Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Геометрия

Четириъгълници

Теория Тест за ТУ и Матура Тест за УНСС

Основни типове задачи за Матура и Технически университет

Зад. №1:: В ромб ABCD е вписана окръжност с радиус r, а BAD = 60°.
а) Да се намерят диагоналите и страните на ромба ABCD.
б) Да се намери разстоянието между центровате на описаните окръжности около ΔABC и ΔABD.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

а) Нека радиуса на вписаната окръжност отбележим с ОЕ. Тогава от правоъгълните триъгълници ΔAЕO и ΔAOD с ъгли по 30° намерете АО и DO.

б) Нека DH – височина в трапеца ABCD, а т. М е пресечната точка между DH и AO.

Понеже AD = BD = CD, то те са радиуси на описаната около ΔABС окръжност, т.е. т. D е център на описаната около ΔABC окръжност.
От ΔABD – равностранен следва, че т. М е центъра на описаната около ΔABD окръжност.
Търсеното разстояние е дължината на отсечката DM.

Зад. №2:: Диагоналите на успоредника ABCD са AC = d₁ и BD = d₂ (d₁ > d₂), а A = α. Да се намери лицето на успоредника.

Получете едното уравнение от Косинусова теорема за ΔABD.
Получете другото уравнение от Косинусова теорема за ΔABC.
Решете системата чрез изваждане.

Зад. №3:: Диагоналът, прекаран през върха на острия ъгъл на един успоредник, има дължина d и сключва със съседните страни ъгли α и β. Да се намери лицето на успоредника.
(МГУ, 1995)

От Синусова теорема за ΔABC намерете страната a на успоредника.
Използвайте това, че S_ABCD = 2S_ΔABC.

Зад. №4:: Дължините на основите на трапец са a и b. Отсечката, минаваща през пресечната точка на диагоналите на трапеца (т. О) и успоредна на основите му, пресича бедрата BC и AD съответно в точките N и M.
а) Да се докаже, че точка О е среда на MN.
б) Да се намери MN.

а) От ΔMOA ~ ΔDCA и ΔNOB ~ ΔCDB докажете, че MO = NO.

б) От ΔAOB ~ ΔCOD намерете отношението на височините им и след това от ΔMOA ~ ΔDCA намерете МО.

Зад. №5:: В равнобедрен трапец ABCD основите са AB = 10 cm, CD = 4 cm, а бедрото е AD = 5 cm. Намерете:
а) диагонала на трапеца;
б) синуса на ADB;
в) косинуса на DCB;
г) радиуса на описаната и вписаната окръжност.

а) От Формула 15 за Равнобедрен трапец намерете отсечките АН и ВН, и след това от Питагорова теорема за ΔAHD и ΔBHD намерете последователно височината и диагонала на трапеца.

б) От правоъгълния ΔAHD намерете sin α и след това от Синусова теорема за ΔABD намерете
sin ADB.

в) По подобен начин както решавате б).

г) Описаната около трапеца окръжност е същата както и описаната около ΔABD окръжност, затова намерете радиуса на описаната около ΔABD окръжност. Радиусa на вписаната окръжност в трапеца намираме от Теорема 4 (формула 18).

Зад. №6:: Даден е трапец ABCD с бедра AD = 3 cm и BC = 5 cm, в който може да се впише окръжност. Средната основа на трапеца го дели на две части, лицата на които се отнасят както 5:11
а) Да се докаже, че центърът на вписаната в трапеца окръжност лежи на средната му основа;
б) Да се намерят основите на трапеца.

а) Нека окръжността вписана в трапеца се допира до основите АВ и CD съответно в т. Е и т. F, и т. О – център на окръжността. Докажете, че РО е средна основа в трапеца AEFD и OQ – средна основа в трапеца EBCF.

б) Съставете система от две уравнения с две неизвестни:

получете едното уравнение като приложите теорема за вписана окръжност в трапец;
получете другото уравнение от даденото отношение между лицата, на които средната основа дели трапеца.

Зад. №7:: а) (Теорема на Ваниньон) При последователно съединяване средите на страните на произволен четириъгълник се получава успоредник.
б) Да се докаже, че във всеки четириъгълник сборът от квадратите на диагоналите е два пъти по-голям от сбора на квадратите на отсечките, съединяващи средите на срещуположните му страни.
в) Да се докаже, че диагоналите на един четириъгълник са перпендикулярни тогава и само тогава, когато отсечките съединяващи средите на две срещуположни страни са равни.
г) Нека точките M, N, P и Q са средите на страните AB, BC, CD и AD на четириъгълника ABCD. Да се докаже, че S_ABCD = 2S_MNPQ.

а) Разгледайте отсечките свързващи средите на четириъгълника като средни отсечки в подходящи триъгълници.

б) Използвайте свойствата на средна отсечка в триъгълник и формула (7) за успоредник.

в) Разгледайте два случая: 1 случай: При AC BD докажете, че MP = QN. 2 случай: При MP = QN докажете, че AC BD.

г) Използвайте подточка а) и формула (8).

а)

Нека точките M, N, P и Q са средите на страните AB, BC, CD и AD на четириъгълника ABCD.
PQ е средна отсечка в ΔACD, т.е. PQ || AC и PQ = AC.
Аналогично от ΔABC получаваме MN || AC и MN = AC.
Това означава, че PQ || MN и PQ = MN, т.е. MNPQ – успоредник.

б)

В подточка а) доказахме, че MNPQ е успоредник, в който МР и QN се явяват диагонали. Това са ѝ отсечките съединяващи средите на срещуположните му страни.
MN е средна отсечка в ΔABC, т.е. MN = AC.
Аналогично от ΔDBC получаваме PN = BD.
Използваме формула (7):
MP² + QN² = 2(MN² + PN²) = 2[(AC)² + (BD)²] = (AC² + BD²) AC² + BD² = 2(MP² + QN²).

в)

В подточка а) доказахме, че MNPQ е успоредник.
Нека диагоналите AC и BD на ABCD са взаимно перпендикулярни, т.е. φ = 90° и трябва да докажем, че MP = QN.
- φ = 90°, EN || BD и FN || AC OEN = OFN = φ = 90°.
- От теорема-признак 2 следва, че OFNE – правоъгълник, т.е. α = 90°.
- Аналогично доказваме, че NPQ = NMQ = 90°, т.е. MNPQ – правоъгълник.
- Следователно диагоналите му MP и QN са равни.
Нека MP = QN и трябва да докажем, че AC BD.
- ABCD – успоредник и MP и QN са негови диагонали.
- От теорема-признак 1 следва, че MNPQ – правоъгълник.
- По аналогични разсъждения както по-горе, стигаме до извода, че φ = 90°.

г)

В подточка а) доказахме, че MNPQ е успоредник и MN = AC.
По аналогичен начин доказваме, че PN = BD.
MNPQ – успоредник COF = MNP = α.
Използваме теорема за съседни ъгли:
α + φ = 180° α = 180° – φ.
Използваме формула (8) за успоредника MNPQ и таблица 2 за тригонометричната функция:
S_MNPQ = MN.PN.sin α = AC.BD.sin (180° – φ) = . .BD.AC.sin φ = S_ABCD S_ABCD = 2 S_MNPQ.