Самоподготовка по Математика за
7 клас

Триъгълник. Ъгли на триъгълник

Съдържание на темата:

Първи модул.
Втори модул.

Теория

Тест – 7 клас

ПЪРВИ МОДУЛ

ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР

Критерии за оценяване

За ΔABC с ъгли α, β и γ е дадено, че α е два пъти по-голям от β, а β е три пъти по-малък от γ. Триъгълникът е:
- А)остроъгълен;
- Б)правоъгълен;
- В)тъпоъгълен;
- Г)не може да се определи;
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Отбележете ъгъл β с х.
2. Намерете ъглите на триъгълника като използвате Теорема за сбор на вътрешните ъгли.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Отбелязваме ъгъл β с х (защото той е най-малък). Тогава от условието
  следва,че α = 2x, γ = 3x.
- От Теорема за сбор на вътрешни ъгли следва, че
  α + β + γ = 180° 2x + x + 3x = 180° x = 30°.
- Ъглите на ΔABC са: α = 2x = 60°, β = x = 30°, γ = 3x = 90°, т.е. триъгълникът е правоъгълен.
- Верен отговор Б).

В кой от случаите има триъгълник с ъгли:
- А)30°, 50°, 80°
- Б)55°, 45°, 100°
- В)55°, 60°, 65°
- Г)30°, 30°, 130°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Проверете за кой отговор се изпълнява Теорема за сбор на вътрешни ъгли.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- Само при отговор В) се изпълнява теоремата за сбор на вътрешни ъгли в триъгълник.
- Верен отговор В).

На чертежа големината на BDC е:
- А)50°
- Б)55°
- В)60°
- Г)65°
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете х като приложите Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC.
2. Използвайте това, че е BDC външен ъгъл за ΔADC.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Използваме Теорема за вътрешни ъгли в ΔABC:
  BAC + ABC + ACB = 180° x + x + 4x = 180° x = 30°.
  I начин:
- За ΔADC BDC е външен BDC = DAC + DCA = x + x = 2x = 2.30° = 60°.
  II начин:
- Използваме Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔBDC:
  BDC + DCB + DBC = 180° BDC + 3x + x = 180° BDC = 180° – 4x = 180° – 4.30° = 60°.
- Верен отговор В).

Ъглите в триъгълник са x°, (x + 20)° и (x + 28)°. Най-големият ъгъл на триъгълника е:
- А)64°
- Б)72°
- В)90°
- Г)105°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теорема за сбор на вътрешни ъгли.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Теорема за вътрешни ъгли в триъгълник следва, че
  x + x + 20° + x + 28° = 180°, т.е.x = 44°.
- Най-големият ъгъл е x + 28° = 44° + 28° = 72°.
- Верен отговор Б).

В ΔABC CD е височина, а CL е ъглополовяща. От чертежа определете DCL:
- А)37°30'
- Б)52°30'
- В)12°50'
- Г)12°30'
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване: Последователно намерете:
1. ACB.
2. LCB.
3. DLC.
4. DCL.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC BAC + ABC + ACB = 180° 65° + 40° + ACB = 180° ACB = 75°.
- CL – ъглополовяща на C LCB = C = 37,5° = 37°30'.
- DLC – външен за ΔLBC DLC = LCB + LBC = 37°30' + 40° = 77°30'.
- От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔDLC DLC + DCL = 90° 77°30' + DCL = 90° DCL = 12°30'.
- Верен отговор Г).

В ΔABC CD е височина. На чертежа са дадени зависимости между ъгли. Големината на ABC е:
- А)60°
- Б)40°
- В)50°
- Г)30°
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От ΔADC намерете х.
2. От ΔBDC намерете търсения ъгъл.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- ΔADC – правоъгълен, т.е. може да използваме кратката теорема за сбор на вътрешни ъгли:
  DAC + ACD = 90° 2x + x = 90° x = 30°.
- От ΔDBC DBC + BCD = 90° DBC + x + 20° = 90° DBC = 40°.
- Верен отговор Б).

От данните на чертежа определете големината на ъгъл β:
- А)70°
- Б)100°
- В)120°
- Г)60°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теоремите за външен ъгъл на триъгълник.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Теорема за съседни ъгли следва, че A + 110° = 180°, т.е. A = 70°.
- От Теорема за външен ъгъл за ΔABC следва, че A + β = 130°, т.е. β = 60°.
- Верен отговор Г).

В ΔABC AD е ъглополовяща и DE || AC. Ако ADE = 32° големината на AED е:
- А)64°
- Б)128°
- В)116°
- Г)не може да се определи
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От DE || AC намерете ъгъл DAC.
2. От АD ъглополовяща намерете ъгъл DAВ.
3. От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔAED намерете ъгъл AED.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От DE || AC следва, че ADE = DAC (като кръстни ъгли), т.е. DAC = 32°.
- AD – ъглополовяща EAD = DAC = 32°.
- От Теорема за сбор на ъгли в ΔAED 32° + 32° + AED = 180°, т.е. AED = 116°.
- Верен отговор В).

На чертежа правите a || b, ъгълът x е равен на:
- А)66°
- Б)52°
- В)54°
- Г)56°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте теоремите за връхни ъгли и външен ъгъл на триъгълник.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Теорема за връхни ъгли следва, че два от ъглите на триъгълника са 66° и x.
- От Теорема за външен ъгъл на триъгълник следва, че:
  66° + x = 120° x = 120° – 66° = 54°.
- Верен отговор В).

Мярката на BAC е:
- А)80°
- Б)50°
- В)40°
- Г)10°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теоремите за съседни ъгли и външен ъгъл на триъгълник.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От Теорема за съседни ъгли намираме:
  ACB = 180° – 90° = 90°.
- От теорема за външен ъгъл на ΔABC получаваме:
  100° = 90° + x x = 100° – 90° = 10°.
- Верен отговор Г).

Критерии за оценяване

На чертежа AB е ъглополовяща на EAC и AE || CD. Ъгъл x се изразява чрез γ така:
- А)90° – γ
- Б)
- В)90° –
- Г)
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте теореми за успоредни прави и сбор на вътрешни ъгли в триъгълник.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От теорема за връхни ъгли AFC = x.
- AE || CD FAE = AFC = x, но AF ъглополовяща на EAC FAC = FAE = x.
- От теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔAFC AFC + FAC + ACF = 180° x + x + γ = 180° 2x + γ = 180° 2x = 180° – γ x = = 90° – .
- Верен отговор В).

Ако вътрешните ъгли на триъгълник се отнасят както 5 : 7 : 3, то съответните им външни ъгли се отнасят както:
- А)5 : 4 : 6
- Б)6 : 8 : 1
- В)8 : 9 : 2
- Г)3 : 7 : 5
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От даденото отношение намерете вътрешните ъгли на триъгълника.
2. Намерете външните ъгли на триъгълника.
3. Намерете отношенията им като ги разделите.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От даденото отношение следва, че α = 5x, β = 7x, γ = 3x.
- От теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC следва, че
  α + β + γ = 180° 5x + 7x + 3x = 180°, т.е. x = 12°.
- Тогава α = 5x = 5.12 = 60°, β = 7x = 7.12 = 84°, γ = 3x = 3.12 = 36°.
- Нека α', β' и γ' са външни ъгли при върховете А, В и С, тогава от теорема за съседни ъгли намираме:
  α' + α = 180°, т.е. α' = 120°.
  β' + β = 180°, т.е. β' = 96°.
  γ' + γ = 180°, т.е. γ' = 144°.
- Образуваме отношенията на външните ъгли:
  = , т.е. α' : β' = 5 : 4.
  , т.е. β' : γ' = 4 : 6.
- Верен отговор А).

На чертежа ВО и СО са ъглополовящи съответно на C и B, и A = 40°. Големината на BOC е:
- А)120°
- Б)110°
- В)80°
- Г)65°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Основна задача 2.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- От основна задача 2 следва, че BOC = 90° + = 90° + 20° = 110°.
- Верен отговор Б).

На чертежа в ΔABC ВL и BK са ъглополовящи съответно на вътрешния и външния ъгъл при върха B. Градусната мярка на LBK е:
- А)90°
- Б)60°
- В)100°
- Г)не може да се определи.
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Основна задача 1.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- BL и BK са вътрешна и външна ъглополовяща на върха А и затова от Основна задача 1 следва, че отговор А) е верен.

На чертежа външните ъглополовящи при върховете А и С се пресичат в точка О и AOC = 70°. Мярката на ABC е:
- А)40°
- Б)55°
- В)50°
- Г)20°
Проверете отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Основна задача 3.

Отговорът е верен.

Вижте решение
Решение:
- OA и CO са външни ъглополовящи при върховете А и С на ΔABC, тогава от основна задача 3 следва, че AOC = 90° – ABC 70° = 90° – ABC,т.е. ABC = 40°.
- Верен отговор A).

В ΔABC A : B : C = 5 : 6 : 7 и височините AA₁ и BB₁ се пресичат в точка Н. Големината на AHB е:
- А)50°
- Б)70°
- В)130°
- Г)110°
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в триъгълник намерете ъглите на ΔABC.
2. За да намерите ъгъл AHB използвайте Основна задача 4.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- От даденото отношение следва, че α = 5x, β = 6x, γ = 7x.
- Използваме Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC:
  α + β + γ = 180° 5x + 6x + 7x = 180°; т.е. x = 10°.
- Тогава α = 5x = 5.10° = 50°, β = 6x = 6.10° = 60°, γ = 7x = 7.10° = 70°.
- От Основна задача 4 AHB = 180° – γ = 180° – 70° = 110°.
- Верен отговор Г).

ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР

Отговорите на задачи 17. – 20. запишете на съответните места в листа с отговори.

Височините AE и CD на ΔABC се пресичат в точка H.
а) Посочете три триъгълника, ъглите на които са равни съответно на ъглите на ΔADH.

б) Ако BAE + ACD = 57°, намерете градусната мярка на CAE.

Вижте упътване

Упътване:

а) Докажете, че ABC = AHD = EHC = β и DAH = HCE = 90° – β.

б) Намерете ACE и след това от ΔАЕС намерете CAE.

Вижте решение
Решение:

а) Нека ABC = β, BAE = x.
- От теорема за вътрешни ъгли в ΔABE следва, че:
  BAE + ABE = 90° BAE + β = 90°, т.е.
  (1): BAE = x = 90° – β.
- От теорема за вътрешни ъгли в ΔBDC следва, че:
  BCD + DBC = 90° BCD + β = 90°, т.е.
  (2): BCD = 90° – β.
- От (1) и (2) BAE = BCD = x.
- От теорема за вътрешни ъгли в ΔADH следва, че:
  HAD + AHD = 90° AHD = 90° – x, т.е. AHD = β.
- EHC = AHD = β (като връхни ъгли).
- Отговор: Триъгълниците, които имат равни ъгли с ΔADH са: ΔCEH, ΔAEB и ΔCDB.
б) В а) доказахме, че BAE = BCD = x.
- От чертежа и даденото получаваме, че:
  ACE = ECD + ACD = BAE + ACD = 57°.
- Прилагаме теорема за вътрешни ъгли в ΔAEC:
  CAE + ACE = 90° CAE + 57° = 90° CAE = 90° – 57°, т.е. CAE = 33°.
- Отговор: CAE = 33°.
Критерии за оценяване

а) За всеки верен триъгълник – по 3 точки.

б) За отговор 33° – 3 точки.

Общо 12 точки.

Точките В и С лежат на раменете на LAM, като BCL = MCL. По данните от чертежа намерете мярката на LAM.

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте Теорема за външен ъгъл за ΔBLC и ΔABC.

Вижте решение
Решение:
- От ABC – външен за ΔBLC следва, че:
  BLC + BCL = ABC 17° + BCL = 56° BCL = 39°.
- От LC – ъглополовяща на BCM следва, че:
  BCM = 2BCL = 2.39° = 78°.
- От BCM – външен за ΔABC следва, че:
  BAC + ABC = BCM BAC + 56° = 78° BAC = 22°.
- Отговор: LAM = 22°.
Критерии за оценяване

За верен отговор – 8 точки.

На чертежа, AA₁ и BB₁ са ъглополовящи в ΔABC. Запишете равенство отразяващо връзката между ъгъл x и ъгъл γ₁?

Вижте упътване
Упътване:
1. От теорема за съседни ъгли изразете ъгъл ACB чрез γ₁.
2. От Основна задача 2 изразете х чрез γ₁.
Вижте решение
Решение:
- От Теорема за съседни ъгли ACB = 180° – γ₁.
- AA₁ и BB₁ са ъглополовящи съответно на A и B и от Основна задача 2 получаваме:
  x = AHB = ACB = 90° + (180° – γ₁) = 180° – .
- Отговор: x = AHB = 180° – .
Критерии за оценяване

За вярно записано равенство – 12 точки.

В ΔABC височините CC₁ и BB₁ се пресичат в точка L и BLC = 119°. Да се намери големината на вътрешният и външният ъгъл при върха А.

Вижте упътване

Упътване:

Използвайте Основна задача 4.

Вижте решение
Решение:
- Използваме Основна задача 4:
  BLC = 180° – BAC 119° = 180° – BAC, т.е. BAC = 61°.
- От Теорема за съседни ъгли следва, че:
  x + BAC = 180° x + 61° = 180°, т.е. x = 119°.
- Отговор: BAC = 61°, x = 119°.
Критерии за оценяване
- За получаване на BAC – 4 точки.
- За получаване на ъгъл x – 2 точки.
- Общо – 6 точки.

ВТОРИ МОДУЛ

Отговорите на задачи 21. и 22. запишете на съответните места в листа с отговори.

Височините AP и BQ в ΔABC се пресичат в точка H. Намерете AHB, ако BAC = 117° и ACB = 23°.

Вижте упътване
Упътване:

ΔABC е тъпоъгълен и затова пресечната точка на височините AP и BQ е извън триъгълника.
1. От Теорема за сбор на ъгли в триъгълник намерете ъгъл ABC.
2. Намерете търсения AHB.
Вижте решение
Решение:
- ΔABC – тъпоъгълен и както се вижда от чертежа височината от острия ъгъл B е извън триъгълника.
- Нека търсеният ъгъл да отбележим с х, т.е. AHB = x.
- Използваме Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔBQC:
  QCB + CBQ = 90° 23° + CBQ = 90°, т.е. CBQ = 67°.
- Използваме Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔPHB :
  PHB + PBH = 90° x + 67° = 90°, т.е. x = 23°.
- Отговор: AHB = 23°.
Критерии за оценяване

За верен отговор – 5 точки.

Даден е ΔABC, при който външният ъгъл γ' и вътрешният ъгъл γ при върха С са във връзка γ' = 2γ + 43°30'. Ако външните ъглополовящи при върховете A и B се пресичат в точка O, да се намери големината на AOB.

Вижте упътване
Упътване:
1. От Теорема за съседни ъгли намерете ъгъл γ.
2. От Основна задача 3 намерете ъгъл AOB.
Вижте решение
Решение:
- По условие γ' = 2γ + 43°30'.
- Използваме Теорема за съседни ъгли:
  γ' + γ = 180° 2γ + 43°30' + γ = 180° 3γ = 136°30', т.е. γ = 45°30'.
- AO и BO – външни ъглополовящи и от Основна задача 3 получаваме:
  AOB = 90° – = 90° – = 90° – 22°45' = 67°15'.
- Отговор: AOB = 67°15'.
Критерии за оценяване
- За намиране на γ – 2 точки.
- За намиране на AOB – 3 точки.
- Общо 5 точки.

На задачи 23. и 24. запишете пълните решения с необходимите обосновки.

Като използвате означенията на чертежа, намерете градусната мярка на ADB.

Вижте упътване
Упътване:
1. Изразете BAD чрез х.
2. От ΔABC изразете ъгъл y чрез х.
3. От ΔABD намерете ADB.
Вижте решение
Решение:
- BAD + 2x = 180° (като съседни ъгли) BAD = 180° – 2x.
- От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC
  ABC + BAC + ACB = 180° y + 180° – 2x + x + 33° = 180°, т.е. y – x = – 33°
  (1) : y = x – 33°.
- Намираме търсения ъгъл:
  - От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABD
    ABD + BAD + ADB = 180° 2y + 180° – 2x + ADB = 180° ADB = 2x – 2y = 2(x – y).
  - Тогава от (1) ADB = 2[x – (x – 33°)] = 2(x – x + 33°) = 2.33° = 66°.
- Отговор: ADB = 66°.
Критерии за оценяване
- За изразяване на BAD чрез х – 2 точки.
- За изразяване на y чрез х – 3 точки.
- За изразяване на ADB чрез х и y – 3 точки.
- За намиране на ADB – 2 точки.
- Общо 10 точки.

Даден е триъгълник ΔABC (AC > BC). Ъглополовящите на вътрешния и външния ъгъл при върха С пресичат страната AB и нейното продължение съответно в точките D и E. Ако P и G са пресечните точки на ъглополовящата на BEC съответно с ъглополовящите на EDC и ADC, да се намерят ъглите на ΔPGD.

Вижте упътване
Упътване:
1. Използвате Основна зад. 1, за да докажете, че ΔDCE и ΔGDP са правоъгълни.
2. От Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔDEC намерете сбора от острите ъгли и след това сбора от техните половинки.
3. Намерете ъгъл DPG като външен за ΔDPE.
4. Използвайте Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔGDP, за да намерите третия му ъгъл.
Вижте решение
Решение:
- CD и CE са ъглополовящи на вътрешния и външния ъгъл при върха С на ΔABC и от Основна Зад. 1DCE = 90°.
- GD и PD са ъглополовящи на вътрешния и външния ъгъл при върха D на ΔEDC и от Основна Зад. 1GDP = 90°.
- Намираме DPG:
  - ΔDCE (DCE = 90°) – правоъгълен и от Теорема за сбор на вътрешни ъгли получаваме:
    EDC + CED = 90°.
  - PD и GE ъглополовящи PDE = EDC и PED = CED.
  - PDE + PED = EDC + CED = (EDC + CED) = . 90° = 45°.
  - DPQ – външен за ΔDPE DPQ = PDE + PED = 45°.
- От Теорема за сбор на ъгли в ΔGDP получаваме:
  DGP + GPD = 90° (защото ΔGDP е правоъгълен) DGP + 45° = 90°, т.е. DGP = 45°.
- Ъглите на ΔGDP са: 45°, 45°, 90°.
Критерии за оценяване
- За чертеж – 2 точки.
- За всеки правилно намерен DCE, GDP, DGP и DGP – по 2 точки.
- Общо 10 точки.