Триъгълник. Ъгли на триъгълник

уроци по математика и Матура по Математика от учебен център „СОЛЕМА”

Главно меню

Тестове

Връзка с нас

Оставете мнение във Facebook

Статистики

Търсене

Собствено Търсене

Реклама Google

Календар и време

Custom Myspace Clock

Програма за Самоподготовка по Математика - 7 клас

e-mail:

solema@gbg.bg

Вие сте тук: Съдържание || Триъгълник. Ъгли на триъгълник || Решени тестови задачи

Триъгълник. Ъгли на триъгълник – Тест:

ПЪРВИ МОДУЛ

Верният отговор на всяка задача от 1 до 10 включително се оценява с 2 точки.

За ΔABC с ъгли α, β и γ е дадено, че α е два пъти по-голям от β, а β е три пъти по-малък от γ. Триъгълникът е:
- А)остроъгълен;
- Б)правоъгълен;
- В)тъпоъгълен;
- Г)не може да се определи;
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Отбележете ъгъл β с х.
2. Намерете ъглите на триъгълника като използвате Теорема за сбор на вътрешните ъгли.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

• Отбелязваме ъгъл β с х (защото той е най-малък). Тогава от условието
  следва,че α = 2x, γ = 3x;
• От Теорема за сбор на вътрешни ъгли следва, че
  α + β + γ = 180° 2x + x + 3x = 180° x = 30°
• Ъглите на ΔABC са: α = 2x = 60°, β = x = 30°, γ = 3x = 90°, т.е.
  триъгълникът е правоъгълен;
• Верен отговор Б).

;
В кой от случаите има триъгълник с ъгли:
- А)30°, 50°, 80°
- Б)55°, 45°, 100°
- В)55°, 60°, 65°
- Г)30°, 30°, 130°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Проверете за кой отговор се изпълнява Теорема за сбор на вътрешни ъгли.

Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

Верен отговор В).

;
На чертежа големината на BDC е:
- А)50°
- Б)55°
- В)60°
- Г)65°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете х като приложите Теорема за сбор на ъгли в ΔABC.
2. Използвайте това, че е BDC външен за ΔADC.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

;
Ъглите в триъгълник са x°, (x + 20)° и (x + 28)°. Най-големият ъгъл на триъгълника е:
- А)64°
- Б)72°
- В)90°
- Г)105°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теорема за сбор на вътрешни ъгли.

Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

• От Теорема за вътрешни ъгли в триъгълник следва, че x+x+20°+x+28°=180°,
т.е.x = 44°
• Най-големият ъгъл е x + 28° = 44° + 28° = 72°
• Верен отговор Б).

;
В ΔABC CD е височина, а CL е ъглополовяща. От чертежа определете DCL:
- А)37°30'
- Б)52°30'
- В)12°50'
- Г)12°30'
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Намерете ACB.
2. Намерете LCB.
3. Намерете DLC.
4. Намерете търсеният DCL.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

;
В ΔABC CD е височина. На чертежа са дадени зависимости между ъгли. Големината на ABC е:
- А)60°
- Б)40°
- В)50°
- Г)30°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От ΔADC намерете х.
2. От ΔBDC намерете търсения ъгъл.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

;
От данните на чертежа определете големината на ъгъл β:
- А)70°
- Б)100°
- В)120°
- Г)60°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теоремите за външен ъгъл на триъгълник.

Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

• От Теорема за съседни ъгли следва, че A + 110° = 180°, т.е. A = 70°
• От Теорема за външен ъгъл за ΔABC следва, че A + β = 130°, т.е. β = 60°
• Верен отговор Г).

;
В ΔABC AD е ъглополовяща и DE || AC. Ако ADE = 32° големината на AED е:
- А)64°
- Б)128°
- В)116°
- Г)не може да се определи
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От DE || AC намерете ъгъл DAC.
2. От АD ъглополовяща намерете ъгъл DAВ.
3. От Теорема за сбор на ъгли в ΔAED намерете ъгъл AED.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

• От DE || AC следва, че ADE = DAC (като кръстни ъгли), т.е. DAC = 32°
• AD – ъглополовяща EAD = DAC = 32°
• От Теорема за сбор на ъгли в ΔAED 32°+32°+AED=180°, т.е. AED = 116°;
• Верен отговор В).

;
На чертежа правите a || b, ъгълът x е равен на:
- А)66°
- Б)52°
- В)54°
- Г)56°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте теоремите за връхни ъгли и външен ъгъл на триъгълник.

Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

Верен отговор В).

;
На чертежа правите a || b, ъгълът x е равен на:
- А)60°
- Б)70°
- В)40°
- Г)50°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Теоремите за успоредни прави и външен ъгъл на триъгълник.

Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

Верен отговор А).

;

Верният отговор на всяка задача от 11 до 25 включително се оценява с 3 точки.

На чертежа AB е ъглополовяща на EAC и AE || CD. Ъгъл x се изразява чрез γ така:
- А)90° – γ
- Б)
- В)
- Г)
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте теореми за успоредни прави и сбор на ъгли в триъгълник.

Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

;
В ΔABC на чертежа ВD е височина, а BL е ъглополовяща. Големината на ACB е:
- А)57°
- Б)88°
- В)30°
- Г)40°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От теорема за сбор на ъгли намерете DLB.
2. От теорема за външен ъгъл намерете ABL.
3. За да намерите ABC използвайте свойствата на ъглополовяща.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

;
Ако вътрешните ъгли на триъгълник се отнасят както 5 : 7 : 3, то съответните им външни ъгли се отнасят както:
- А)5 : 4 : 6
- Б)6 : 8 : 1
- В)8 : 9 : 2
- Г)3 : 7 : 5
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От даденото отношение намерете вътрешните ъгли на триъгълника.
2. Намерете външните ъгли на триъгълника.
3. Намерете отношенията им като ги разделите.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

• От даденото отношение следва, че α = 5x, β = 7x, γ = 3x;
• От теорема за сбор на ъгли в ΔABC следва, че α + β + γ = 180°
  5x + 7x + 3x = 180°, т.е. x = 12°
• Тогава α = 5x = 5.12 = 60°, β = 7x = 7.12 = 84°, γ = 3x = 3.12 = 36°
• Нека α', β' и γ' са външни ъгли при върховете А, В и С, тогава от теорема
  за съседни ъгли намираме:
  α' + α = 180°, т.е. α' = 120°;
  β' + β = 180°, т.е. β' = 96°;
  γ' + γ = 180°, т.е. γ' = 144°;
• Образуваме отношенията на външните ъгли:
  , т.е α' : β' = 5 : 4;
  , т.е β' : γ' = 4 : 6;
• Верен отговор A).

;
На чертежа ВО и СО са ъглополовящи съответно на C и B, и
A = 40°. Големината на BOC е:
- А)120°
- Б)110°
- В)80°
- Г)65°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Основна задача 2.

Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

;
На чертежа в ΔABC ВL и BK са ъглополовящи съответно на вътрешния и външния ъгъл при върха B. Градусната мярка на
LBK е:
- А)90°
- Б)60°
- В)100°
- Г)не може да се определи
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Основна задача 1.

Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

BL и BK са вътрешна и външна ъглополовяща на върха А и затова от Основна задача 1 следва, че отговор А) е верен.

;
В ΔABC CL и CN са съответно вътрешна и външна ъглополовяща при върха С. Ако точките L и M са от правата AB и CLN : CNL = 3 : 2, големината на ALC е:
- А)144°
- Б)126°
- В)136°
- Г)142°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Като използвате Основна задача 1 намерете ъгъл LCM.
2. От даденото отношение и Теорема за сбор на ъгли в ΔLMC намерете ъгъл LMC.
3. Като използвате теорема за външен ъгъл в ΔLMC намерете търсения ъгъл.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

;
В ΔABC CN е вътрешна ъглополовяща, а CM е външна ъглополовяща и ANC = 52°. Големината на AMC е:
- А)38°
- Б)48°
- В)38°30'
- Г)48°30'
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. Като използвате Основна задача 1 намерете ъгъл MCN.
2. От Теорема за сбор на ъгли намерете ъгъл AMC.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

• CM и CN са ъглополовящи на вътрешен и външен ъгъл при върха С на ΔABC,
тогава от Основна задача 1 следва, че NCM = 90°;
• От теорема за сбор на ъгли в ΔNCM CNM + NMC = 90° 52°+NMC=90°,
т.е. NMC = 48°
• Верен отговор A).

;
На чертежа външните ъглополовящи при върховете А и С се пресичат в точка О и AOC = 70°. Мярката на ABC е:
- А)40°
- Б)55°
- В)50°
- Г)20°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Основна задача 3.

Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

;
На чертежа, AA₁ и BB₁ са ъглополовящи в ΔABC. Кое равенство вярно изразява ъгъл x чрез ъгъл γ₁?
- А)x = 90° + γ₁
- Б)
- В)x = 180° – γ₁
- Г)
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От теорема за съседни ъгли изразете ъгъл ACB чрез γ₁.
2. От Основна задача 2 изразете х чрез γ₁.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

;
В ΔABC външен и вътрешен ъгъл при върха А са в отношение 3 : 2. Ъглополовящите BB₁ и CC₁се пресичат в точка L така, че
BLC = 126°. Големината на външният ъгъл при върха А е:
- А)154°
- Б)144°
- В)132°
- Г)108°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От Основна задача 2 намерете ъгъл α.
2. От Теорема за съседни ъгли намерете търсения ъгъл.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

;
В ΔABC α : α' = 3 : 15. Ако външните ъглополовящи при върховете В и С се пресичат в точка L₁, големината на BL₁C е:
- А)75°
- Б)60°
- В)30°
- Г)150°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От Теорема за съседни ъгли намерете ъгъл α.
2. От Основна задача 3 намерете ъгъл BL₁C.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

;
В ΔABC A : B : C = 5 : 6 : 7 и височините AA₁ и BB₁ се пресичат в точка Н. Големината на AHB е:
- А)50°
- Б)70°
- В)130°
- Г)110°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От Теорема за сбор на ъгли в триъгълник намерете ъглите на ΔABC.
2. За да намерите ъгъл AHB използвайте Основна задача 4.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

• От даденото отношение следва, че α = 5x, β = 6x, γ = 7x;
• От Теорема за сбор на ъгли в ΔABC α + β + γ = 180° 5x+6x+7x=180°,
т.е. x = 10°;
• Тогава α = 5x = 5.10° = 50°, β = 6x = 6.10° = 60°, γ = 7x = 7.10° = 70°;
• От Основна задача 4 AHB = 180° – γ = 180° – 70° = 110°;
• Верен отговор Г).

;
В ΔABC височините AA₁ и CC₁ се пресичат в точка O. Големината на AOC е:
- А)120°
- Б)72°
- В)108°
- Г)110°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
1. От Теорема за съседни ъгли намерете β.
2. За да намерите ъгъл AOC използвайте Основна задача 4.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

• От Теорема за съседни ъгли следва, че 2x + 3x = 180°, т.е. x = 36°;
• Тогава β = ABC = 2x = 2.36 = 72°;
• От Основна задача 4 AOC = 180° – β = 180° – 72° = 108°;
• Верен отговор В).

;
В ΔABC височините BB₁ и CC₁ се пресичат в точка O. Големината на COB е:
- А)117°
- Б)105°
- В)127°
- Г)115°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Вижте упътването към Зад. 23.

Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

• От Теорема за съседни ъгли следва, че 5x + 12° + 3x = 180°, т.е. x = 21°;
• Тогава α = BAC = 3x = 3.21 = 63°;
• От Основна задача 4 BOC = 180° – α = 180° – 63° = 117°;
• Верен отговор A).

;
В ΔABC височините CC₁ и BB₁ се пресичат в точка L. Градусната мярка на ъгъл х е:
- А)61°
- Б)122°
- В)105°
- Г)119°
Вижте отговор

Моля, изберете отговор.

Отговорът е грешен.
Упътване: Използвайте Основна задача 4.

Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:

• От Основна задача 4 BLC = 180° – BAC 119° = 180° – BAC,
т.е. BAC = 61°;
• От Теорема за съседни ъгли следва, че x + BAC = 180° x + 61° = 180°,
т.е. x = 119°;
• Верен отговор Г).

;

ВТОРИ МОДУЛ

Верните отговори на задачи от 26 до 28 се оценяват с по 5 точки.

В ΔABC AM е медиана към страната ВС. Намерете лицето на ΔABC, ако лицето на ΔAMC е 49 cm².

Вижте упътване
Упътване: Използвайте Основна задача 5.

Вижте решение
Решение:

;
Височините AP и BQ в ΔABC се пресичат в точка H. Намерете AHB, ако
BAC = 117° и ABC = 23°.

Вижте упътване
Упътване: ΔABC е тъпоъгълен и затова пресечната точка на височините AP и BQ е извън триъгълника (виж Височини на триъгълник).
1. От Теорема за сбор на ъгли в триъгълник намерете ъгъл ABC;
2. Намерете търсения AHB.
Вижте решение
Решение:

;
Даден е ΔABC, при който външният ъгъл γ' и вътрешният ъгъл γ при върха С са във връзка γ' = 2γ + 43°30'. Ако външните ъглополовящи при върховете A и B се пресичат в точка O, да се намери големината на AOB.

Вижте упътване
Упътване:
1. От Теорема за съседни ъгли намерете ъгъл γ.
2. От Основна задача 3 намерете ъгъл AOB.
Вижте решение
Решение:

;

Верните решения на задачи 29 и 30 се оценяват с по 10 точки.

Като използвате означенията на чертежа, намерете градусната мярка на ADB.

Вижте упътване
Упътване:
1. Изразете BAD чрез х.
2. От ΔABC изразете ъгъл y чрез х.
3. От ΔABD намерете ADB.
Вижте решение
Решение:

;
Даден е триъгълник ΔABC (AC > BC). Ъглополовящите на вътрешния и външния ъгъл при върха С пресичат страната AB и нейното продължение съответно в точките D и E. Ако P и G са пресечните точки на ъглополовящата на BEC съответно с ъглополовящите на EDC и ADC, да се намерят ъглите на ΔPGD.

Вижте упътване
Упътване:
1. Използвате Основна зад. 1 за да докажете, че ΔDCE и ΔGDP са правоъгълни.
2. От Теорема за сбор на ъгли в ΔDEC намерете сбора от острите ъгли и след това сбора от техните половинки.
3. Намерете ъгъл DPG като външен за ΔDPE.
4. Използвайте Теорема за сбор на ъгли в ΔGDP за да намерите третия му ъгъл.
Вижте решение
Решение:

;

Съдържание

Напред

Собствено Търсене
Всички текстове и документите към тях в този сайт са с автор Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание