Лого за уроци по математика

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура

Вие сте тук:   || Намиране на елементи на триъгълник–теория


Намиране на елементи на триъгълник

  Задачи   Тест за ТУ и Матура    Тест за УНСС

Теория

    Навсякъде в долните формули се използват следните означения: AB = c, AC = b, BC = a, A = α, B = β, C = γ, ma, mb, mc – медиани към съответните страни; l, lb, lc – ъглополовящи към съответните страни; ha, hb, hc – височини към съответните страни; r – радиус на вписаната окръжност; R – радиус на описаната окръжност; Р – периметър, S – лице.
  • Средна отсечка в триъгълник

    O Отсечка, която съединява средите на две от страните на триъгълник.

    На Фиг. 1 точките M, N и P са среди съответно на страните AC, BC и AB, то MN, PM и PN са средни отсечки в ΔABC.

    T1 Права, минаваща през средата на една от страните на триъгълник и е успоредна на втора страна, то тя минава през средата на третата страна (Фиг. 1), т.е.

    От т. M – среда на АС и MN || AB следва, че т. N е среда на ВС.

    T2 Всяка средна отсечка в триъгълник е успоредна на една от страните му и е равна на половината от нея (Фиг. 1), т.е.

    От MN – средна отсечка следва, че MN = AB.

    Зад. №1:
    На чертежа от Фиг.1 е даден ΔABC със страни BC = a, AC = b и AB = c. Да се намери периметъра на триъгълник с върхове средите на тези страни.
    • Точките M, N и P са среди съответно на страните AC, BC и AB, т.е. MN, PM и PN са средни отсечки в ΔABC.
    • Тогава от Теорема 2 следва, че MN = AB; PM = BC и PN = AC.
    • PΔMNP = MN + PM + PN = AB + BC + AC = (AB + BC + AC) = PΔABC.
  • Връзка между страни и ъгли в триъгълник
    • Косинусова теорема (Фиг. 2):

      (1): a2 = b2 + c2 – 2b.c.cos α;

      b2 = a2 + c2 – 2a.c.cos β;

      c2 = a2 + b2 – 2a.b.cos γ.

    • Синусова теорема (Фиг. 2):

      (2): .

    • Неравенства между страни и ъгли в триъгълник – В триъгълник срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл и обратно, срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна.
    • Неравенства на триъгълника:
      • В триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две, т.е.:

        (3): a < b + c, b < a + c, c < a + b.

      • В триъгълник всяка страна е по-голяма от разликата на другите две.

        (4): a > c – b, b > c – a, c > b – a.

  • Допирателни до окръжност
    • Права АС е допирателна до окръжност тогава и само тогава, когато е перпендикулярна на радиуса r в общата точка N на правата и окръжността (Фиг. 3), т.е.

      Ако АС – допирателна до к AC r = ON.

    • Допирателните от външна точка към окръжността са равни (Фиг. 3), т.е.

      Ако АK и АN – допирателни AK = AN.

  • Окръжност вписана в триъгълник (или триъгълник описан около окръжност)
    • Център на вписана в триъгълник окръжност – Ъглополовящите на вътрешните ъгли в триъгълник се пресичат в една точка – центъра О на вписаната в триъгълника окръжност (Фиг. 3).
    • Нека произволен ΔABC има стани AB = c, BC = a и AC = b, и вписаната в него окръжност допира тези страни съответно в точките K, P, N (Фиг. 3). Ако означим с AK = AN = x, BK = BP = y, CP = CN = z и р – полупериметъра на ΔABC, то

      (5): x = p – a = .

      y = p – b = .

      z = p – c = .

  • Окръжност, описана около триъгълник (или триъгълник вписан в окръжност)
    • Център на описана около триъгълник окръжност – Симетралите на трите страни на триъгълник се пресичат в една точка – центъра О на описаната около триъгълника окръжност.

      В зависимост от вида на триъгълника центърът на описаната около триъгълника окръжност (т. О) е на различно место:

      • Ако ΔABC е остроъгълен, т. О е вътрешна за триъгълника (Фиг. 4).
      • Ако ΔABC е правоъгълен, т. О е среда на хипотенузата АВ (Фиг. 5).
      • Ако ΔABC е тъпоъгълен, т. О е външна за триъгълника (Фиг. 6).
    • Права на Ойлер – За всеки произволен триъгълник, ортоцентърът Н, медицентърът М и центърът О на описаната окръжност (пресечната точка на симетралите на страните) лежат на една права, като НМ = 2МО.
    • Формула на Ойлер (за намиране на разстоянието между центровете на вписаната и описаната окръжност на триъгълник) – Ако с d отбележим разстоянието между центровете на вписаната и описаната окръжност на триъгълник, с R – радиуса на описаната окръжност, а с r – радиуса на вписаната окръжност, то

      (6): d = ≥ 0,

      като равенството се получава при равностранен триъгълник (защото тогава центровете на описаната и вписаната окръжност съвпадат).

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Тестове за самоподготовка


Към всяка тема от учебника имаме разработени тестове. Опитайте се да ги решите сами. Ако не успеете, обадете ни се на имейла. Ние ще ви помогнем.

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

тестове по математика

Тестове от изпити


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Физика от Матура


Решили сме тестовете давани на Матура по Физика и НВО (национално външно оценяване) по Физика през последните няколко години.

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка по математика за 7 клас   http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm   http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm   http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Свържете се с нас:

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание