ПЪРВИ МОДУЛ
ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР
Критерии за оценяване
Верният отговор на всяка задача от 1 до 10 включително се оценява с по 2 точки.
- За ΔABC с ъгли α, β и γ е дадено, че α е два пъти по-голям от β, а β е три пъти по-малък от γ. Триъгълникът е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Отбелязваме ъгъл β с х (защото той е най-малък). Тогава от условието
следва,че α = 2x, γ = 3x.
- От Теорема за сбор на вътрешни ъгли следва, че
α + β + γ = 180° 2x + x + 3x = 180° x = 30°.
- Ъглите на ΔABC са: α = 2x = 60°, β = x = 30°, γ = 3x = 90°, т.е. триъгълникът е правоъгълен.
- Верен отговор Б).
- В кой от случаите има триъгълник с ъгли:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
- На чертежа големината на BDC е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме Теорема за вътрешни ъгли в ΔABC:
BAC + ABC + ACB = 180° x + x + 4x = 180° x = 30°.I начин:
- За ΔADC BDC е външен BDC = DAC + DCA = x + x = 2x = 2.30° = 60°.
II начин:
- Използваме Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔBDC:
BDC + DCB + DBC = 180° BDC + 3x + x = 180° BDC = 180° – 4x = 180° – 4.30° = 60°.
- Верен отговор В).
- Ъглите в триъгълник са x°, (x + 20)° и (x + 28)°. Най-големият ъгъл на триъгълника е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От Теорема за вътрешни ъгли в триъгълник следва, че
x + x + 20° + x + 28° = 180°, т.е.x = 44°.
- Най-големият ъгъл е x + 28° = 44° + 28° = 72°.
- Верен отговор Б).
- В ΔABC CD е височина, а CL е ъглополовяща. От чертежа определете DCL:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване: Последователно намерете:
- ACB.
- LCB.
- DLC.
- DCL.
Отговорът е верен.
Вижте решение
- В ΔABC CD е височина. На чертежа са дадени зависимости между ъгли. Големината на ABC е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
- От ΔADC намерете х.
- От ΔBDC намерете търсения ъгъл.
Отговорът е верен.
Вижте решение
- От данните на чертежа определете големината на ъгъл β:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
- В ΔABC AD е ъглополовяща и DE || AC. Ако ADE = 32° големината на AED е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
- На чертежа правите a || b, ъгълът x е равен на:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
- Мярката на BAC е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Критерии за оценяване
Верният отговор на всяка задача от 11 до 16 включително се оценява с по 3 точки.
- На чертежа AB е ъглополовяща на EAC и AE || CD. Ъгъл x се изразява чрез γ така:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
- Ако вътрешните ъгли на триъгълник се отнасят както 5 : 7 : 3, то съответните им външни ъгли се отнасят както:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От даденото отношение следва, че α = 5x, β = 7x, γ = 3x.
- От теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC следва, че
α + β + γ = 180° 5x + 7x + 3x = 180°, т.е. x = 12°.
- Тогава α = 5x = 5.12 = 60°, β = 7x = 7.12 = 84°, γ = 3x = 3.12 = 36°.
- Нека α', β' и γ' са външни ъгли при върховете А, В и С, тогава от теорема за съседни ъгли намираме:
α' + α = 180°, т.е. α' = 120°.
β' + β = 180°, т.е. β' = 96°.
γ' + γ = 180°, т.е. γ' = 144°.
- Образуваме отношенията на външните ъгли:
= , т.е. α' : β' = 5 : 4.
, т.е. β' : γ' = 4 : 6.
- Верен отговор А).
- На чертежа ВО и СО са ъглополовящи съответно на C и B, и A = 40°. Големината на BOC е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От основна задача 2 следва, че BOC = 90° + = 90° + 20° = 110°.
- Верен отговор Б).
- На чертежа в ΔABC ВL и BK са ъглополовящи съответно на вътрешния и външния ъгъл при върха B. Градусната мярка на LBK е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- BL и BK са вътрешна и външна ъглополовяща на върха А и затова от Основна задача 1 следва, че отговор А) е верен.
- На чертежа външните ъглополовящи при върховете А и С се пресичат в точка О и AOC = 70°. Мярката на ABC е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- OA и CO са външни ъглополовящи при върховете А и С на ΔABC, тогава от основна задача 3 следва, че AOC = 90° – ABC 70° = 90° – ABC,т.е. ABC = 40°.
- Верен отговор A).
- В ΔABC A : B : C = 5 : 6 : 7 и височините AA1 и BB1 се пресичат в точка Н. Големината на AHB е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От даденото отношение следва, че α = 5x, β = 6x, γ = 7x.
- Използваме Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC:
α + β + γ = 180° 5x + 6x + 7x = 180°; т.е. x = 10°.
- Тогава α = 5x = 5.10° = 50°, β = 6x = 6.10° = 60°, γ = 7x = 7.10° = 70°.
- От Основна задача 4 AHB = 180° – γ = 180° – 70° = 110°.
- Верен отговор Г).
ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР
Отговорите на задачи 17. – 20. запишете на съответните места в листа с отговори.
- Височините AE и CD на ΔABC се пресичат в точка H.
а) Посочете три триъгълника, ъглите на които са равни съответно на ъглите на ΔADH.
б) Ако BAE + ACD = 57°, намерете градусната мярка на CAE.
Вижте упътване
Упътване:
а) Докажете, че ABC = AHD = EHC = β и DAH = HCE = 90° – β.
б) Намерете ACE и след това от ΔАЕС намерете CAE.
Вижте решение
Решение:
а) Нека ABC = β, BAE = x.
- От теорема за вътрешни ъгли в ΔABE следва, че:
BAE + ABE = 90° BAE + β = 90°, т.е.
(1): BAE = x = 90° – β.
- От теорема за вътрешни ъгли в ΔBDC следва, че:
BCD + DBC = 90° BCD + β = 90°, т.е.
(2): BCD = 90° – β.
- От (1) и (2) BAE = BCD = x.
- От теорема за вътрешни ъгли в ΔADH следва, че:
HAD + AHD = 90° AHD = 90° – x, т.е. AHD = β.
- EHC = AHD = β (като връхни ъгли).
- Отговор: Триъгълниците, които имат равни ъгли с ΔADH са: ΔCEH, ΔAEB и ΔCDB.
б) В а) доказахме, че BAE = BCD = x.
- От чертежа и даденото получаваме, че:
ACE = ECD + ACD = BAE + ACD = 57°.
- Прилагаме теорема за вътрешни ъгли в ΔAEC:
CAE + ACE = 90° CAE + 57° = 90° CAE = 90° – 57°, т.е. CAE = 33°.
- Отговор: CAE = 33°.
Критерии за оценяване
а) За всеки верен триъгълник – по 3 точки.
б) За отговор 33° – 3 точки.
Общо 12 точки.
- Точките В и С лежат на раменете на LAM, като BCL = MCL. По данните от чертежа намерете мярката на LAM.
Вижте упътване
Вижте решение
Решение:
- От ABC – външен за ΔBLC следва, че:
BLC + BCL = ABC 17° + BCL = 56° BCL = 39°.
- От LC – ъглополовяща на BCM следва, че:
BCM = 2BCL = 2.39° = 78°.
- От BCM – външен за ΔABC следва, че:
BAC + ABC = BCM BAC + 56° = 78° BAC = 22°.
- Отговор: LAM = 22°.
Критерии за оценяване
За верен отговор – 8 точки.
- На чертежа, AA1 и BB1 са ъглополовящи в ΔABC. Запишете равенство отразяващо връзката между ъгъл x и ъгъл γ1?
Вижте упътване
Вижте решение
Критерии за оценяване
За вярно записано равенство – 12 точки.
- В ΔABC височините CC1 и BB1 се пресичат в точка L и BLC = 119°. Да се намери големината на вътрешният и външният ъгъл при върха А.
Вижте упътване
Вижте решение
Критерии за оценяване
- За получаване на BAC – 4 точки.
- За получаване на ъгъл x – 2 точки.
- Общо – 6 точки.
ВТОРИ МОДУЛ
Отговорите на задачи 21. и 22. запишете на съответните места в листа с отговори.
- Височините AP и BQ в ΔABC се пресичат в точка H. Намерете AHB, ако BAC = 117° и ACB = 23°.
Вижте упътване
Вижте решение
Решение:
- ΔABC – тъпоъгълен и както се вижда от чертежа височината от острия ъгъл B е извън триъгълника.
- Нека търсеният ъгъл да отбележим с х, т.е. AHB = x.
- Използваме Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔBQC:
QCB + CBQ = 90° 23° + CBQ = 90°, т.е. CBQ = 67°.
- Използваме Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔPHB :
PHB + PBH = 90° x + 67° = 90°, т.е. x = 23°.
- Отговор: AHB = 23°.
Критерии за оценяване
За верен отговор – 5 точки.
- Даден е ΔABC, при който външният ъгъл γ' и вътрешният ъгъл γ при върха С са във връзка γ' = 2γ + 43°30'. Ако външните ъглополовящи при върховете A и B се пресичат в точка O, да се намери големината на AOB.
Вижте упътване
Вижте решение
Решение:
- По условие γ' = 2γ + 43°30'.
- Използваме Теорема за съседни ъгли:
γ' + γ = 180° 2γ + 43°30' + γ = 180° 3γ = 136°30', т.е. γ = 45°30'.
- AO и BO – външни ъглополовящи и от Основна задача 3 получаваме:
AOB = 90° – = 90° – = 90° – 22°45' = 67°15'.
- Отговор: AOB = 67°15'.
Критерии за оценяване
- За намиране на γ – 2 точки.
- За намиране на AOB – 3 точки.
- Общо 5 точки.
На задачи 23. и 24. запишете пълните решения с необходимите обосновки.
- Като използвате означенията на чертежа, намерете градусната мярка на ADB.
Вижте упътване
Упътване:
- Изразете BAD чрез х.
- От ΔABC изразете ъгъл y чрез х.
- От ΔABD намерете ADB.
Вижте решение
Решение:
- BAD + 2x = 180° (като съседни ъгли) BAD = 180° – 2x.
- От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC
ABC + BAC + ACB = 180° y + 180° – 2x + x + 33° = 180°, т.е. y – x = – 33°
(1) : y = x – 33°.
- Намираме търсения ъгъл:
- От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABD
ABD + BAD + ADB = 180° 2y + 180° – 2x + ADB = 180° ADB = 2x – 2y = 2(x – y).
- Тогава от (1) ADB = 2[x – (x – 33°)] = 2(x – x + 33°) = 2.33° = 66°.
- Отговор: ADB = 66°.
Критерии за оценяване
- За изразяване на BAD чрез х – 2 точки.
- За изразяване на y чрез х – 3 точки.
- За изразяване на ADB чрез х и y – 3 точки.
- За намиране на ADB – 2 точки.
- Общо 10 точки.
- Даден е триъгълник ΔABC (AC > BC). Ъглополовящите на вътрешния и външния ъгъл при върха С пресичат страната AB и нейното продължение съответно в точките D и E. Ако P и G са пресечните точки на ъглополовящата на BEC съответно с ъглополовящите на EDC и ADC, да се намерят ъглите на ΔPGD.
Вижте упътване
Упътване:
- Използвате Основна зад. 1, за да докажете, че ΔDCE и ΔGDP са правоъгълни.
- От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔDEC намерете сбора от острите ъгли и след това сбора от техните половинки.
- Намерете ъгъл DPG като външен за ΔDPE.
- Използвайте Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔGDP, за да намерите третия му ъгъл.
Вижте решение
Решение:
- CD и CE са ъглополовящи на вътрешния и външния ъгъл при върха С на ΔABC и от Основна Зад. 1DCE = 90°.
- GD и PD са ъглополовящи на вътрешния и външния ъгъл при върха D на ΔEDC и от Основна Зад. 1GDP = 90°.
- Намираме DPG:
- ΔDCE (DCE = 90°) – правоъгълен и от Теорема за сбор на вътрешни ъгли получаваме:
EDC + CED = 90°.
- PD и GE ъглополовящи PDE = EDC и PED = CED.
- PDE + PED = EDC + CED = (EDC + CED) = . 90° = 45°.
- DPQ – външен за ΔDPE DPQ = PDE + PED = 45°.
- От Теорема за сбор на ъгли в ΔGDP получаваме:
DGP + GPD = 90° (защото ΔGDP е правоъгълен) DGP + 45° = 90°, т.е. DGP = 45°.
- Ъглите на ΔGDP са: 45°, 45°, 90°.
Критерии за оценяване
- За чертеж – 2 точки.
- За всеки правилно намерен DCE, GDP, DGP и DGP – по 2 точки.
- Общо 10 точки.