Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Алгебра

Вие сте тук:   || Разпределение на корените на квадратни уравнения и неравенства–теория


Разпределение на корените на квадратни уравнения и неравенства върху числовата ос

  Задачи   Тест за УНСС


Теория

  • число между корените на уравнение Разпределение на корените на квадратно уравнение върху числовата ос – Нека квадратното уравнение ax2 + bx + c = 0 има корени x1 и x2 като x1 < x2.
    • Числото p се намира между корените
      (т.е. x1 < p < x2), ако е изпълнено a.f(p) < 0, (Фиг.1), или:

      (1): Ако p (x1; x2) a.f (p) < 0.

      1. Ако числото p съвпада с един от двата корена, то (1) е a.f(p) ≤ 0.
      2. Ако p (x1, x2), то условието D > 0 е излишно.
    • число извън двата корена на уравнение, налявоЧислото p се намира извън двата корена наляво (Фиг. 2), ако е изпълнено

      (2):

    • число извън двата корена на уравнение, надясноЧислото q се намира извън двата корена надясно (Фиг. 3), ако е изпълнено

      (3):

    • корените на квадратното уравнение в интервал от числаКорените на квадратното уравнение x1 и x2, принадлежат на интервала от числа p и q (Фиг. 4), ако е изпълнено

      (4):

    • Числото q е между корените на квадратното уравнение Числото q е между двата корена, а мястото на другото число p е наляво от корените (Фиг. 5), ако е изпълнено

      (5):

    • Числото p е между двата корена, а мястото на другото число q е надясно от корените (Фиг. 6),Числото q е между корените на квадратното уравнение ако е изпълнено

      (6):

    • Поне един от корените на квадратното уравнение x1 или x2, принадлежи на интервала от числа p и q, ако е изпълнено

      (7):

      1. Формула (7) се получава като обеденим (5) и (6).
      2. Случаите, в които се прилага формула (7) са, когато е посочено точното място на единия корен на квадратното уравнение, а не е посочено мястото на другия корен.
      3. В (5), (6) и (7) не се включва условието D > 0, защото или p (x1, x2) или q (x1, x2). (виж Бележките към формула (1)).

      Пример: Виж от Зад.№1

  • Разпределение на корените на квадратно неравенство върху числовата ос – В задачи, в които се изисква да се разпределят решенията на квадратно неравенство върху числовата ос, трябва да се вземат предвид всички възможни случаи. Затова ще разгледаме няколко основни задачи.
    • Основни задачи:
      Зад. №1:
      Да се намерят стойностите на реален параметър, за които неравенството f (x)=ax2 + bx + c < 0 е изпълнено за всяко x, принадлежащо на интервала от числа (p; q).

      В зависимост от ориентацията на върха на параболата на функцията f(x) разглеждаме два случая:

      А) Нека a > 0 (Фиг. 8). В зависимост от D може да имаме случаите:

      1. D ≤ 0. По условие търсим отрицателни стойности на f(x) (f(x) < 0). От Таблица №1 се вижда, че такива няма, т.е. неравенството f(x) < 0 няма решение, следователно f(x) < 0 няма решение и в интервала (p; q).
      2. D > 0. Неравенството f(x) < 0 е изпълнено за всяко x (p; q), ако за корените x1 и x2 на уравнението f(x) = 0 е изпълнено x1 ≤ p < q ≤ x2. От Фиг. 8 се вижда, че това е възможно при

        (8):

      От (1) и (2) следва, че при a > 0 неравенството f(x) < 0 има решения всяко x (p; q), ако за D > 0 е изпълнено (8).

      B) Параболата е с върха нагоре, т.е. a < 0 (Фиг. 9). В зависимост от D може да имаме случаите:

      1. D < 0. От Таблица №1 и от Фиг. 9 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са еднакви, то неравенството f(x) < 0 има решение всяко x, следователно f(x) < 0 има решение и за всяко x (p; q).
      2. D ≥ 0. Неравенството f(x) < 0 е изпълнено за всяко x (p; q), ако за корените x1 и x2 на уравнението f(x) = 0 са изпълнени системите:
        (9): x1 ≤ x2 ≤ p или q ≤ x1 ≤ x2

      От (1) и (2) следва, че при a < 0 неравенството f(x) < 0 има решения всяко x (p; q), ако за D < 0, или ако за D ≥ 0 е изпълнено (9).

      Крайните решения следват от обединяването на (А) и (В).

      Зад. №2:
      Да се намерят стойностите на реален параметър, за които неравенството f (x) = ax2 + bx + c > 0 е изпълнено за всяко x, принадлежащо на интервала от числа (p; q).

      В зависимост от ориентацията на върха на параболата на функцията f (x) разглеждаме два случая:

      А) Параболата е с върха надолу, т.е. a > 0 (Фиг. 10). В зависимост от D може да имаме случаите:

      1. D < 0. По условие търсим положителни стойности на f(x) (f(x) > 0). От Таблица №1 и от Фиг. 10 се вижда, че щом знаците на a и f (x) са еднакви, то неравенството f(x) > 0 има решение всяко x, следователно f(x) > 0 има решение и за всяко x (p; q)
      2. D ≥ 0. Неравенството f(x) > 0 е изпълнено за всяко x (p; q), ако за корените x1 и x2 на уравнението f(x) = 0 са изпълнени системите:
        (10): x1 ≤ x2 ≤ p или q ≤ x1 ≤ x2

      От (1) и (2) следва, че при a > 0 неравенството f(x) > 0 има решения всяко x (p; q), ако D < 0, или ако за D ≥ 0 е изпълнено (10).

      B) Параболата е с върха нагоре, т.е. a < 0 (Фиг. 11). В зависимост от D може да имаме случаите:

      1. D ≤ 0. От Таблица №1 и от Фиг. 11 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са различни, то неравенството f(x) > 0 няма решение, следователно f(x) > 0 няма решение и в интервала от числа (p; q).
      2. D > 0. Неравенството f(x) > 0 е изпълнено за всяко x (p; q), ако за корените x1 и x2 на уравнението f(x) = 0 е изпълнено x1 ≤ p ≤ q ≤ x2. От Фиг. 11 се вижда, че това е възможно при
        (11):

      От (1) и (2) следва, че при a < 0 неравенството f(x) > 0 има решения всяко x (p; q), ако за D > 0, е изпълнено (11).

      Крайните решения следват от обединяването на (А) и (В).

      Зад. №3:
      Да се намерят стойностите на реален параметър, за които всички решения на неравенството f(x) = ax2 + bx + c < 0 принадлежат на интервала от числа (p; q).

      В зависимост от ориентацията на върха на параболата на функцията f(x) разглеждаме два случая:

      А) Нека a > 0 (Фиг. 12). В зависимост от D може да имаме случаите:

      1. D ≤ 0. От Таблица №1 и Фиг. 12 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са различни, то неравенството f(x) < 0 няма решение, следователно задачата няма решение в интервала от числа (p; q).
      2. D > 0. Всичките решения на неравенството f(x) < 0 принадлежат на интервала (p; q), ако за корените x1 и x2 на уравнението f(x) = 0 е изпълнено p ≤ x1 < x2 ≤ q. От Фиг. 12 и (4) се вижда, че това е възможно при
        (12):

      От (1) и (2) следва, че при a > 0 всичките решения на неравенството f(x) < 0 принадлежат на интервала (p; q), ако е изпълнено (12).

      B) Параболата е с върха нагоре, т.е. a < 0 (Фиг. 13). В зависимост от D може да имаме случаите:

      1. D ≤ 0. От Таблица №1 и от Фиг. 13 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са еднакви, то f(x) < 0 има решение всяко x, т.е не всички решения принадлежат на интервала (p; q).
      2. D > 0. От Таблица №1 и от Фиг. 13 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са еднакви, то неравенството f(x) < 0 има решение x (–∞; x1) (x2; +∞), т.е не всички решения принадлежат на интервала (p; q). Затова при даденото условие и при D > 0 задачата няма решение.

      От (А) и (В) следва, че всички решения на неравенството f(x) < 0 принадлежат на интервала (p; q), ако е изпълнено (12).

      Зад. №4:
      Да се намерят стойностите на реален параметър, за които всички решения на неравенството f(x) = ax2 + bx + c > 0 принадлежат на интервала от числа (p; q).

      В зависимост от ориентацията на върха на параболата на функцията f(x) разглеждаме два случая:

      А) Параболата е с върха надолу, т.е. a > 0 (Фиг. 14). В зависимост от D може да имаме случаите:

      1. D < 0. От Таблица №1 и от Фиг. 14 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са еднакви, то неравенството f(x) > 0 има решение за всяко x, т.е. не всички решения принадлежат на интервала (p; q). Затова при даденото условие и при D < 0 задачата няма решение в интервала от числа (p; q).
      2. D ≥ 0. От Таблица №1 и от Фиг. 14 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са еднакви, то неравенството f(x) > 0 има решение x (–∞; x1) (x2; +∞), т.е не всички решения принадлежат на интервала (p; q). Затова при даденото условие и при D ≥ 0 задачата няма решение.

      B) Параболата е с върха нагоре, т.е. a < 0 (Фиг. 15). В зависимост от D може да имаме случаите:

      1. D ≤ 0. От Таблица №1 и от Фиг. 15 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са различни, то неравенството f(x) > 0 няма решение, следователно f(x) > 0 няма решение в интервала от числа (p; q).
      2. D > 0. Всичките решения на неравенството f(x) > 0 принадлежат на интервала (p; q), ако за корените x1 и x2 на уравнението f(x) = 0 е изпълнено p ≤ x1 ≤ x2 ≤ q. От Фиг. 15 и (4) се вижда, че това е възможно при
        (13):

      От (1) и (2) следва, че при a < 0 всичките решения на неравенството f(x) > 0 принадлежат на интервала (p; q), ако е изпълнено (13).

      От (А) и (В) следва, че всички решения на неравенството f(x) > 0 принадлежат на интервала (p; q), ако е изпълнено (13).

      Зад. №5:
      Да се намерят стойностите на реален параметър, за които неравенството f(x) = ax2 + bx + c < 0 има решение в интервала от числа (p; q).

      В тази задача се търсят стойностите на реален параметър, за които неравенството f(x) < 0 има едно решение в интервала от числа (p; q), а мястото на другото не е уточнено. Подробното анализиране на различните случаи е трудоемко, затова условието се променя и решаването протича на два етапа: Първо се намират стойностите на параметъра, за които неравенството f(x) < 0 НЯМА решения в интервала (p; q) и след това получените стойности се изключват от интервала (–∞; +∞).

      За да намерим стойностите на параметъра, за които неравенството f(x) < 0 няма решения в интервала (p; q), изследваме ориентацията на параболата.

      А) Параболата е с върха надолу т.е. a > 0 (Фиг. 16). В зависимост от D може да имаме случаите:

      1. D ≤ 0. От Таблица №1 и от Фиг. 16 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са различни, то неравенството f(x) < 0 няма решение, следователно f(x) < 0 няма решение и в (p; q).
      2. D > 0. Неравенството f(x) < 0 няма решения в интервала (p; q), ако за корените x1 и x2 на уравнението f(x) = 0 са изпълнени системите:
        (14): x1 < x2 ≤ p или q ≤ x1 < x2

      От (1) и (2) следва, че при a > 0 неравенството f(x) < 0 няма решение в интервала (p; q), ако D ≤ 0, или ако е изпълнено (14). Изключваме тези стойности от интервала (–∞; +∞) и намираме стойностите на параметъра, при които неравенството f(x) < 0 има едно решение в интервала (p; q).

      B) Параболата е с върха нагоре, т.е. a < 0. Неравенството f(x) < 0 няма решение в интервала от числа (p; q), ако за корените x1 и x2 на уравнението f(x) = 0 е изпълнено x1 ≤ p < q ≤ x2. От Фиг. 17 се вижда, че това е възможно при
      (15):

      Следователно при a < 0 неравенството f(x) < 0 няма решение в интервала (p; q), ако е изпълнено (15). Изключваме тези стойности от интервала (–∞; +∞) и намираме стойностите на параметъра, при които неравенството f(x) < 0 има едно решение в интервала (p; q).

      Крайните решения следват от А) и В).

      Зад. №6:
      Да се намерят стойностите на реален параметър, за които неравенството f(x) = ax2 + bx + c > 0 има решение в интервала от числа (p; q).

      В тази задача се търсят стойностите на реален параметър, за които неравенството f(x) > 0 има едно решение в интервала от числа (p; q), а мястото на другото не е уточнено. Подробното анализиране на различните случаи е трудоемко, затова условието се променя и решаването протича на два етапа: Първо се намират стойностите на параметъра, за които неравенството f(x) > 0 НЯМА решения в интервала (p;q), и след това получените стойности се изключват от интервала (–∞; +∞).

      За да намерим стойностите на параметъра, за които неравенството f(x) > 0 няма решения в интервала (p; q), изследваме ориентацията на параболата.

      А) Параболата е с върха надолу (Фиг. 18), т.е. a > 0. Неравенството f(x) > 0 няма решение в интервала от числа (p; q), ако за корените x1 и x2 на уравнението f(x) = 0 е изпълнено x1 ≤ p < q ≤ x2. От Фиг. 18 се вижда, че това е възможно при
      (16):

      Следователно при a > 0 неравенството f(x) > 0 няма решение в интервала (p; q), ако е изпълнено (16). Изключваме тези стойности от интервала (–∞; +∞) и намираме стойностите на параметъра, при които неравенството f(x) > 0 има едно решение в интервала (p; q).

      B) Параболата е с върха нагоре, т.е. a < 0 ( Фиг. 19). В зависимост от D можем да имаме случаите:

      1. D ≤ 0. От Таблица №1 и от Фиг. 19 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са различни, то неравенството f(x) > 0 няма решение, следователно f(x) > 0 няма решение в интервала от числа (p; q).
      2. D > 0. Неравенството f(x) > 0 няма решения в интервала (p; q), ако за корените x1 и x2 на уравнението f(x) = 0 са изпълнени системите
        (17): x1 ≤ x2 ≤ p или q ≤ x1 ≤ x2

      От (1) и (2) следва, че при a < 0 неравенството f(x) > 0 няма решение в интервала (p; q), ако D ≤ 0, или ако е изпълнено (17). Изключваме тези стойности от интервала (–∞; +∞) и намираме стойностите на параметъра, при които неравенството f(x) > 0 има едно решение в интервала (p; q).

      Крайните решения следват от А) и В).

      1. Ако коефициентът пред x2 зависи от параметъра, се разглеждат два случая:

        • При a = 0, т.е. неравенството не е квадратно и непосредствоно проверяваме дали неравенството изпълнява даденото условие;

        • При a ≠ 0, неравенството е квадратно и продължаваме със следващите стъпки.

      2. Намираме D. Ако D > 0 за всяко m (където m е параметър) или D е точен квадрат, долните разсъждения се опростяват.
      3. Определяме ориентацията на върха на параболата. Ако коефициентът пред x2 зависи от параметъра се разглеждат два случая:

        • При a < 0

        • При a > 0.

        И за двата случая чертаем чертеж и прилагаме Таблица №1.

      4. Разглеждаме всички възможни разположения на корените x1 и x2 върху числовата ос според условието и върхът на параболата.
      5. Обединяваме всички възможни случаи.

Върни се нагоре Начало ПредходенСледващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание