Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Геометрия

Вие сте тук:   || Теорема на Талес. Подобни триъгълници–теория


Триъгълник – Теорема на Талес. Подобни триъгълници. Ъглополовящи. Медиани. Височини и симетрали

  Задачи  Тест за ТУ и Матура   Тест за УНСС


Теория

    Навсякъде в долните формули се използват следните означения: AB = c, AC = b, BC = a, A = α, B = β, C = γ, ma, mb, mc – медиани към съответните страни; l, lb, lc – ъглополовящи към съответните страни; ha, hb, hc – височини към съответните страни; r – радиус на вписаната окръжност; R – радиус на описаната окръжност; Р – периметър, S – лице.
  • Теорема на Талес
    • Права теорема – Ако AB || CD (Фиг. 1), то
      (1): .
    • Следствие – Ако AB || CD (Фиг. 1), то
      (2): .
      • От (1) следва, че, ако AB || CD, то .
      • Но (Фиг. 1) OD = OB + BD, OC = OA + AC, тогава:
        .
    • Обратна теорема на Талес – Ако (Фиг. 1), то AB || CD.
  • Подобни триъгълници
    • Определение – Ако ΔABC ~ ΔA1B1C1, то A = B = C и = k, където k е коефициент на подобие (Фиг. 2).
    • Tп Ако две страни от един триъгълник са съответно пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите, заключени между тях са равни, то триъгълниците са подобни (Фиг.2), т.е.:

      Ако A = A1 и B = B1 ΔABC ~ ΔA1B1C1.

      Tп Ако две страни от един триъгълник са съответно пропорционални на две страни от друг триъгълник и ъглите, заключени между тях са равни, то триъгълниците са подобни (Фиг.2), т.е.:

      Ако и B = B1 ΔABC ~ ΔA1B1C1.

      Tп Ако страните на един триъгълник са съответно пропорционални на страните на друг триъгълник, то триъгълниците са подобни (Фиг.2), т.е.:

      Ако ΔABC ~ ΔA1B1C1.

      Tп Два правоъгълни триъгълника са подобни, ако катет и хипотенуза от един триъгълник са съответно пропорционални на катет и хипотенуза от друг триъгълник, т.е.

      Δ ~ Δ1.

    • Свойства на подобни триъгълници – Ако ΔABC ~ ΔA1B1C1, то свойства подобни триъгълници

      (4): = k2.

  • Ъглополовящи в триъгълник
    • Ъглополовящите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която е център на вписаната в триъгълника окръжност.
    • Свойства (Фиг. 3):

      (5): Ако LAB = LAC .

      (6): la2 = AB.AC – BL.CL.

      (7): .

      Формули (6) и (7) може да се запишат и за ъглополовящите към другите страни в триъгълника.
    • Основни задачи
      Зад. №1:
      Даден е равнобедрения ΔABC със страни AB = c, BC = AC = a. Ъглополовящите при върховете А и В пресичат страните ВС и АС съответно в точките N и M.
      а) Да се докаже, че MN е успоредна на АВ.
      б) Намерете дължината на отсечката MN.
      Зад. №2:
      Даден е ΔABC със страни AB = c и AC = b. Построена е ъглополовящата AL (L BC) и през точка L е построена права LP (P AB) и LP || AC. Намерете отношението SΔLPB : SΔABC.
  • Медиани в триъгълник
    • Медианите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича медицентър.
    • Медицентърът дели всяка медиана в отношение 2:1, считано от върха на триъгълника.
    • Формула за медианите в триъгълник:

      (8): 4ma2 = 2(b2 + c2) – a2.

    • Формули за връзка между страна и медиани:

      (9): 9a2 = 4(2mb2 + 2mc2 – ma2).

    • Формули (8) и (9) може да се запишат и за медианите към другите страни в триъгълника.
    • Основни задачи:
      Зад. №3:
      Нека медианата от върха С на ΔABC пресича АВ в т. C1, а точка М е медицентърът на ΔABC с лице S. Да се докаже, че:
      а) всяка медиана разделя триъгълника на два равнолицеви триъгълника;
      б) триъгълниците АМВ, ВМС и СМА са равнолицеви,
      т.е. SΔAMB = SΔBMC = SΔCMA = S.
      в) Лицето на ΔAC1M е равно на една шеста от лицето на ΔABC.
      Зад. №4:
      Нека точка М е медицентърът на ΔABC с лице S и CC1 и BB1 са медиани. Да се намери лицето на ΔC1MB1.
      Зад. №5:
      Нека точките М, N и Р са среди съответно на страните АС, ВС и AB на ΔABC и триъгълник ABC има лице S. Да се:
      а) докаже, че ΔAPM ~ ΔMNC ~ ΔBPN ~ ΔPNM ~ ΔABC.
      б) намери лицето на ΔMNC.
      в) намери лицето на ΔMNP.
  • Височини и симетрали в триъгълник
    • Височините на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър. На чертежа ортоцентърът е отбелязан с т. Н, като на Фиг. 4 ΔABC е остроъгълен, на Фиг. 5 ΔABC е правоъгълен и на Фиг. 6 ΔABC е тъпоъгълен.
    • Симетралите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която е център на описаната около триъгълника окръжност. На чертежа ортоцентърът на описаната окръжност е отбелязан с т. О, като на Фиг. 7 ΔABC е остроъгълен, на Фиг. 8 ΔABC е правоъгълен и на Фиг. 9 ΔABC е тъпоъгълен.
    • Основна задача:
      Зад. №6:
      Нека A1, B1, C1 са петите на височините, спуснати от върховете А, В, С на остроъгълния ΔABC и ABC = β, BAC = α, ACB = γ. Да се докаже, че:
      а) ако т. Н е ортоцентър на ΔABC, то BHC = 180° – α, AHB = 180° – γ, AHC = 180° – β;
      б) ΔAB1C1, ΔA1BC1, ΔA1B1C, ΔA1B1C1 са подобни на ΔABC и за първите три триъгълника да се намери коефициента на подобие;
      в) C1A1B1 = 180° – 2α, A1B1C1 = 180° – 2β, A1C1B1 = 180° – 2γ;
      г) B1C1 = acos α; C1A1 = bcos β; A1B1 = ccos γ;
      д) височините на ΔABC са ъглополовящи на ΔA1B1C1.
      • В равностранен триъгълник медицентърът, ортоцентърът, центърът на вписаната и центърът на описаната окръжност съвпадат, т.е. те лежат върху височината.
      • В равнобедрен триъгълник медицентърът, ортоцентърът, центърът на вписаната и центърът на описаната окръжност лежат върху височината към основата, но не съвпадат.

Върни се нагоре Начало ПредходенСледващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание