Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Геометрия

Вие сте тук:   || Четириъгълници–теория


Четириъгълници

  Задачи  Тест за ТУ и Матура   Тест за УНСС


Теория

  • Четириъгълник вписан в окръжност
    • Един четириъгълник е вписан в окръжност, когато сборът на два негови срещуположни ъгъла е равен на 180°, т.е. (Фиг. I.1)

      (1): A + C = 180° и B + D = 180°.

    • Центърът на описаната около четириъгълник окръжност лежи на пресечната точка на симетралите му.
    • Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност, ако е изпълнено равенството (Фиг. I.1):

      (1.1): OA.OC = OB.OD.

    • Четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност (Фиг. I.2), ако е изпълнено равенството:

      (1.2): MC.MB = MD.MA.

    • Нека точките С и D лежат в една и съща полуравнина относно правата АВ (Фиг. I.2) и ”виждат” отсечката АВ под един и същи ъгъл, т.е. ACB = ADB = φ. Тогава точките А, В, С и D лежат на една окръжност, т.е. четириъгълникът ABCD е вписан в тази окръжност.
      1. Условия (1.1) и (1.2) са достатъчни условия четири точки да лежат на една окръжност, т.е. условия (1.1) и (1.2) са достатъчни, за да твърдим, четириъгълникът е вписан в окръжност.
      2. Условия (1.1) и (1.2) може да се разширят до формули (2) и (3).
  • Четириъгълник описан около окръжност
    • Един четириъгълник е описан около окръжност, когато сборът на две негови срещуположни страни е равен на сбора от другите му две страни, т.е. (Фиг. I.1)

      (2): a + b = c + d.

    • Центърът на вписаната в четириъгълник окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите му.
  • Лице на произволен четириъгълник
    • Лице чрез диагоналите d1 и d2 (Фиг. I.1):

      (3): S = d1.d2 sin φ,

    • Лице на описан четириъгълник:

      (4): S = p.r, където r – радиус на вписаната окръжност и p = .

    • Херонова формула за вписан четириъгълник:

      (5): , където p = .

    • Четириъгълник едновременно вписан и описан за окръжност:

      (6): S = .

  • Успоредник
    1. Произволен успоредник не може да се впише в окръжност. Ако успоредник е вписан в окръжност, то той е правоъгълник.
    2. Произволен успоредник не може да се опише около окръжност. Ако успоредник е описан около окръжност, то той е ромб.
    3. Успоредникът е вид четириъгълник, затова всички твърдения изказани за четириъгълник важат и за успоредник.
    • Сборът от квадратите на страните a и b на всеки успоредник е равен на полусбора от квадратите на диагоналите му d1 и d2 т.е.

      (7): d12 + d22 = 2(a2 + b2).

    • Лице на произволен успоредник:

      (8): S = a.ha = b.hb = a.b.sin α = tg α = d1.d2.sin φ,

      където d1, d2 – диагонали, α = BAD, φ – остър ъгъл между диагоналите му.

      От всички успоредници с едни и същи страни a и b най-голямо лице има правоъгълникът (защото α = 90°).
  • Ромб
    • За диагоналите на ромб е в сила равенството (преобразувана формула (7)):

      (9): d12 + d22 = 4a2.

    • Диагоналите на ромба са перпендикулярни и ъглополовящи на прилежащите му ъгли, затова центъра O1 на вписаната окръжност съвпада с пресечната им точка и освен това:

      (10): ha = hb = 2r.

    • Ако около ромб се опише окръжност, то той е квадрат – това следва от условие (1) за четириъгълник вписан в окръжност, т.е. около ромб не може да се опише окръжност.
    • Лице на ромб:

      (11): S = a.h = a2 sin α = d1.d2 = a. 2r,

      където d1, d2 – диагонали, α = BAD, r – радиус на вписаната окръжност.

  • Правоъгълник
    • За диагоналите на правоъгълникът е в сила равенството (преобразувана формула (7)):

      (12): d1 = d2 = .

    • Ако в правоъгълник се впише окръжност, то той е квадрат – това следва от условие (2) за четириъгълник описан около окръжност, т.е. в правоъгълник не може да се впише окръжност.
    • Пресечната точка на диагоналите на правоъгълника съвпада с центъра на описаната около правоъгълника окръжност.
    • Лице на правоъгълник:

      (13): S = a.b = d2sin α, където d е диагонал, φ – остър ъгъл между диагоналите му.

  • Трапец
    Трапецът е вид четириъгълник, затова всички твърдения изказани за четириъгълник важат и за трапец.
    • Средна основа (или средна отсечка)
      • Oпределение - Отсечка, съединяваща средите на бедрата на трапец.
      • Свойства – Нека точките M и N са среди съответно на бедрата AD и BC на трапеца ABCD (Фиг. 2), то средната основа MN притежава следните свойства:

        (14): MN || AB || CD и MN = .

      • Среди на диагоналите на трапец.

        Основна задача

        Зад. №1:
        Даден е трапец ABCD (Фиг. 2) с голяма основа AB = a и малка основа CD = b. Средната основа MN пресича диагоналите АС и BD съответно в т. Р и т. Q. Да се докаже, че:

        а) точките P и Q са среди на диагоналите AC и BD.

        б) PQ = .

        а) Т. М е среда на AD и MP || CD MP – средна отсечка в ΔACD, т.е. т. Р е среда на АС. По подобен начин доказваме, че т. Q е среда на BD.

        б)

        среди на диагоналите на трапец

        Бележка:

        Отбележете, че средната основа на произволен трапец се дели от диагоналите му на три отсечки, две от които са равни, т.е. MP = QN (Фиг. 2).

    • Равнобедрен трапец – Нека за равнобедрен трапец ABCD (фиг. 2) да имаме означенията: AB = a – голяма основа, CD = b – малка основа, AD = BC – бедра, DH – височина, тогава

      (15): AH = (a – b); BH = (a + b).

    • Формула за сбора от квадратите на диагоналите е изпълнена за:
      (16): d12 + d22 = c2 + d2 + 2ab.
      (17): d12 + d22 = c2 + ab.
    • Трапец описан около окръжност

      T1 Ъгълът между ъглополовящите на два прилежащи ъгъла е равен на 90°.

      T2 Центъра на вписаната в трапец окръжност лежи на пресечната точка на ъглополовящите му.

      T3 Един трапец е описан около окръжност, когато сборът на две негови срещуположни страни е равен на сбора от другите му две страни, т.е. изпълнено е условие (2).

      T4 Височината h на трапец описан около окръжност с радиус r е равна на диаметъра на окръжността, т.е.:

      (18): h = 2r.

      T5 При произволен трапец центърът на вписаната окръжност лежи на средната му основа.

      • Нека т. О – център на вписаната в трапеца ABCD окръжност, а т. Е и т. F – допирните точки на тази окръжност до основите АВ и CD (Фиг. 3). Тогава т. O EF и OE = OF = r.
      • През т. О построяваме права PQ || AB.
      • В трапеца AEFD имаме: OE = OF, PO || AE PO – средна основа, т.е. т. Р – среда на AD.
      • По аналогичен начин от трапеца EBCF следва, че т. Q – среда на BC.
      • Тогава PQ – средна основа в трапеца ABCD като т. О PQ.

      T6 При равнобедрен трапец центърът на вписаната окръжност разполовява средната основа.

      T7 При равнобедрен трапец симетралите на голямата и малката основа съвпадат, като центърът на вписаната в трапеца окръжност лежи върху тях.

      • Нека т. О – център на вписаната в равнобедрения трапец ABCD окръжност, а т. Е и т. F – допирните точки на тази окръжност до основите АВ и CD (Фиг. 4). Тогава AO и BO – ъглополовящи, т.е. ΔABO – равнобедрен.
      • OE = r – височина в ΔABO OE – медиана, т.е. ОЕ – симетрала на АВ.
      • По аналогичен начин доказваме, че ΔDCO – равнобедрен и OF – симетрала на CD.
    • Трапец вписан в окръжност

      T1 Центъра на описаната около трапец окръжност лежи на пресечната точка на симетралите (симетралите на голямата и малка основа съвпадат).

      T2 Един трапец е вписан в окръжност, когато сборът на два негови срещуположни ъгъла е равен на 180°, т.е изпълнено е условие (1).

      T3 Ако един трапец е вписан в окръжност, то той е равнобедрен, т.е. около всеки равнобедрен трапец може да се опише окръжност.

    • Лице на трапец (Фиг. 2)

      (19): S = MN . h = .h.

    • Основни построения при трапец:
      Зад. №2:
      В трапец едната основа е три пъти по-голяма от другата основа. Дължините на бедрата му са 2 cm и 3 cm, а ъгълът между тях е 60°. Намерете лицето на трапеца.
      Зад. №3:
      Даден е трапец с диагонали cm и 4 cm и ъгъл между диагоналите 45°. Намерете лицето на трапеца.

Върни се нагоре Начало ПредходенСледващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание