ПЪРВИ МОДУЛ
ЗАДАЧИ С ИЗБИРАЕМ ОТГОВОР
Критерии за оценяване
Верният отговор на всяка задача от 1 до 10 включително се оценява с по 2 точки.
- Коренът на уравнението (5 – x)(– 5 – x) = x(x + 15) е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
- Разкрийте скобите.
- Прехвърлете неизвестните от едната страна на равенството, а известните от другата страна.
- Направете приведение.
- Освободете се от коефициента пред неизвестното.
Отговорът е верен.
Вижте решение
- Числото, противоположно на корена на уравнението , е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
- Освободете се от минуса по правилото
- Приведете под общ знаменател и двете страни на уравнението.
- Прехвърлете неизвестните от едната страна на равенството, а известните от другата страна.
- Направете приведение.
- Освободете се от коефициента пред неизвестното.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Решаваме уравнението по правилото за решаване на уравнения свеждащи се до линейни:
– 4x – 3(5 + x) = 6 – 4x – 15 – 3x = 6 – 4x – 3x = 6 + 15 – 7x = 21 | . (– 1) 7x = – 21, т.е. x = – 3.
- Противоположното число на – 3 е 3.
- Верен отговор А).
- Колко общи корена имат уравненията 8x3 – 1 = 0 и 4x2 = 1?
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Решаваме двете уравнения, като ги преобразуваме до уравнение от вида (ax + b)(cx + d) = 0:
- Само едно решение е общо и за двете уравнения.
- Верен отговор Б).
- Сборът на целите числа, които се намират между корените на уравнението |– 5x – 1| = 16, е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
- Решете модулното уравнение.
- Намерете целите числа, които се намират между корените на получените две уравнения и ги съберете.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Уравнението е модулно и затова се разпада на две уравнения:
– 5x – 1 = 16
– 5x – 1 = – 16
– 5x = 16 + 1
– 5x = – 16 + 1
- Целите числа, които се намират между корените – 3,4 и 3 са: – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2.
- – 3 + (– 2) + (– 1) + 0 + 1 + 2 = – 3 – 2 – 1 + 0 + 1 + 2 = – 3.
- Верен отговор Г).
- Разликата от корените на уравнението – 2|x – 5| + |x – 5| = – 8, е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
- Подмодулните величини са равни, затова преобразувайте модулното уравнение до уравнение от вида |ax + b| = c.
- Решете полученото модулно уравнение и извадете корените му.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Подмодулните величини са равни, затова може да извършим действието с модулите:
–2|x – 5| + |x – 5| = –8 –|x – 5| = –8 | . (–1) |x – 5| = 8.
- Това уравнение е модулно и се разпада на две уравнения:
- x1 – x2 = 13 – (–3) = 13 + 3 = 16.
- Верен отговор A).
- Ако а е параметър, коренът на уравнението 2x – 3(x – a) = a е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Разкрийте скобите и преобразувайте уравнението, до уравнение от вида Ax = B, т.е.:
2x – 3(x – a) = a 2x – 3x + 3a = a 2x – 3x = a – 3a, т.е. x = 2a.
- Коефициентът пред х (той е 1) не зависи от параметъра, затова решението на уравнението е x = 2a.
- Верен отговор Б).
- В един склад има 440 тона въглища, а в друг – 408 тона. От първия склад всеки ден се извозват по 60 тона, а във втория ежедневно се докарват по 48 тона. След колко дни във втория склад ще има 3 пъти повече въглища от първия?
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
- Отбележете с х търсените дни.
- Съставете уравнение според условието на задачата.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Нека с х да отбележим търсените дни.
- От първия склад извозват въглища, тогава след х дни остават 440 – 60x тона въглища.
- Във втория склад докарват въглища, затова след х дни ще има 408 + 48х тона въглища.
- От условието на задачата съставяме уравнението:
408 + 48x = 3(440 – 60x) = 1320 – 180x 48x + 180x = 1320 – 408, т.е. x = 4.
- Верен отговор В).
- От два града разстоянието между които е 375 km, едновременно един срещу друг тръгнали лека кола и автобус, и се срещнали след 3 часа. Ако скоростта на леката кола е с 5 km/h по-голяма от скоростта на автобуса, скоростта на автобуса е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
- Начертайте елементарен чертеж.
- Начертайте таблица и попълнете ясно дадените величини (в дадената задача това е времето t).
- Отбележете с х скоростта на автобуса и изразете чрез х скоростта на леката кола.
- От формулата s = v.t изчислете пътищата s1 и s2.
- Съставете уравнението s = s1 + s2 и намерете х.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Начертаваме елементарен чертеж – На Фиг.: 1 т. С е точката между двата града, в която двете превозни средства се срещат.
- Начертаваме таблица и попълваме времето t за движение на двете превозни средства (то е ясно дадено в условието на задачата):
- Отбелязваме с х скоростта на автобуса (за да може след решаването на уравнението направо да получим търсения отговор) и изразяваме скоростта на леката кола чрез х.
-
|
v [km/h] |
t [h] |
s [km] |
s |
ЛА |
x + 5 |
3 |
3(x + 5) |
s1 |
А |
x |
3 |
3x |
s2 |
С помощта на формулата s = v.t изчисляваме пътищата s1 и s2 и ги записваме в определената колонка на таблицата.
- Съставяме уравнението – Както се вижда от Фиг. 1 уравнението е:
s1 + s2 = s 3(x + 5) + 3x = 375 3x + 15 + 3x = 375 3x + 3x = 375 – 15, т.е. x = 60.
- Верен отговор А).
- Том може да поправи дупка в оградата на леля Бети за 2 часа, а Хък – за два пъти повече време. Двамата заедно могат да поправят оградата за:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
- Намерете: N1 – производителността на Том; N2 – производителността на Хък и N – общата им производителност.
- Търсеното време отбележете с t и от формула (2) (щом не е уточнено колко е цялата работа А приемаме, че тя е 1) намерете t.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
|
сам върши цяла работа в часове |
N |
t |
A |
цяла работа в части A* |
Том |
2 |
|
x |
A1 = .x |
1 |
Хък |
4 |
|
x |
A2 = .x |
- Съставяме таблица и попълваме ясно дадените величини, а това са:
- времето, за което Том и Хък могат да свършат цялата работа сами.
- щом не е уточнено колко е цялата работа, приемаме, че тя е 1, т.е. А* = 1.
- Изчисляваме производителността на всеки от двамата, като разделим цялата работа, на времето за което всеки от тях свършва цялата работа и ги нанасяме в таблицата.
- Отбелязваме с х времето за което Том е работил (това време е едно и също за двамата, защото двамата работят заедно).
- От формулата A = N.t изчисляваме работата А1 – свършена от Том и А2 – свършена от Хък.
- Съставяме уравнението и го решаваме:
A1 + A2 = A* x + x = 1 2x + x = 4, т.е. x = = 1 = 1h + .60 min = 1h 20 min=80 min.
- Верен отговор В).
- Колко процента солен разтвор ще се получи, ако към 200g 25% разтвор се прибавят 300 g вода?
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
- Попълнете ясно дадените величини: масата m1 на първото вещество, масата m2 – масата на водата, концентрацията на сол A1% на първото вещество, концентрацията на сол A2% във водата.
- С х отбележете концентрацията на сол А% в сместа.
- За да намерите масата m на сместа и произведението m.A% използвайте формула (6).
- Съставете уравнението като използвате формула (7). Решенията му х са търсената концентрация на сол в сместа.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
|
маса m [g] |
концентрация на сол, A% |
m . A |
1 разтвор |
200 |
20% = 0,25 |
200.0,25 |
вода |
300 |
0 |
300.0 |
смес |
500 |
x% = 0,01x |
500.0,01x |
- Съставяме и попълваме таблицата:
- ясно дадените величини – това са m1, m2, A1%, A2%.
- масата m на сместа намираме от формулата m1 + m2 = m.
- Понеже във водата няма съдържание на сол, нейното процентно съдържание А2% е 0.
- С х отбелязваме процентното съдържание на сол A% в сместа.
- Последната колонка я попълваме като използваме произведението m . A.
- Съставяме уравнението от последната колонка на таблицата:
m1.A1 + m2.A2 = m.A 200.0,25 + 300.0 = 500.0,01x 50 + 0 = 5x, т.е. x = 10%.
- Верен отговор А).
Критерии за оценяване
Верният отговор на всяка задача от 11 до 16 включително се оценява с по 3 точки.
- Уравнението с единствен корен числото 2 е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- 1,5(2x – x) = 4,5x 1,5x = 4,5x x = 0, т.е. това уравнение има едно решение различно от 2, затова отговор А) не е търсения.
- x(x – 4) + 3x(x + 1) = – x + 4 x2 – 4x + 3x2 + 3x = – x + 4 x2 – 4 = 0 (x – 2)(x + 2) = 0. Това уравнение очевидно има две решения и затова отговор Б) не е търсения.
- x2 – (x – 1)(x + 1) = x – 1 x2 – x2 + 1 = x – 1 x = 2, т.е. отговор В) е търсеното решение.
- Няма смисъл да решаваме отговор Г), защото открихме верния отговор.
- Верен отговор В).
- Решението на уравнението e:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
- Разкрийте скобите.
- Приведете под общ знаменател и двете страни на уравнението.
- Прехвърлете неизвестните от едната страна на равенството, а известните от другата страна.
- Направете приведение и намерете неизвестното х.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Прилагаме правилото за решаване на уравнения свеждащи се до линейни:
3x – 6 + 2x – 22 = 3(x – 2) 5x – 28 = 3x – 6, т.е. x = 11.
- Верен отговор Б).
- Корените на уравнението са:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване: Преобразувайте даденото уравнение до модулно уравнение от вида |ax + b| = c и приложете
Правилото за решаването му.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме даденото уравнение до модулно от вида |ax + b| = c:
.
- В нашият случай c = > 0, затова модулното уравнение се разпада на две уравнения:
- Верен отговор Г).
- Стойността на параметъра n, за която уравненията = 1 – n и (– 1 – x)2 – 1 = x2 са еквивалентни, е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване: Решете двете уравнения и приравнете решенията им.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Решете двете уравнения:
- Приравняваме x1 и x2:
x1 = x2 2 – 3n = 0, т.е. n = .
- Верен отговор A).
- Цената на една стока е 20 лв. Увеличили я с 5%, а после я намалили с 5%. Цената след намалението е:
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване:
- Намерете цената след увеличението: Например, ако началната цена е a, а увеличението е с p%, то цената след увеличението ще бъде a + p%.a.
- Намерете цената след намалението: Например, ако началната цена е b, а намалението е с q%, то цената след намалението ще бъде b – q%.b.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Намираме цената след увеличението:
- увеличението е 5% от 20 = 0,05.20 = 1 лв.
- цената след увеличението е 20 + 1 = 21 лв.
- Намираме цената след намалението:
- намалението е 5% от 21 = 0,05.21 = 1,05 лв.
- цената след намалението е 21 – 1,05 = 19,95 лв.
- Верен отговор Б).
- От град А за град В в 9 часа тръгва камион със скорост 40 km/h, а след 45 минути пак от А за В тръгва лека кола със скорост по-голяма от скоростта на камиона. В колко часá леката кола ще настигне камиона?
Проверете отговор
Моля, изберете отговор.
Отговорът е грешен.
Упътване: Тази задача е текстова задача от движение. Използвайте
Правилото за решаване на подобен вид задачи:
- Начертайте елементарен чертеж.
- Начертайте таблица и попълнете ясно дадените величини.
- Отбележете с х времето за движение на камиона и изразете чрез х вемето за движение на леката кола.
- От формулата s = v.t изчислете пътищата s1 и s2.
- Съставете уравнението s1 = s2 и намерете х.
Отговорът е верен.
Вижте решение
Решение:
- Начертаваме елементарен чертеж (виж фигурата). Предполагаме, че камиона и леката кола се срещат в т. С.
- Начертаваме таблица и я попълваме:
- Ясно дадената величина е скоростта на камиона v2 = 40 km/h.
|
v [km/h] |
t [h] |
s [km] |
s |
ЛА |
60 |
x – |
|
s1 |
К |
40 |
x |
40x |
s2 |
- Изчисляваме скоростта на леката кола:
v1 = 40 + .40 = 40 + 20 = 60 km/h.
- Отбелязваме с х времето за движение на камиона.
- Изразяваме чрез х времето за движение на леката кола:
45 min = h.
t1 = x – h.
- С помощта на формулата s = v.t изчисляваме пътищата s1 и s2 и ги записваме в определената колонка на таблицата.
- Съставяме уравнението – Както се вижда от Фигурата уравнението е:
s1 = s2 = 40x 60x – 45 = 40x, т.е. x = = 2h = 2h 15 min.
- Намираме търсеното време: 9h + 2h 15 min = 11h 15 min.
- Верен отговор Г).
ЗАДАЧИ СЪС СВОБОДЕН ОТГОВОР
Отговорите на задачи 17. – 20. запишете на съответните места в листа с отговори.
- Дадено е уравнението a(x + 2) = a2, където a е параметър.
а) За всяко от уравненията в таблицата определете дали е от множеството уравнения, които се получават от даденото параметрично уравнение. Отговорете с „ДА” или „НЕ”.
Уравнение |
4(x + 2) = 8 |
3(x + 2) = 9 |
–(x + 2) = 1 |
5(x + 5) = 25 |
ДА/НЕ |
|
|
|
|
б) Намерете стойностите на параметъра a, за които е изпълнено съответното твърдение в таблицата, и ги запишете в таблицата с отговори (отдолу) срещу номера на твърдението.
№ |
Твърдение |
1 |
Уравнението a(x + 2) = a2 има безброй много решения. |
2 |
Уравнението a(x + 2) = a2 има единствен корен, равен на 2. |
3 |
Уравнението a(x + 2) = a2 има корен, равен на – 1. |
4 |
Уравнението a(x + 2) = a2 е равносилно на уравнението 3x = – a. |
№ |
Стойности на параметъра |
1 |
|
2 |
|
3 |
|
4 |
|
Вижте упътване
Упътване:
а) Проверете има ли стойност на а, за която даденото уравнение да е вярно.
б) Решете параметричното уравнение и след това отговорете на въпроса.
Вижте решение
Решение:
а) Проверяваме има ли стойност на а, за която даденото уравнение да е вярно:
- Ако a = 4, тогава a2 = 42 = 16 и даденото параметрично уравнение е 4(x + 2) = 16, т.е. уравнението 4(x + 2) = 8 НЕ МОЖЕ да се получи от даденото.
- Ако a = 3, тогава a2 = 32 = 9 и даденото параметрично уравнение е 3(x + 2) = 9, т.е. уравнението 3(x + 2) = 9 МОЖЕ да се получи от даденото.
- Ако a = –1, тогава a2 = (–1)2 = 1 и даденото параметрично уравнение е – (x + 2) = 1, т.е. уравнението – (x + 2) = 1 МОЖЕ да се получи от даденото.
- Уравнението 5(x + 5) = 25 НЕ МОЖЕ да се получи от даденото, защото при никоя стойност на а от x + 5 не може да получим x + 2.
- Отговор: Попълваме таблицата:
Уравнение |
4(x + 2) = 8 |
3(x + 2) = 9 |
–(x + 2) = 1 |
5(x + 5) = 25 |
ДА/НЕ |
НЕ |
ДА |
ДА |
НЕ |
б) Решаваме даденото параметрично уравнение:
- Преобразуваме параметричното уравнение до основен вид, т.е.:
a(x + 2) = a2 ax + 2a = a2 ax = a2 – 2a.
- Коефициентът пред х зависи от параметъра затова разглеждаме два случая:
I случай: При a ≠ 0 x = = a – 2.
II случай: При a = 0 0.x = 02 – 2.0 = 0, т.е. всяко x.
Извод:
При a ≠ 0 решението е x = a – 2.
При a = 0 решението е всяко x.
- Отговаряме на въпросите от таблицата:
- От извода се вижда, че при a = 0, решението на уравнението a(x + 2) = a2 е всяко x.
- От извода се вижда, че при a ≠ 0, решението на уравнението a(x + 2) = a2 е x = a – 2. Но по условие x = 2 2 = a – 2 a = 2 + 2 = 4, т.е. при a = 4 уравнението a(x + 2) = a2 има единствен корен, равен на 2.
- Уравнението a(x + 2) = a2 има корен, равен на – 1 в:
1 случай: При a ≠ 0 решението е x = a – 2, но по условие x = – 1 – 1 = a – 2 a = 2 – 1 = 2, т.е. при a = 2 уравнението a(x + 2) = a2 има корен, равен на – 1.
2 случай: При a = 0 решението е всяко x, включително числото – 1.
- Уравнението a(x + 2) = a2 е равносилно на уравнението 3x = – a, ако решенията им съвпадат.
Решенията на уравнението a(x + 2) = a2 са x = a – 2, при a ≠ 0.
Решенията на уравнението 3x = – a са x = –.
Тези решения съвпадат, ако a – 2 = – 3a – 6 = – a 3a + a = 6 a = = 1,5.
- Отговор: Попълваме таблицата:
№ |
Стойности на параметъра |
1 |
a = 0 |
2 |
a = 4 |
3 |
a = 2 и a = 0 |
4 |
a =1,5 |
Критерии за оценяване
а) 4 точки. За всеки правилен отговор – по 1 точка.
б) 5 точки. За всяка намерена стойност на a – по 1 точка.
Общо 9 точки.
- Надя, Ели, Руми и Ира продават билети за благотворителен концерт. Диаграмата показва броя на билетите, които всяка от тях е продала. Ира е продала 30 билета.
а) По колко билета са продали поотделно Надя, Ели и Руми?
б) Колко билета общо са продали Ира, Надя, Ели и Руми?
Вижте упътване
Упътване:
- Намерете едно деление от диаграмата на колко продадени билета отговаря.
- По броя на деленията от диаграмата определете, по колко билета са продали Руми, Ели и Надя.
Вижте решение
Решение:
а)
- Намираме на колко билета отговаря едно деление от диаграмата – Ира е продала 30 билета. В нейната диаграма има три деления, т.е. едно деление отговаря на 30 : 3 = 10 билета.
- Намираме броя на продадените билети за всяко от останалите момичета:
- В диаграмата на Руми има 7 деления, т.е. тя е продала 7.10 = 70 билета.
- В диаграмата на Ели има 4 деления, т.е. тя е продала 4.10 = 40 билета.
- В диаграмата на Надя има 2 деления, т.е. тя е продала 2.10 = 20 билета.
б) Четирите момичета са продали общо 30 + 70 + 40 + 20 = 160 билета.
Критерии за оценяване
а) 3 точки. За всеки правилен отговор на продадените билето от трите момичета – по 1 точка.
б) За правилен отговор – 2 точки.
Общо 5 точки.
- Сплав от мед и цинк съдържа 80% мед. След прибавянето на 10 kg цинк съдържанието на цинка в новата сплав станало 30%.
а) Попълнете таблицата:
|
маса m [kg] |
% на цинка A % |
m . A% |
1 вещество |
|
|
|
чист цинк |
|
|
|
смес |
|
|
|
б) Колко килограма цинк е имало в първоначалната сплав?
Вижте упътване
Упътване:
Тази задача е текстова задача от смеси и сплави. Попълнете таблицата по същият начин, както попълвате таблицата за задачите от движение:
- Попълнете ясно дадените величини: масата m2 на чистия цинк, концентрацията на цинк в чистия цинк A2%, концентрацията на цинк A% в сместа.
- С х отбележете масата m1 на I вещество.
- За да намерите масата m на сместа и произведението m.A% използвайте формула (6).
- Съставете уравнението като използвате формула (7). Решението му е масата на I в-во
- Масата на цинка в I вещество е 20% от m1 (защото в началното вещество има 80% мед).
Вижте решение
Решение:
а) Съставяме и попълваме таблицата (като в предпоследната колонка нанасяме процентното съдържание на цинка:
|
маса m [kg] |
% на цинка A % |
m . A% |
1 вещество |
x |
20% = 0,20 |
0.2 x |
чист цинк |
10 |
1 |
10 . 1 |
смес |
10 + x |
30% = 0,30 |
0,3 . (10 + x) |
- Ясно дадените величини са: m2 = 10 kg, A2% = 1, A = 30%.
- В първото в-во е дадено процентното съдържание на медта затова, трябва да намерим процентното съдържание на цинка, т.е. A1% = 100% – 80% = 20%.
- Отбелязваме масата m1 на I вещество с х и намираме масата m на сместа, т.е. m = m1 + m2 = 10 + x.
- Последната колонка я попълваме като използваме произведението m . A.
б) Намираме търсената величина.
- Съставяме уравнението от последната колонка на таблицата:
m1.A1 + m2.A2 = m.A 0,2x + 10 = 0,3(10 + x) 0,2x + 10 = 3 + 0,3x, т.е. x = 70.
- Масата на цинка в I вещество е 20% от 70 kg = . 70 = 14 kg.
Критерии за оценяване
- За попълване на величините m2 и A2% в таблицата – 1 точка.
- За намиране на A1% – 2 точки.
- За въвеждане на х и получаване на m – 2 точки.
- За съставяне на уравнението – 2 точки.
- За решаване на уравнението – 3 точки.
- За правилен отговор – 2 точки.
- Общо 12 точки.
- МОДУЛИ.
а) Намерете стойностите на x, за които е изпълнено равенството |x – 1| = 3.
б) Ако |x – 1| = 3, намерете най-голямата стойност на израза |x – 5|.
в) Ако |x – 1| = 3, намерете най-малката стойност на израза (x – 1)2 + (x – 1)3.
Вижте упътване
Упътване:
а) Решете модулното уравнение.
б) С по-голямата стойност на х, получена в подточка а), заместете в израза |x – 5|.
в) Опростете дадения израз и заместете с по-малката стойност на х, получена в подточка а).
Вижте решение
Решение:
а) Решаваме даденото модулно уравнение:
б) Намираме най-голямата стойност на израза |x – 5|:
- По-големият корен от x1 и x2 е x1 = 4.
- Заместваме с тази стойност в модула |x – 5|:
|4 – 5| = |– 1| = 1.
- Отговор: 1.
в) Намираме най-малката стойност на израза (x – 1)2 + (x – 1)3:
- Преобразуваме израза като го разложим на множители, чрез изнасяне на общ множител пред скоба:
(x – 1)2 + (x – 1)3 = (x – 1)2 (1 + x – 1) = x(x – 1)2.
- Заместваме с x2 = – 2, защото x2 < x1:
(– 2).(– 2 – 1)2 = (– 2).(– 3)2 = – 2.9 = –18.
- Отговор: –18.
Критерии за оценяване
а) 2 точки. За всеки вярно намерен корен – по 1 точка.
б) За правилен отговор – 2 точки.
в) За правилен отговор – 2 точки.
Общо 6 точки.
ВТОРИ МОДУЛ
Отговорите на задачи 21. и 22. запишете на съответните места в листа с отговори.
- За кои стойности на параметъра a коренът на уравнението ax + 2 = a – 2 е числото – 1?
Вижте упътване
Вижте решение
Решение:
- Преобразуваме параметричното уравнение до основен вид, т.е.
ax + 2 = a – 2 ax = a – 4.
- Коефициентът пред х зависи от параметъра и затова разглеждаме два случая:
I случай: При a ≠ 0 x = .
I случай: При a = 0 0.x = 0 – 4 = – 4, т.е. няма решение.
Извод:
При a ≠ 0 решението е x = .
При a = 0 няма решение.
- По условие имаме x = – 1 = – 1 a – 4 = – a a + a = 4, т.е. a = 2.
- Отговор: Търсеното решение е при a = 2.
Критерии за оценяване
За верен отговор – 5 точки.
- За да изпълни поръчка в определен срок, фирма трябва да изработва по 24 прозореца на ден. След 3 дни работа, тя започнала да произвежда по 6 прозореца повече на ден и изпълнила поръчката 2 дни по-рано. Намерете броя на поръчаните прозорци?
Вижте упътване
Упътване:
Тази задача е текстова задача от работа. Използвайте Правилото за решаване на подобен вид задачи:
- Съставете таблица от три реда: І случай, ІІ случай и по план, и я попълнете с ясно дадените величини.
- Отбележете с х времето по план за което е трябвало да се свърши работата и изразете чрез това време, времето t2 – времето за работа във ІІ случай.
- С помощта на формулата A = N.t намерете A1 – работата в І случай, А2 – работата във ІІ случай и А – работата по план.
- Съставете уравнението A1 + A2 = A.
Вижте решение
Решение:
|
N |
t |
A |
I случай |
24 |
3 |
A1 = 24.3 = 72 |
II случай |
30 |
x – 5 |
A2 = 30(x – 5) |
по план |
24 |
x |
A = 24x |
- Съставяме таблица от три реда и я попълваме:
- Ясно дадените величини са: N1 = 24 прозореца – производителността в I случай, N2 = 30 прозореца – производителността във II случай; N = 24 прозореца – производителността по план; t1 = 3 дни – времето за работа в I случай.
- Отбелязваме с х времето по план, тогава времето за работа във II случай е t2 = x – 5 (защото 3 дни е работила в І случай и е приключила 2 дни по-рано от предвиденото).
- От формулата A = N.t изчисляваме: А1 – работата в І случай, А2 – работата във ІІ случай и А – работата по план.
- Съставяме уравнението:
A1 + A2 = A 72 + 30(x – 5) = 24x 72 + 30x – 150 = 24x, т.е. x = 13.
- Намираме работата по план, т.е. A = 24x = 24.13 = 312.
- Отговор: Поръчаните прозорци са 312.
Критерии за оценяване
За верен отговор – 5 точки.
На задачи 23. и 24. запишете пълните решения с необходимите обосновки.
- Решете уравненията и 9 – |x – 9| = 9. Еквивалентни ли са тези уравнения? Обосновете отговора си.
Вижте упътване
Вижте решение
Решение:
- Решаваме първото уравнение като приложим формулите за съкратено умножение:
.
- Разкриваме скобите и привеждаме под общ знаменател:
9x2 – 6x + 1 – 3x + 1 = 8x2 – 2 + 4.
- Прехвърляме неизвестните от едната страна на уравнението, а известните от другата страна и правим приведение:
9x2 – 6x – 3x – 8x2 = – 2 + 4 – 1 – 1 x2 – 9x = 0.
- Това уравнение се разпада на две уравнения, защото е нелинейно:
x2 – 9x = 0 x(x – 9) = 0.
- Решаваме модулното уравнение:
- Преобразуваме модулното уравнение до основен вид:
9 – |x – 9| = 9 – |x – 9| = 9 – 9 – |x – 9| = 0 | . (– 1) |x – 9| = 0.
- Това уравнение се разпада на едно уравнение, защото c = 0:
|x – 9| = 0 x – 9 = 0 x = 9.
- Сравняваме решенията на двете уравнения – Двете уравнения НЕ са еквивалентни, защото първото уравнение има 2 решения, а второто – само 1.
Критерии за оценяване
- 2 точки. За всяка правилно приложена формула (2) и (5) – по 1 точка.
- За освобождаване от знаменател и разкриване на втората скоба в уравнението – 2 точки.
- За преобразуване на уравнението до вида ax2 +bx = 0 – 1 точка.
- За всеки правилно намерен корен x1 и x2 – по 1 точка.
- За преобразуване на модулното уравнение до основен вид – 1 точка.
- За намирането на решението на модулното уравнение – 1 точка.
- За правилен извод и обосновка – 1 точка.
- Общо 10 точки.
- В ресторант смесили 6 kg кайма с 30% съдържание на телешко месо с 4 kg кайма със 70% съдържание на телешко месо. Намерете процентното съдържание на телешкото месо в новата кайма?
Вижте упътване
Упътване:
Тази задача е текстова задача от смеси и сплави. Попълнете таблицата по същият начин, както попълвате таблицата за задачите от движение:
- Попълнете ясно дадените величини: масата m1 на 1 кайма, масата m2 на 2 кайма, концентрацията A1% на телешко месо в І кайма, концентрацията A2% на телешко месо в ІІ кайма.
- С х% отбележете концентрацията на телешко месо в сместа.
- За да намерите масата m на сместа и произведението m.A% използвайте формула (6).
- Съставете уравнението като използвате формула (7).
Вижте решение
Решение:
|
маса m [kg] |
% на телешко A % |
m . A |
1 кайма |
6 |
30% = 0,30 |
0.3 . 6 |
2 кайма |
4 |
70% = 0,70 |
0,7 . 4 |
смес |
10 |
x% = 0,01x |
10 . 0,01x |
- Съставяме и попълваме таблицата (като в предпоследната колонка нанасяме процентното съдържание на телешкото месо):
- Ясно дадените величини са:
m1 = 6 kg, m2 = 4 kg,
A1% = 30%, A2 = 70%.
- Намираме масата на сместа по формулата
m = m1 + m2 = 6 + 4 = 10 kg.
- Отбелязваме концентрацията на телешко месо в сместа с х%.
- Последната колонка я попълваме като намираме произведението m . A.
- Съставяме уравнението от последната колонка на таблицата:
m1.A1 + m2.A2 = m.A 0,3.6 + 0,7.4 = 0,01.10x 1,8 + 2,8 = 0,1x, т.е. x = 46.
- Отговор: Процентното съдържание на телешкото месо в новата кайма е 46%.
Критерии за оценяване
- За попълване на величините m1, m2, A1% и A2% в таблицата – 1 точка.
- За намиране m на сместа – 1 точка.
- За въвеждане на х – 1 точка.
- За намиране на произведението m.A – 2 точки.
- За съставяне на уравнението – 2 точки.
- За решаване на уравнението – 3 точки.
- За правилен отговор – 1 точки.
- Общо 10 точки.