Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Геометрия

Четириъгълници

Теория Тест за ТУ и Матура Тест за УНСС

Основни типове задачи за Матура и Технически университет

Зад. №1:: В ромб ABCD е вписана окръжност с радиус r, а BAD = 60°.
а) Да се намерят диагоналите и страните на ромба ABCD.
б) Да се намери разстоянието между центровате на описаните окръжности около ΔABC и ΔABD.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а) Нека радиуса на вписаната окръжност отбележим с ОЕ. Тогава от правоъгълните триъгълници ΔAЕO и ΔAOD с ъгли по 30° намерете АО и DO.

б) Нека DH – височина в трапеца ABCD, а т. М е пресечната точка между DH и AO.

Понеже AD = BD = CD, то те са радиуси на описаната около ΔABС окръжност, т.е. т. D е център на описаната около ΔABC окръжност.
От ΔABD – равностранен следва, че т. М е центъра на описаната около ΔABD окръжност.
Търсеното разстояние е дължината на отсечката DM.

Зад. №2:: Диагоналите на успоредника ABCD са AC = d₁ и BD = d₂ (d₁ > d₂), а A = α. Да се намери лицето на успоредника.

Получете едното уравнение от Косинусова теорема за ΔABD.
Получете другото уравнение от Косинусова теорема за ΔABC.
Решете системата чрез изваждане.

Зад. №3:: Диагоналът, прекаран през върха на острия ъгъл на един успоредник, има дължина d и сключва със съседните страни ъгли α и β. Да се намери лицето на успоредника.
(МГУ, 1995)

От Синусова теорема за ΔABC намерете страната a на успоредника.
Използвайте това, че S_ABCD = 2S_ΔABC.

Зад. №4:: Дължините на основите на трапец са a и b. Отсечката, минаваща през пресечната точка на диагоналите на трапеца (т. О) и успоредна на основите му, пресича бедрата BC и AD съответно в точките N и M.
а) Да се докаже, че точка О е среда на MN.
б) Да се намери MN.

а) От ΔMOA ~ ΔDCA и ΔNOB ~ ΔCDB докажете, че MO = NO.

б) От ΔAOB ~ ΔCOD намерете отношението на височините им и след това от ΔMOA ~ ΔDCA намерете МО.

Зад. №5:: В равнобедрен трапец ABCD основите са AB = 10 cm, CD = 4 cm, а бедрото е AD = 5 cm. Намерете:
а) диагонала на трапеца;
б) синуса на ADB;
в) косинуса на DCB;
г) радиуса на описаната и вписаната окръжност.

а) От Формула 15 за Равнобедрен трапец намерете отсечките АН и ВН, и след това от Питагорова теорема за ΔAHD и ΔBHD намерете последователно височината и диагонала на трапеца.

б) От правоъгълния ΔAHD намерете sin α и след това от Синусова теорема за ΔABD намерете
sin ADB.

в) По подобен начин както решавате б).

г) Описаната около трапеца окръжност е същата както и описаната около ΔABD окръжност, затова намерете радиуса на описаната около ΔABD окръжност. Радиусa на вписаната окръжност в трапеца намираме от Теорема 4 (формула 18).

Зад. №6:: Даден е трапец ABCD с бедра AD = 3 cm и BC = 5 cm, в който може да се впише окръжност. Средната основа на трапеца го дели на две части, лицата на които се отнасят както 5:11
а) Да се докаже, че центърът на вписаната в трапеца окръжност лежи на средната му основа;
б) Да се намерят основите на трапеца.

а) Нека окръжността вписана в трапеца се допира до основите АВ и CD съответно в т. Е и т. F, и т. О – център на окръжността. Докажете, че РО е средна основа в трапеца AEFD и OQ – средна основа в трапеца EBCF.

б) Съставете система от две уравнения с две неизвестни:

получете едното уравнение като приложите теорема за вписана окръжност в трапец;
получете другото уравнение от даденото отношение между лицата, на които средната основа дели трапеца.