Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
7 клас

Вие сте тук:   || Видове четириъгълници - теория


Видове четириъгълници – Успоредници, Трапец

  Решени тестови задачи


Теория

  • Произволен четириъгълник

    TСВ  Сумата от ъглите на четириъгълника е равна на 360°.

  • Успоредник

    O  Четириъгълник, на които срещуположните страни са успоредни, т.е.

    На чертежа, ако AB || CD и AD || BC ABCD – успоредник.

    TП 1  Четириъгълник, на който срещуположните страни са равни, е успоредник, т.е.

    На чертежа, ако AB = CD и AD = BC ABCD – успоредник.

    TП 2  Четириъгълник, на който една двойка срещуположните страни са успоредни и равни, е успоредник, т.е.

    На чертежа, ако AB || CD и AB = CD (или AD || BC и AD = BC) ABCD – успоредник.

    TП 3  Четириъгълник, на който диагоналите взаимно се разполовяват, е успоредник, т.е.

    На чертежа, ако AO = CO и BO = DO ABCD – успоредник.

    TП 4  Четириъгълник, на който срещуположните ъгли са два по два равни, е успоредник, т.е.

    На чертежа, ако A = C и B = D ABCD – успоредник.

    TСВ 1  В успоредник двойките срещуположни страни са равни, т.е.

    На чертежа, ако ABCD – успоредник AB = CD и AD = BC.

    TСВ 2  В успоредник диагоналите взаимно се разполовяват, т.е.

    На чертежа, ако ABCD – успоредник AO = CO и BO = DO.

    TСВ 3  В успоредник срещуположните ъгли са равни, т.е.

    На чертежа, ако ABCD – успоредник A = C и B = D.

    TСВ 4  В успоредник сборът на прилежащите на коя да е страна ъгли е 180°.

    На чертежа, ако ABCD – успоредник A + D = 180°.

    PABCD = 2a + 2b.

    SABCD = a.ha = b.hb.

    Начини за доказателство, че един четириъгълник е успоредник:

    1. Четириъгълник, на които срещуположните страни са успоредни, т.е. AB || CD и AD || BC.
    2. Четириъгълник, на който срещуположните страни са равни, т.е. AB = CD и AD = BC.
    3. Четириъгълник, на който една двойка срещуположните страни са успоредни и равни, т.е. AB || CD и AB = CD (или AD || BC и AD = BC).
    4. Четириъгълник, на който диагоналите взаимно се разполовяват, т.е. AO = CO и BO = DO.
    5. Четириъгълник, на който срещуположните ъгли са два по два равни, т.е. A = C и B = D.
  • Правоъгълник

    O  Успоредник с прав ъгъл.

    TП 1  Успоредник с равни диагонали е правоъгълник, т.е.

    На чертежа, ако ABCD – успоредник и AC = BD ABCD – правоъгълник.

    TП 2  Четириъгълник с три прави ъгъла е правоъгълник, т.е.

    На чертежа, ако A = B = C = 90° ABCD – правоъгълник.

    TСВ  В правоъгълника диагоналите са равни, т.е.

    На чертежа, ако ABCD – правоъгълник AC = BD.

    PABCD = 2a + 2b.

    SABCD = a.b.

    • Правоъгълникът притежава всички свойства на успоредника.
    • Начини за доказване, че един четириъгълник е правоъгълник:
      1. Четириъгълник с три прави ъгъла, т.е. A = B = C.
      2. Успоредник с прав ъгъл, т.е. ABCD – успоредник и A = 90°.
      3. Успоредник с равни диагонали, т.е. ABCD – успоредник и AC = BD.
    • Диагоналите разделят правоъгълника на четири равнобедрени триъгълника, т.е. ΔABO, ΔBOC, ΔCOD и ΔAOD са равнобедрени.
  • Ромб

    O  Успоредник с равни съседни страни, т.е.

    На чертежа, ако ABCD – успоредник и AB = AD ABCD – ромб.

    TП 1  Успоредник, на който диагоналите са взаимно перпендикулярни, е ромб, т.е.

    На чертежа, ако ABCD – успоредник и AC BD ABCD – ромб.

    TП 2  Четириъгълник, на който всички страни са равни, е ромб, т.е.

    На чертежа, ако AB = BC = CD = AD ABCD – ромб.

    TСВ 1  Диагоналите на ромба са взаимно перпендикулярни, т.е.

    На чертежа, ако ABCD – ромб AC BD.

    TСВ 2  Диагоналите на ромба са ъглополовящи на ъглите му, т.е.

    На чертежа, ако ABCD – ромб BAC = CAD и ABD = DBC.

    PABCD = 4a.

    SABCD = a.ha = AC.BD.

    • Ромбът притежава всички свойства на успоредника.
    • Начини за доказване, че един четириъгълник е ромб:
      1. Четириъгълник с четири равни страни, т.е. AB = BC = CD = AD.
      2. Успоредник с перпендикулярни диагонали, т.е. ABCD – успоредник и AC BD.
      3. Успоредник, при който диагонал е ъглополовяща на един от ъглите му, т.е. ABCD – успоредник и AC – ъглополовяща на A.
  • Квадрат

    О 1  Правоъгълник с равни съседни страни се нарича квадрат, т.е.

    На чертежа, ако ABCD – правоъгълник и AB = BC ABCD – квадрат.

    О 2  Ромб с прав ъгъл се нарича квадрат, т.е.

    На чертежа, ако ABCD – ромб и A = 90° ABCD – квадрат.

    Квадратът притежава всички свойства на успоредника, ромба и правоъгълника, т.е.

    1. има равни страни;
    2. има равни ъгли (равни на 90°);
    3. има равни диагонали, които са перпендикулярни;
    4. диагоналите взаимно се разполовяват;
    5. диагоналите са ъглополовящи на ъглите на квадрата – образуват със страните ъгли по 45°.

    PABCD = 4a.

    SABCD = a2 = AC2.

    • Квадратът притежава всички свойства на успоредника, ромба и правоъгълника.
    • Начини за доказване, че един четириъгълник е квадрат:
      1. Правоъгълник с равни съседни страни, т.е. ABCD – правоъгълник и AB = AD.
      2. Ромб с прав ъгъл, т.е. ABCD – ромб и A = 90°.
  • Трапец. Равнобедрен трапец

    О  Четириъгълник, на който само една двойка срещуположни страни са успоредни, се нарича трапец, т.е.

    На Фиг. 1, ако AB || CD ABCD – трапец.

    О  Трапец с равни бедра, т.е.

    На Фиг. 2, ако ABCD – трапец и AD = BC = c ABCD – равнобедрен трапец.

    TП 1  Ако в един трапец ъглите при основата са равни, той е равнобедрен, т.е.

    Ако ABCD – трапец и BAD = ABC = α (Фиг. 2) ABCD – равнобедрен трапец.

    TП 2  Ако диагоналите на трапец са равни, той е равнобедрен, т.е.

    Ако ABCD – трапец и AC = BD (Фиг. 2) ABCD – равнобедрен трапец.

    TП 3  Ако диагоналите на трапец образуват равни ъгли с основата, то той е равнобедрен, т.е.

    Ако ABCD – трапец и BAC = ABD = β (Фиг. 2) ABCD – равнобедрен трапец.

    TСВ 1  В равнобедрен трапец ъглите при всяка основа са равни, т.е.

    Ако ABCD – равнобедрен трапец ABC = BAD = α (Фиг. 2).

    TСВ 2  Диагоналите на всеки равнобедрен трапец са равни, т.е.

    Ако ABCD – равнобедрен трапец AC = BD (Фиг. 2).

    TСВ 3  Диагоналите на равнобедрен трапец образуват равни ъгли с основите му.

    Ако ABCD – равнобедрен трапец BAC = ABD = β (Фиг. 2).

  • Основни задачи
    Зад. №1:
    Ако страните на успоредник ABCD са AB = a и BC = b ( a > b), да се докаже, че ъглополовящите на ъглите на успоредника се пресичат във върховете на правоъгълник и да се намери диагонала на този правоъгълник.
    • Нека ъглополовящите на ъглите на успоредника се пресичат в точките M, N, P и Q, и BAM = DAM = α1, ADM = MDC = β1, тогава от ABCD – успоредник получаваме:
      BAD + ADC = 180° 1 + 2β1, = 180° α1 + β1, = 90°.
    • Прилагаме Теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔAMD:
      AMD + ADM + DAM = 180° AMD + β1 + α1 = 180° AMD = 90°, тогава NMQ = AMD = 90° (като връхни ъгли).
    • По подобен начин доказваме, че NPQ = 90°.
    • СК – ъглополовяща на C KCB = KCD = α1, но (AB || CD) ∩ CK BKC = KCD = α1 (като кръстни ъгли); DL – ъглополовяща на D ADL = LDC = β1, но (AB||CD) ∩ DL ALD = LDC = β1 (като кръстни ъгли).
    • От ΔKNL NKL + KLN + KNL = 180° KNL = 90°, тогава MNP = KNL = 90°.
    • За четириъгълника MNPQ имаме: NMQ=90°, NPQ = 90°, MNP = 90° MNPQ – правоъгълник.
    • За да намерим МР (диагонала на правоъгълника MNPQ) трябва да докажем, че AKPM успоредник:
      • по-горе доказахме, че BKC = KCD = BAM = MAD = α1, но CKB и MAB са съответни ъгли на правите AM и КР AM || KP.
      • От BKC = KCB = KCD ΔKBC – равнобедрен, т.е. KB = BC = b, тогава AD = BK.
      • ΔAMD ≅ ΔKPB (II признак, защото: 1) AD = BK – по д-во, 2) PKB = MAD = α1 – по д-во, 3) AMD = KPB = 90° – по д-во) AM = KP.
      • AKPM – успоредник, защото: 1) AM = KP – по д-во, 2) AM || KP – по д-во, тогава MP = AK = AB – BK = a – b, т.е. MP = a – b.
    • И така доказахме, че MNPQ – правоъгълник и MP = a – b.
    Зад. №2:
    За успоредник с остър ъгъл α докажете, че:
    а) ъгълът между височините построени през връх на тъпия му ъгъл, е равен на α;
    б) ъгълът между височините построени през връх на острия му ъгъл, е равен на 180°–α.

    Пример:Виж Зад.№12 от теста

    Зад. №3:
    Даден е равнобедрен трапец ABCD с основи AB = a и CD = b, и височина DH = h (H AB). Да се намери дължината на отсечките AH и HB.
    • Нека DH и CM са височини на трапеца тогава HMCD – успоредник (защото DH || CM – като перпендикулярни на една и съща права, DH = CM – като височини) HM = DC = b.
    • ΔAHD ≅ ΔMBC (II признак, защото: AD = BC – по условие, HAD = MBC – по условие, AHD = BMC = 90°) AH = BM = x.
    • AH + HM + MB = AB 2x + b = a AH = .
    • BH = AB – AH = a – .
    Зад. №4:
    Да се докаже, че в равнобедрен трапец симетралата на голямата и малката основа съвпадат.
    • Нека т. M е среда на АВ и MN = sAB MN DC (защото MN AB и AB || DC, тогава AMN = CNM = 90°).
    • ΔAMD ≅ ΔBMC (I признак, защото: AM = BM – по построение, AD = BC – по условие, MAD = MBC – по условие) DM = CM, т.е. ΔDMC – равнобедрен. Но MN – височина в този триъгълник MN – медиана, т.е. т. N – среда на DC или MN = sDC.
    Зад. №5:
    Да се докаже, че в равнобедрен трапец пресечната точка на продължението на бедрата му, пресечната точка на диагоналите му и средите на основите му лежат на една права.
    • Доказваме, че т.О лежи на симетралата sAB: ΔABC ≅ ΔADB (I признак, защото: АВ – обща, AD = BC – по условие, BAD = ABC – по условие) BAO = ABO ΔABO – равнобедрен, т.е. AO = BO т. О sAB или OM = sAB.
    • Доказваме, че т.P лежи на симетралата sAB: От BAD = ABC ΔABP – равнобедрен, т.е. AP = BP т. Р sAB или MP = sAB.
    • Доказваме, че т.N лежи на симетралата sAB:
      1. (АВ || CD) ∩ AD BAD = CDP = ABC = DCP – като съответни ъгли ΔDCP – равнобедрен.
      2. PM – симетрала в равнобедрения ∆ABP PM – ъглополовяща, т.е. APM = MPB.

      от (1) и (2) PN – ъглополовяща в равнобедрения ΔDCP PN – височина и медиана в ΔDCP, т.е. т. N sAB.

    • Така доказахме, че четирите точки M, O, N и P лежат на една права – sAB.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание