Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Геометрия

Триъгълник – Теорема на Талес. Подобни триъгълници. Ъглополовящи. Медиани. Височини и симетрали

Съдържание на темата:

Теорема на Талес.
Подобни триъгълници.
Ъглополовящи в триъгълник.
Медиани в триъгълник.
Височини и симетрали в триъгълник.

Задачи Тест за ТУ и Матура Тест за УНСС

Теория

Бележка:

Навсякъде в долните формули се използват следните означения: AB = c, AC = b, BC = a, A = α, B = β, C = γ, m_a, m_b, m_c – медиани към съответните страни; l_, l_b, l_c – ъглополовящи към съответните страни; h_a, h_b, h_c – височини към съответните страни; r – радиус на вписаната окръжност; R – радиус на описаната окръжност; Р – периметър, S – лице.

Теорема на Талес
- Права теорема – Ако AB || CD (Фиг. 1), то
  (1): .
- Следствие – Ако AB || CD (Фиг. 1), то
  (2): .
  Доказателство:
  От (1) следва, че, ако AB || CD, то .
  
  Но (Фиг. 1) OD = OB + BD, OC = OA + AC, тогава:
  .
- Обратна теорема на Талес – Ако (Фиг. 1), то AB || CD.
Подобни триъгълници
- Определение – Ако ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁, то A = B = C и = k, където k е коефициент на подобие (Фиг. 2).
- Свойства на подобни триъгълници – Ако ΔABC ~ ΔA₁B₁C₁, то
  (4): = k².
Ъглополовящи в триъгълник
- Ъглополовящите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която е център на вписаната в триъгълника окръжност.
- Свойства (Фиг. 3):
  (5): Ако LAB = LAC .
  
  (6): l_a² = AB.AC – BL.CL.
  
  (7): .
  
  Бележка:
  
  Формули (6) и (7) може да се запишат и за ъглополовящите към другите страни в триъгълника.
- Основни задачи
  
  Зад. №1:
  
  Даден е равнобедрения ΔABC със страни AB = c, BC = AC = a. Ъглополовящите при върховете А и В пресичат страните ВС и АС съответно в точките N и M.
  а) Да се докаже, че MN е успоредна на АВ.
  б) Намерете дължината на отсечката MN.
  
  Решение:
  
  Зад. №2:
  
  Даден е ΔABC със страни AB = c и AC = b. Построена е ъглополовящата AL (L BC) и през точка L е построена права LP (P AB) и LP || AC. Намерете отношението S_ΔLPB : S_ΔABC.
  
  Решение:
Медиани в триъгълник
- Медианите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича медицентър.
- Медицентърът дели всяка медиана в отношение 2:1, считано от върха на триъгълника.
- Формула за медианите в триъгълник:
  (8): 4m_a² = 2(b² + c²) – a².
- Формули за връзка между страна и медиани:
  (9): 9a² = 4(2m_b² + 2m_c² – m_a²).
- Основни задачи:
  
  Зад. №3:
  
  Нека медианата от върха С на ΔABC пресича АВ в т. C₁, а точка М е медицентърът на ΔABC с лице S. Да се докаже, че:
  а) всяка медиана разделя триъгълника на два равнолицеви триъгълника;
  б) триъгълниците АМВ, ВМС и СМА са равнолицеви,
  т.е. S_ΔAMB = S_ΔBMC = S_ΔCMA = S.
  в) Лицето на ΔAC₁M е равно на една шеста от лицето на ΔABC.
  
  Решение:
  
  Зад. №4:
  
  Нека точка М е медицентърът на ΔABC с лице S и CC₁ и BB₁ са медиани. Да се намери лицето на ΔC₁MB₁.
  
  Решение:
  
  Зад. №5:
  
  Нека точките М, N и Р са среди съответно на страните АС, ВС и AB на ΔABC и триъгълник ABC има лице S. Да се:
  а) докаже, че ΔAPM ~ ΔMNC ~ ΔBPN ~ ΔPNM ~ ΔABC.
  б) намери лицето на ΔMNC.
  в) намери лицето на ΔMNP.
  
  Решение:
Височини и симетрали в триъгълник
- Височините на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която се нарича ортоцентър. На чертежа ортоцентърът е отбелязан с т. Н, като на Фиг. 4 ΔABC е остроъгълен, на Фиг. 5 ΔABC е правоъгълен и на Фиг. 6 ΔABC е тъпоъгълен.
- Симетралите на всеки триъгълник се пресичат в една точка, която е център на описаната около триъгълника окръжност. На чертежа ортоцентърът на описаната окръжност е отбелязан с т. О, като на Фиг. 7 ΔABC е остроъгълен, на Фиг. 8 ΔABC е правоъгълен и на Фиг. 9 ΔABC е тъпоъгълен.
- Основна задача:
  
  Зад. №6:
  
  Нека A₁, B₁, C₁ са петите на височините, спуснати от върховете А, В, С на остроъгълния ΔABC и ABC = β, BAC = α, ACB = γ. Да се докаже, че:
  а) ако т. Н е ортоцентър на ΔABC, то BHC = 180° – α, AHB = 180° – γ, AHC = 180° – β;
  б) ΔAB₁C₁, ΔA₁BC₁, ΔA₁B₁C, ΔA₁B₁C₁ са подобни на ΔABC и за първите три триъгълника да се намери коефициента на подобие;
  в) C₁A₁B₁ = 180° – 2α, A₁B₁C₁ = 180° – 2β, A₁C₁B₁ = 180° – 2γ;
  г) B₁C₁ = acos α; C₁A₁ = bcos β; A₁B₁ = ccos γ;
  д) височините на ΔABC са ъглополовящи на ΔA₁B₁C₁.
  
  Решение: