Ирационални уравнения и неравенства – Основни типове задачи:

• Изследване на ирационална функция

  Зад. №1: Да се намери най-голямата стойност на функцията

  Вижте упътване
  
  Използвайте Свойство 3 на Ирационалната функция.
  Вижте решение
  Решение:
  

  • Функцията y е ирационална. Полагаме f(x) = –x² + 6x + 7 и от Свойство 1 на Ирационалната функция определяме ДМ.: – x² + 6x + 7 ≥ 0 x [– 1; 7].
  • За да намерим НГС използваме Свойство 3 на Ирационалната функция. Функцията
    f (x) е квадратна следователно графиката е парабола, но коефициентът пред x² е отрицателен затова параболата на f (x) е с върха нагоре, т.е. f(x) има максимум в точката . Тогава НГС на f(x) е и от Свойство 3 на Ирационалната функция намираме, че
  • Решенията са x (1; 2).
  ; 
• Решаване на ирационални уравнения от вида (5)

  Зад. №2: Да се реши уравнението

  Вижте упътване
  
  Използвайте някое от правилата описани в Начини за решаване на ирационални уравнения.
  Вижте решение
  Решение:
  

  I начин (прилагаме I Правило): Без да намираме ДМ. повдигаме на квадрат двете страни на даденото уравнение: 10 – x = (x + 2)² x² + 5x – 6 = 0; D = 25 + 24 = 49 . Непосредствено проверяваме кои от тези корени са решение на даденото уравнение:

  1. За x = – 6 имаме . Равенството не е вярно, т.е. x = – 6 не е решение.
  2. За x = 1 имаме . Равенството е вярно, т.е. x = 1 е решение.

  От (1) и (2) следва, че даденото уравнение има само едно решение x = 1.

  II начин (прилагаме II Правило)
  

  III начин (използваме система (7), но не решаваме неравенството в нея):

  • Нека g(x) = x + 2. Повдигаме на квадрат даденото уравнение и получаваме 10 – x = (x+2)² x² + 5x – 6 = 0, т.е. x₁ = 1 и x₂ = – 6.
  • Проверяваме, кои от тези решения изпълняват неравенството от системата (7):
    • g(1)=1+2=3>0 x = 1 е решение на даденото уравнение;
    • g(–6) = –6+2=–4<0 x = – 6 не е решение на даденото уравнение.

  IV начин (намираме пълното ДМ.)

  • ДМ.:
  • Повдигаме двете страни на даденото уравнение на квадрат: 10 – x = (x+2)² x² + 5x – 6 = 0 x₁ = 1 ДМ. и x₂ = – 6 neprinadlezi.png ДМ. само x = 1 е решение.
  ; 
• Задачи при които подкоренната величина е точен квадрат – Те се свеждат до решаване на модулно уравнение:

  Зад. №3: Да се реши уравнението

  Вижте упътване
  
  Използвайте формула 3 от Ирационални уравнения и неравенства – теория.
  Вижте решение
  Решение:
  

  Не намираме ДМ., а преобразуваме горното уравнение по следния начин: . Решенията на това модулно уравнение са x₁ = 1 и x₂ = 5,5. В даденото уравнение непосредствено проверяваме, че и двете числа са решения. Следователно решенията на дадената задача са: x₁ = 1 и x₂ = 5,5.

  ; 
• Решаване на ирационални уравнения чрез полагане.

  Зад. №4: Да се реши уравнението 2x²+x+=26

  Вижте упътване
  
  Направете подходящо полагане.
  Вижте решение
  Решение:
  

  • От двете страни на даденото уравнение прибавяме 4 и получаваме
    2x²+x+4+=30
  • Полагаме =y, ДМ_y: y ≥ 0. От полагането получаваме 2x² + x + 4 = y²
  • Заместваме в даденото уравнение и получаваме y² + y – 30 = 0; y₁ = 5 ДМ_y,
    y₂ = – 6 ДМ_y.
  • От полагането получаваме = 5 с ДМ_y.:x. Повдигаме на квадрат двете страни: 2x² + x + 4 = 25 с решения x₁ = 3, x₂ = – 3,5. Това са и решенията на даденото уравнение.
  ; 
• Ирационални неравенства

  Зад. №5: Да се реши неравенството

  Вижте упътване
  
  За решаването на това ирационално неравенство използвайте формула (9)
  Вижте решение
  Решение:
  

  От формула (9) имаме две системи

  1. 
  2. 

  Обединяваме решенията от системи (1) и (2) и получаваме решението на даденото уравнение: .

  ;