Самоподготовка по Математика за
7 клас

Решение:

• Използваме стъпките описани в правилото за решаване на линейни уравнения:
  (5 – x)(– 5 – x) = x(x + 15) – (5 – x )(5 + x) = x² + 15x – (25 – x²) = x² + 15x – 25 + x² = x² + 15x 15x = – 25 x = .
• Верен отговор Г).

Решение:

• Решаваме уравнението по правилото за решаване на уравнения свеждащи се до линейни:
  – 4x – 3(5 + x) = 6 – 4x – 15 – 3x = 6 – 4x – 3x = 6 + 15 – 7x = 21 | . (– 1) 7x = – 21, т.е. x = – 3.
• Противоположното число на – 3 е 3.
• Верен отговор А).

Решение:

• Решаваме двете уравнения, като ги преобразуваме до уравнение от вида (ax + b)(cx + d) = 0:
  • Първото уравнение се преобразува с помощта на формула (7):
    8x³ – 1 = 0 (2x)³ – 1³ = 0 (2x – 1)(4x² + 2x + 1) = 0.

    Това уравнение се разпада на две уравнения:

    2x – 1 = 0

    или

    4x² + 2x + 1 = 0
    x = .

     

    няма решение.
  • Второто уравнение се преобразува с помощта на формула (5):
    4x² = 1 4x² – 1 = 0 (2x)² – 1² = 0 (2x – 1)(2x + 1) = 0.

    Това уравнение се разпада на две уравнения:

    2x – 1 = 0

    или

    2x + 1 = 0
    x₁ = .

     

    x₂ = – .
• Само едно решение е общо и за двете уравнения.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Уравнението е модулно и затова се разпада на две уравнения:
  – 5x – 1 = 16

  или

  – 5x – 1 = – 16
  – 5x = 16 + 1

   

  – 5x = – 16 + 1
  x = – 3,4.

   

  x = 3.
• Целите числа, които се намират между корените – 3,4 и 3 са: – 3; – 2; – 1; 0; 1; 2.
• – 3 + (– 2) + (– 1) + 0 + 1 + 2 = – 3 – 2 – 1 + 0 + 1 + 2 = – 3.
• Верен отговор Г).

Решение:

• Подмодулните величини са равни, затова може да извършим действието с модулите:
  –2|x – 5| + |x – 5| = –8 –|x – 5| = –8 | . (–1) |x – 5| = 8.
• Това уравнение е модулно и се разпада на две уравнения:
  x – 5 = 8

  или

  x – 5 = –8
  x₁ = 13.

   

  x₂ = –3.
• x₁ – x₂ = 13 – (–3) = 13 + 3 = 16.
• Верен отговор A).

Решение:

• Превръщаме даденото време в часове:
  6 часа и 30 минути = 6 + 30:60 = 6 + 0,5 = 6,5 часа.
• Величините време и площ са правопропорционални, защото при увеличаване на времето за работа, тракторът изорава повече площ.

I начин:

• Нека с х да отбележим търсените декари и попълваме таблицата:
  
• Съставяме пропорция (между числата в една и съща колонка поставяме дробна черта, а между различните колонки поставяме знак за равно) и я решаваме:
  5.x = 6,5.32 x = 41,6 декара.
• Верен отговор Б).

II начин:

• Намираме коефициента на пропорционалност:
  k = 6.4.
• Прилагаме формула (2):
  Търсена площ = k.време = 6,4.6,5 = 41,6 декара.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Нека с х да отбележим търсените дни.
• От първия склад извозват въглища, тогава след х дни остават 440 – 60x тона въглища.
• Във втория склад докарват въглища, затова след х дни ще има 408 + 48х тона въглища.
• От условието на задачата съставяме уравнението:
  408 + 48x = 3(440 – 60x) = 1320 – 180x 48x + 180x = 1320 – 408, т.е. x = 4.
• Верен отговор В).

Решение:

• Начертаваме елементарен чертеж – На Фиг.: 1 т. С е точката между двата града, в която двете превозни средства се срещат.
• Начертаваме таблица и попълваме времето t за движение на двете превозни средства (то е ясно дадено в условието на задачата):
• Отбелязваме с х скоростта на автобуса (за да може след решаването на уравнението направо да получим търсения отговор) и изразяваме скоростта на леката кола чрез х.

• 	v [km/h]	t [h]	s [km]	s
  ЛА	x + 5	3	3(x + 5)	s1
  А	x	3	3x	s2

  С помощта на формулата s = v.t изчисляваме пътищата s₁ и s₂ и ги записваме в определената колонка на таблицата.
• Съставяме уравнението – Както се вижда от Фиг. 1 уравнението е:
  s₁ + s₂ = s 3(x + 5) + 3x = 375 3x + 15 + 3x = 375 3x + 3x = 375 – 15, т.е. x = 60.
• Верен отговор А).

Решение:

	сам върши цяла работа в часове	N	t	A	цяла работа в части A*
Том	2		x	A1 = .x	1
Хък	4		x	A2 = .x

• Съставяме таблица и попълваме ясно дадените величини, а това са:
  • времето, за което Том и Хък могат да свършат цялата работа сами.
  • щом не е уточнено колко е цялата работа, приемаме, че тя е 1, т.е. А^* = 1.
• Изчисляваме производителността на всеки от двамата, като разделим цялата работа, на времето за което всеки от тях свършва цялата работа и ги нанасяме в таблицата.
• Отбелязваме с х времето за което Том е работил (това време е едно и също за двамата, защото двамата работят заедно).
• От формулата A = N.t изчисляваме работата А₁ – свършена от Том и А₂ – свършена от Хък.
• Съставяме уравнението и го решаваме:
  A₁ + A₂ = A^* x + x = 1 2x + x = 4, т.е. x = = 1 = 1h + .60 min = 1h 20 min=80 min.
• Верен отговор В).

Решение:

	маса m [g]	концентрация на сол, A%	m . A
1 разтвор	200	20% = 0,25	200.0,25
вода	300	0	300.0
смес	500	x% = 0,01x	500.0,01x

• Съставяме и попълваме таблицата:
  • ясно дадените величини – това са m₁, m₂, A₁%, A₂%.
  • масата m на сместа намираме от формулата m₁ + m₂ = m.
  • Понеже във водата няма съдържание на сол, нейното процентно съдържание А₂% е 0.
  • С х отбелязваме процентното съдържание на сол A% в сместа.
  • Последната колонка я попълваме като използваме произведението m . A.
• Съставяме уравнението от последната колонка на таблицата:
  m₁.A₁ + m₂.A₂ = m.A 200.0,25 + 300.0 = 500.0,01x 50 + 0 = 5x, т.е. x = 10%.
• Верен отговор А).

Решение:

• 1,5(2x – x) = 4,5x 1,5x = 4,5x x = 0, т.е. това уравнение има едно решение различно от 2, затова отговор А) не е търсения.
• x(x – 4) + 3x(x + 1) = – x + 4 x² – 4x + 3x² + 3x = – x + 4 x² – 4 = 0 (x – 2)(x + 2) = 0. Това уравнение очевидно има две решения и затова отговор Б) не е търсения.
• x² – (x – 1)(x + 1) = x – 1 x² – x² + 1 = x – 1 x = 2, т.е. отговор В) е търсеното решение.
• Няма смисъл да решаваме отговор Г), защото открихме верния отговор.
• Верен отговор В).

Решение:

• Прилагаме правилото за решаване на уравнения свеждащи се до линейни:
  3x – 6 + 2x – 22 = 3(x – 2) 5x – 28 = 3x – 6, т.е. x = 11.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Преобразуваме даденото уравнение до модулно от вида |ax + b| = c:
  .
• В нашият случай c = > 0, затова модулното уравнение се разпада на две уравнения:
  
• Верен отговор Г).

Решение:

I начин:

• Отбелязваме с x времето за изработване на поръчката от втория работник.
• Попълваме таблицата, като отчетем, че щом броят на произведените детайли за един час (производителността) се увеличава, то времето за изработка се намалява, т.е. величините са обратнопропорционални.
  
• Съставяме пропорция и я решаваме:
  • Сменяме местата на числата в колонката за времето.
  • Съставяме пропорцията (между сменените числа в колонката с времето поставяме дробна черта, а между различните колонки поставяме знак за равно):
    
• Верен отговор Г.

II начин:

• Величините производителност и време са обратнопропорционални и може да използваме формула (3):
  • Ако отбележим с x – времето в часове и с y – производителността, тогава от I работник намираме коефициента на пропорционалност:
    k = x.y = 8.42.
  • За II работник прилагаме формула (3):
    x = 8.42. = 7.
• Верен отговор Г.

Решение:

• Намираме цената след увеличението:
  • увеличението е 5% от 20 = 0,05.20 = 1 лв.
  • цената след увеличението е 20 + 1 = 21 лв.
• Намираме цената след намалението:
  • намалението е 5% от 21 = 0,05.21 = 1,05 лв.
  • цената след намалението е 21 – 1,05 = 19,95 лв.
• Верен отговор Б).

Решение:

• Начертаваме елементарен чертеж (виж фигурата). Предполагаме, че камиона и леката кола се срещат в т. С.
• Начертаваме таблица и я попълваме:
  • Ясно дадената величина е скоростта на камиона v₂ = 40 km/h.

    	v [km/h]	t [h]	s [km]	s
    ЛА	60	x –		s1
    К	40	x	40x	s2

  • Изчисляваме скоростта на леката кола:
    v₁ = 40 + .40 = 40 + 20 = 60 km/h.
  • Отбелязваме с х времето за движение на камиона.
  • Изразяваме чрез х времето за движение на леката кола:
    45 min = h.
    t₁ = x – h.
  • С помощта на формулата s = v.t изчисляваме пътищата s₁ и s₂ и ги записваме в определената колонка на таблицата.
• Съставяме уравнението – Както се вижда от Фигурата уравнението е:
  s₁ = s₂ = 40x 60x – 45 = 40x, т.е. x = = 2h = 2h 15 min.
• Намираме търсеното време: 9h + 2h 15 min = 11h 15 min.
• Верен отговор Г).

Решение:

Броят на всички монети е 20 + 30 + 26 +24 = 100, т.е. броят на всички възможни случаи е n = 100.

а) Броят на всички монети от 1 лв. е 30, т.е. броят на благоприятните случаи е m = 30. Намираме вероятността, като използваме формула (3):

б) Броят на всички монети по-големи от 1 лв. са монетите от 2 лв., които са 20 на брой, т.е. броят на благоприятните случаи е m = 20. Намираме вероятността:

в) Броят на всички монети по-малки от 1 лв. са или монетите от 50 ст., които са 26 на брой, или монетите от 20 ст., които са 24 на брой, т.е. броят на благоприятните случаи са m = 26 + 24 = 50. Намираме вероятността:

а) За верен отговор – 3 точки.

б) За верен отговор – 3 точки.

в) За верен отговор – 3 точки.

Общо 9 точки.

Решение:

а)

• Намираме на колко билета отговаря едно деление от диаграмата – Ира е продала 30 билета. В нейната диаграма има три деления, т.е. едно деление отговаря на 30 : 3 = 10 билета.
• Намираме броя на продадените билети за всяко от останалите момичета:
  • В диаграмата на Руми има 7 деления, т.е. тя е продала 7.10 = 70 билета.
  • В диаграмата на Ели има 4 деления, т.е. тя е продала 4.10 = 40 билета.
  • В диаграмата на Надя има 2 деления, т.е. тя е продала 2.10 = 20 билета.

б) Четирите момичета са продали общо 30 + 70 + 40 + 20 = 160 билета.

а) 3 точки. За всеки правилен отговор на продадените билето от трите момичета – по 1 точка.

б) За правилен отговор – 2 точки.

Общо 5 точки.

Решение:

а) Съставяме и попълваме таблицата (като в предпоследната колонка нанасяме процентното съдържание на цинка:

• Ясно дадените величини са: m₂ = 10 kg, A₂% = 1, A = 30%.
• В първото в-во е дадено процентното съдържание на медта затова, трябва да намерим процентното съдържание на цинка, т.е. A₁% = 100% – 80% = 20%.
• Отбелязваме масата m₁ на I вещество с х и намираме масата m на сместа, т.е. m = m₁ + m₂ = 10 + x.
• Последната колонка я попълваме като използваме произведението m . A.

б) Намираме търсената величина.

• Съставяме уравнението от последната колонка на таблицата:
  m₁.A₁ + m₂.A₂ = m.A 0,2x + 10 = 0,3(10 + x) 0,2x + 10 = 3 + 0,3x, т.е. x = 70.
• Масата на цинка в I вещество е 20% от 70 kg = . 70 = 14 kg.

• За попълване на величините m₂ и A₂% в таблицата – 1 точка.
• За намиране на A₁% – 2 точки.
• За въвеждане на х и получаване на m – 2 точки.
• За съставяне на уравнението – 2 точки.
• За решаване на уравнението – 3 точки.
• За правилен отговор – 2 точки.
• Общо 12 точки.

Решение:

а) Решаваме даденото модулно уравнение:

б) Намираме най-голямата стойност на израза |x – 5|:

• По-големият корен от x₁ и x₂ е x₁ = 4.
• Заместваме с тази стойност в модула |x – 5|:
  |4 – 5| = |– 1| = 1.
• Отговор: 1.

в) Намираме най-малката стойност на израза (x – 1)² + (x – 1)³:

• Преобразуваме израза като го разложим на множители, чрез изнасяне на общ множител пред скоба:
  (x – 1)² + (x – 1)³ = (x – 1)² (1 + x – 1) = x(x – 1)².
• Заместваме с x₂ = – 2, защото x₂ < x₁:
  (– 2).(– 2 – 1)² = (– 2).(– 3)² = – 2.9 = –18.
• Отговор: –18.

а) 2 точки. За всеки вярно намерен корен – по 1 точка.

б) За правилен отговор – 2 точки.

в) За правилен отговор – 2 точки.

Общо 6 точки.

Решение:

• Всички задачи са решени за 5 дни, т.е. n = 5.
• Използваме формула (4), за да намерим по колко задачи средно на ден е решавал ученикът:
  Средно задачи на ден = = 12.
• Отговор: Ученикът решавал средно по 12 задачи на ден.

За верен отговор – 5 точки.

Решение:

• Съставяме таблица от три реда и я попълваме:
  • Ясно дадените величини са: N₁ = 24 прозореца – производителността в I случай, N₂ = 30 прозореца – производителността във II случай; N = 24 прозореца – производителността по план; t₁ = 3 дни – времето за работа в I случай.
  • Отбелязваме с х времето по план, тогава времето за работа във II случай е t₂ = x – 5 (защото 3 дни е работила в І случай и е приключила 2 дни по-рано от предвиденото).
  • От формулата A = N.t изчисляваме: А₁ – работата в І случай, А₂ – работата във ІІ случай и А – работата по план.
• Съставяме уравнението:
  A₁ + A₂ = A 72 + 30(x – 5) = 24x 72 + 30x – 150 = 24x, т.е. x = 13.
• Намираме работата по план, т.е. A = 24x = 24.13 = 312.
• Отговор: Поръчаните прозорци са 312.

За верен отговор – 5 точки.

Решение:

• Решаваме първото уравнение като приложим формулите за съкратено умножение:
  .
• Разкриваме скобите и привеждаме под общ знаменател:
  9x² – 6x + 1 – 3x + 1 = 8x² – 2 + 4.
• Прехвърляме неизвестните от едната страна на уравнението, а известните от другата страна и правим приведение:
  9x² – 6x – 3x – 8x² = – 2 + 4 – 1 – 1 x² – 9x = 0.
• Това уравнение се разпада на две уравнения, защото е нелинейно:
  x² – 9x = 0 x(x – 9) = 0.
  x₁ = 0.

  или

  x – 9 = 0
   

   

  x₂ = 9.
• Решаваме модулното уравнение:
  • Преобразуваме модулното уравнение до основен вид:
    9 – |x – 9| = 9 – |x – 9| = 9 – 9 – |x – 9| = 0 | . (– 1) |x – 9| = 0.
  • Това уравнение се разпада на едно уравнение, защото c = 0:
    |x – 9| = 0 x – 9 = 0 x = 9.
• Сравняваме решенията на двете уравнения – Двете уравнения НЕ са еквивалентни, защото първото уравнение има 2 решения, а второто – само 1.

• 2 точки. За всяка правилно приложена формула (2) и (5) – по 1 точка.
• За освобождаване от знаменател и разкриване на втората скоба в уравнението – 2 точки.
• За преобразуване на уравнението до вида ax² +bx = 0 – 1 точка.
• За всеки правилно намерен корен x₁ и x₂ – по 1 точка.
• За преобразуване на модулното уравнение до основен вид – 1 точка.
• За намирането на решението на модулното уравнение – 1 точка.
• За правилен извод и обосновка – 1 точка.
• Общо 10 точки.

Решение:

• Съставяме и попълваме таблицата (като в предпоследната колонка нанасяме процентното съдържание на телешкото месо):
  • Ясно дадените величини са:
    m₁ = 6 kg, m₂ = 4 kg,
    A₁% = 30%, A₂ = 70%.
  • Намираме масата на сместа по формулата
    m = m₁ + m₂ = 6 + 4 = 10 kg.
  • Отбелязваме концентрацията на телешко месо в сместа с х%.
  • Последната колонка я попълваме като намираме произведението m . A.
• Съставяме уравнението от последната колонка на таблицата:
  m₁.A₁ + m₂.A₂ = m.A 0,3.6 + 0,7.4 = 0,01.10x 1,8 + 2,8 = 0,1x, т.е. x = 46.
• Отговор: Процентното съдържание на телешкото месо в новата кайма е 46%.

• За попълване на величините m₁, m₂, A₁% и A₂% в таблицата – 1 точка.
• За намиране m на сместа – 1 точка.
• За въвеждане на х – 1 точка.
• За намиране на произведението m.A – 2 точки.
• За съставяне на уравнението – 2 точки.
• За решаване на уравнението – 3 точки.
• За правилен отговор – 1 точки.
• Общо 10 точки.