, т.е. ΔABL – равнобедрен.
    • ΔABL1 ≅ ΔABL2 по ІІ признак, защото:
      1. ABL2 = BAL1 – по доказателство;
      2. AB – обща;
      3. ABL1 = BAL2 – по условие.
    • От ΔABH1 ≅ ΔABH2 следва, че: AL1 = BL2.

    в) Виж Фиг. 3.

    • AC = BC и т.М1 и т. М2 среди съответно на ВС и АС AM2 = AM1.
    • ΔABM1 ≅ ΔABM2 по І признак, защото:
      1. AM2 = BM1 – по доказателство;
      2. AB – обща;
      3. ABM1 = BAM2 – по условие.
    • От ΔABM1 ≅ ΔABM2 следва, че: AM1 = BM2 ABM2 = BAM1, т.е. ΔABM – равнобедрен.

    Пример: Виж Зад. № 17 от Национално външно оценяване за 7 клас от 2011 г.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Тестове за самоподготовка


Към всяка тема от учебника имаме разработени тестове. Опитайте се да ги решите сами. Ако не успеете, обадете ни се на имейла. Ние ще ви помогнем.

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

тестове по математика

Тестове от изпити


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Физика от Матура


Решили сме тестовете давани на Матура по Физика и НВО (национално външно оценяване) по Физика през последните няколко години.

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка по математика за 7 клас   http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm   http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm   http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Свържете се с нас:

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание