Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Алгебра

Вие сте тук:   || Функции. Граници и производна на функция–теория || Основни типове задачи 


Функции. Дефиниционно множество. Граници и производна на функция.

  Теория  Тест за ТУ и Матура   Тест за УНСС  Тест за УНСС – ДМ

Основни типове задачи за Матура и Технически университет

Зад. №1: Да се реши неравенството f(g(x)) ≤ 1, където f(x) = 2x – 1, g(x) = x + 1.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
От лявата страна на неравенството имаме сложна функция и затова на местото на аргумента х във функцията f(x) поставете стойността на g(x).
От лявата страна на неравенството имаме сложна функция и затова
  • f(g(x)) = 2g(x) – 1 = 2x + 1 – 1.
  • f(g(x)) ≤ 1 2x + 1 – 1 ≤ 1 2x + 1 ≤ 2 x + 1 ≤ 1 x ≤ 0.

Зад. №2:
Да се намери координатите на общите точки на графиките на функциите
f(x) = x2 – 3x + 2 и g (x) = x2 + 5x – 6.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Абсцисите на общите точки (ако има такива) на графиките на две функции са решенията на уравнението f(x) = g(x).
  • f(x) = g(x) x2 – 3x + 2 = x2 + 5x – 6 x = 1, т.е. двете функции имат една обща точка с абсциса x = 1.
  • Ординатата на търсената точка намираме като заместим х в една от функциите, т.е. f(1) = 12 – 3.1 + 2 = 0.
  • Търсената точка има координати M(1; 0).

Зад. №3:
Да се намерят стойностите на параметъра a, при които параболите на функциите f(x) = x2 – 1 и g(x) = 3x2 – 2ax + 1 имат единствена обща точка.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Параболите имат единствена обща точка, ако уравнението f(x) = g(x) има едно решение.
  • Общата точка намираме от решенията на уравнението f(x) = g(x), т.е.
    x2 – 1 = 3x2 – 2ax + 1 x2 – ax + 1 = 0.
  • Това уравнение има едно решение, когато D = 0, т.е. a2 – 4 = 0 a1/2 = ±2.
  • Търсените стойности на параметъра са a1/2 = ±2.

Зад. №4: .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Имаме неопределеност , затова разложете числителя на множители.
  • Разлагаме числителя на множители, т.е. 9x2 + 12x – 5 = 9 = (3x + 5)(3x – 1).
  • + 5 = 6.

Зад. №5: .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Имаме неопределеност и в числител имаме корен, затова умножете числителя и знаменателя със спрегнатия израз на числителя.
  • Имаме неопределеност и в числител имаме корен. За да премахнем тази неопределеност умножаваме числителя и знаменателя със спрегнатия израз на числителя:
    .
  • Прилагаме Теорема 3 и получаваме
    .

Зад. №6: .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Имаме неопределеност . За да я премахнете разделете числителя и знаменателя с най-високата степен на неизвестното (или изнасяме неизвестното с най-висока степен) и приложете Формула (8).

Имаме неопределеност . За да я премахнем разделяме числителя и знаменателя с най-високата степен на неизвестното (или изнасяме неизвестното с най-висока степен) и използваме Формула (8):


Зад. №7: .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Имаме неопределеност . Решаваме я както задача 7, но тук използваме това, че = |x| = –x, когато x → – ∞.
= –1.

Зад. №8:
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Имаме неопределеност от вида ∞ – ∞. Тя се премахва, като я преобразувате в неопределеност от вида или . Това става, като умножим и разделим със спрегнатия израз.
= 0.1 = 0.

Зад. №9: .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Имаме граница от тригонометрични функции, затова умножете числител и знаменател с подходящо число така, че да използвате Формула (12).
.

Зад. №10: .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Имаме граница от тригонометрични функции. За да използвате Формула (12) трябва за числител и знаменател да приложите Тригонометрични формули (ТФ.3.1) и (ТФ.1.2) от Таблица на всички тригонометрични тъждества.
.

Зад. №11: Намерете производната на функцията y = sin .
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Щом търсим първата производна на сложна тригонометрична функция използваме правилата за диференциране на тригонометрична функция от Таблица №1.
.

Зад. №12: Намерете производната на функцията f (x) = 1 – |2x + 1|.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Разпишете модула като нулирате подмодулната величина и разгледате два случая. След това записвате функцията за тези случаи.
Функцията f (x) няма производна при x = –, защото лявата и дясната граница са = 2; = –2, т.е. те не съвпадат и затова границата y' (x) = не съществува.

Зад. №13:
Дадена е функцията y = 2x3 – 9x2 + 12x +1. Намерете координатите на точката от графиката на функцията, за която допирателната, минаваща през тази точка, е успоредна на оста Ox.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  • Намираме първата производна: y' = 6x2 – 18x +12.
  • По условие търсим допирателната успоредна на оста 0x, затова α = 0, а от там k = 0 и от формула (15) записваме 6x2 – 18x + 12 = 0 |:6 x2 – 3x + 2 = 0 x1 = 1; x2 = 2.
  • Тогава y(1) = 2.13 – 9.12 + 12.1 + 1 = 6 и y(2) = 2.23 – 9.22 + 12.2 + 1 = 5.
  • Следователно върху графиката на дадената функция има две точки с координати (1; 6) и (2; 5), за които допирателната е успоредна на Ox.

Зад. №14:
Дадена е функцията y = x2 – 2x + 0,25. Намерете координатите на точката от графиката на функцията, за която допирателната, минаваща през тази точка, сключва с оста Ox ъгъл 1350.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  • Намираме първата производна: y' = 2x – 2.
  • Намираме коефициента k = tg = – 1.
  • От геометричния смисъл на производна (15) следва, че: 2x – 2 = – 1 x = 0,5. Тогава y(0,5) = – 0,5.
  • Търсената точка е с координати (0,5; –0,5).

Зад. №15: Определете функцията дали е четна или нечетна.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
Използвайте формули (16) и (17).
  • Заместваме х с –x:
    .
  • Изпълнено е условие (17), т.е. функцията f (x) е нечетна.

Зад. №16:
Да се намерят стойностите на параметъра a, при които функцията f(x) = (a – 2)x2 – 3ax + 2a – 4 е нечетна.
Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
  • Намираме f(–x) = (a – 2)(–x)2 – 3a(–x) + 2a – 4 = (a – 2)x2 + 3ax + 2a – 4.
  • Дадената функция е нечетна когато е изпълнено (17), т.е. f(–x) = – f(x) (a – 2)x2 + 3ax + 2a – 4 = – (a – 2)x2 + 3ax – 2a + 4 2(a – 2)x2 + 2(a – 2) = 0 2(a – 2)(x2 + 1) = 0.
  • Решаваме това уравнение спрямо a:
    • a – 2 = 0, т.е. a = 2.
    • x2 + 2 = 0. Решенията на това уравнение не зависи от параметъра a.
  • Търсената стойност на параметъра е a = 2.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание