http://www.solemabg.com

Реклама

  • Безплатни онлайн уроци по Математика от учебен център „СОЛЕМА”
  • http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Връзка с нас

  • solema@gbg.bg
  • Оставете мнение във Facebook  Google+

Статистики

  • Bulgarian TOP

Търсене

  • Собствено Търсене

Реклама Google

Календар и време


  • Custom Myspace Clock
  Програма за Самоподготовка по Математика e-maile-mail:   solema@gbg.bg
Вие сте тук:  Съдържание || Намиране на елементи на триъгълник – теория 

    Намиране на елементи на триъгълник

    Съдържание:

  1. Средна отсечка в триъгълник.
  2. Връзка между страни и ъгли в триъгълник.
  3. Допирателни до окръжност.
  4. Окръжност вписана в триъгълник.
  5. Окръжност описана около триъгълник.
  6. Основни типове задачи за Матура и Технически университет.
  7. Тестови задачи за кандидатстване в УНСС.

    Теория

Бележка към Теорема на Талес

  • средна отсечка в триъгълникСредна отсечка в триъгълник
    • Определение:
    • Теореми:
    • Основна задача

      Зад. №1: На чертежа от Фиг.1 е даден ΔABC със страни BC = a, AC = b и AB = c. Да се намери периметъра на триъгълник с върхове средите на тези страни.

      Решение:
  • триъгълникВръзка между страни и ъгли в триъгълник
    • Косинусова теорема (Фиг. 2):

      (1): a2 = b2 + c2 – 2b.c.cos α;
            b2 = a2 + c2 – 2a.c.cos β;
            c2 = a2 + b2 – 2a.b.cos γ.

    • Синусова теорема (Фиг. 2):

      (2):

    • Неравенства между страни и ъгли в триъгълник – В триъгълник срещу по-голяма страна лежи по-голям ъгъл и обратно, срещу по-голям ъгъл лежи по-голяма страна.
    • Неравенства на триъгълника:
      • В триъгълник всяка страна е по-малка от сбора на другите две, т.е.:

        (3): a < b + c, b < a + c, c < a + b.

      • В триъгълник всяка страна е по-голяма от разликата на другите две.

        (4): a > c – b, b > c – a, c > b – a.

  • триъгълникДопирателни до окръжност
    • Права АС е допирателна до окръжност тогава и само тогава, когато е перпендикулярна на радиуса r в общата точка N на правата и окръжността (Фиг. 3), т.е.

      Ако АС – допирателна до к AC r = ON.

    • Допирателните от външна точка към окръжността са равни
      (Фиг. 3), т.е.

      Ако АK и АN – допирателни AK = AN.

  • Окръжност вписана в триъгълник (или триъгълник описан около окръжност)
    • Център на вписана в триъгълник окръжност – Ъглополовящите на вътрешните ъгли в триъгълник се пресичат в една точка – центъра О на вписаната в триъгълника окръжност (Фиг. 3).
    • Нека произволен ΔABC има стани AB = c, BC = a и AC = b, и вписаната в него окръжност допира тези страни съответно в точките K, P, N (Фиг. 3). Ако означим с
      AK = AN = x, BK = BP = y, CP = CN = z и р – полупериметъра на ΔABC, то

      (5): x = p – a = ;
            y = p – b = ;
            z = p – c = .

  • Окръжност, описана около триъгълник (или триъгълник вписан в окръжност)
    • триъгълникЦентър на описана около триъгълник окръжност – Симетралите на трите страни на триъгълник се пресичат в една точка – центъра О на описаната около триъгълника окръжност.
          В зависимост от вида на триъгълника центърът на описаната около триъгълника окръжност (т. О) е на различно место:
      • Ако ΔABC е остроъгълен, т. О е
         вътрешна за триъгълника (Фиг. 4).
      • Ако ΔABC е правоъгълен, т. О е среда на хипотенузата АВ (Фиг. 5).
      • Ако ΔABC е тъпоъгълен, т. О е външна за триъгълника (Фиг. 6).
    • Права на Ойлер – За всеки произволен триъгълник, ортоцентърът Н, медицентърът М и центърът О на описаната окръжност (пресечната точка на симетралите на страните) лежат на една права, като НМ = 2МО.
    • Формула на Ойлер (за намиране на разстоянието между центровете на вписаната и описаната окръжност на триъгълник) – Ако с d отбележим разстоянието между центровете на вписаната и описаната окръжност на триъгълник, с R – радиуса на описаната окръжност, а с r – радиуса на вписаната окръжност, то

      (6): ,

            като равенството се получава при равностранен триъгълник (защото тогава центровете на описаната и вписаната окръжност съвпадат).