Щом числото 0 е между корените, то уравнението има два различни корена и използваме формула (1):
  • a = 4 > 0, т.е. върхът на парабулата е надоло;
  • f(0) = 4.0² – 4(m – 1).0 – 3m + 13 = –3m + 13 4(– 3m + 13) < 0 m > , т.е. при m > числото 0 се намира между корените на даденото уравнение.

1. Даденото уравнение е линейно, когато m – 2 = 0, т.е. m = 2. При тази стойност на параметъра проверяваме дали даденото уравнение има корен с исканото свойство: 0.x² – (6 – 1)x + 4 + 1 = 0, т.е. x = 1 и абсолютната му стойност е по-малка от 3. Следователно m = 2 е решение на задачата.
2. Даденото уравнение е квадратно, когато m – 2 ≠ 0, т.е. m ≠ 2. При тази стойност на параметъра даденото уравнение може да има единичен или двоен корен, като за тези корени е изпълнено |x₁| < 3 – 3 < x₁ < 3 и |x₂| < 3 – 3 < x₂ < 3 т.е. – 3 < x₁ ≤ x₂ < 3. Затова използваме Формула (4) и Фиг. 4:
   

В случая имаме Основна задача 2. Коефициентът пред x² зависи от параметъра затова разглеждаме случаите:

1. Ако m = 0. Даденото неравенство е линейно и има решение 0x² +(0 +1)x + 0 = x > 0 и очевидно е изпълнено за x > 1. Следователно m = 0 е решение на задачата.
2. Нека сега m ≠ 0. Изследваме в зависимост от ориентацията на върха на параболата като разглеждаме случаите:
   1. Параболата е с върха надолу (Фиг. 1), т.е. m > 0. Намираме дискриминантата D = (m + 1)² – 4m² = – 3m² + 2m + 1 = (1 – m)(3m + 1). Изследваме според знакът на дискриминантата:
      1. При . Таблица №1 в тема „Квадратни неравенства” от Самоподготовката и от графика I на Фиг. 1 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са еднакви, то неравенството f(x) > 0 е изпълнено за всяко x, следователно то е изпълнено и за всяко x > 1. Като засечем с (I) получаваме, че при m (1; +∞) неравенството f(x) > 0 е изпълнено за всяко x > 1. Това са решенията в този случай.
      2. При D ≤ 0 (графика II на Фиг. 1). Неравенството f(x) > 0 е изпълнено за ?x > 1, ако за корените x₁ и x₂ на уравнението f(x) = 0 е изпълнено условие (10) от Основна задача 2:
         
         Като засечем с (I) получаваме, че при m (0; 1] неравенството f(x) > 0 е изпълнено за всяко x > 1. Това са решенията в този случай.
      От обединението на (1) и (2) следва, че при m (0; +∞) неравенството f(x) > 0 е изпълнено за всяко x > 1.
   2. Параболата е с върха нагоре (Фиг. 2), т.е. m < 0. В зависимост от знака на дискриминантата D разглеждаме случаите:
      1. При . Таблица №1 в тема „Квадратни неравенства” от Самоподготовката и от графика I на Фиг. 1 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са различни, то неравенството f(x) > 0 няма решение, следователно неравенството f(x) > 0 няма решение и за x > 1. Това са решенията в този случай.
      2. При D ≤ 0 (графика II на Фиг. 1). От Фигурата се вижда, че в този случай решенията на неравенството f(x) > 0 са крайният интервал (x₁; x₂), и очевидно, f(x) > 0 не е изпълнено за всяко x > 1. Това са решенията в този случай.
   От обединението на (1) и (2) следва, че при m < 0 неравенството f(x) > 0 няма решение за x > 1.
От обединението на (I) и (II) следва, че при m (0; +∞) неравенството f(x) > 0 е изпълнено за всяко x > 1.

Ще решим задачата по два начина:

I начин

Имаме Основна задача 6. Разглеждаме случаите:

1. При m – 1 = 0, т.е. m = 1 даденото неравенство е линейно. Заместваме в него и получаваме: 0.x² + (2 – 3)x + 1 – 3 > 0 с решения x < – 2. Условието се изпълнява, затова правим извода, че m = 1 е решение.
2. При m – 1 ≠ 0, т.е. m ≠ 1 даденото неравенство е квадратно. Намираме
   D = (2m – 3)² – 4(m – 3)(m – 1) = 4m – 3. Променяме условието като търсим стойностите на параметъра m, при които неравенството f(x) > 0 няма решение в интервала (–∞; 1).Изследваме според знака на D:
   1. При a > 0, т.е. m – 1 >> 0 или m > 1 параболата е с върха надолу. Неравенството f(x) > 0 няма решение в интервала от числа (–∞; 1), ако за корените x₁ и x₂ на уравнението f(x) = 0 е изпълнено x₁ ≤ –∞ > 1 ≤ x₂. Очевидно това е невъзможно. Следователно при m > 1 неравенството f(x) > 0 неможе да няма решения в интервала (–∞; 1). Следователно при m > 1 неравенството f(x) > 0 има поне едно решение в интервала (–∞; 1).
   2. При a < 0 т.е. m – 1 < 0, т.е. m < 1 параболата е с върха нагоре (Фиг. 2). В зависимост от D можем да имаме случаите:
      1. При . Таблица №1 в тема „Квадратни неравенства” от Самоподготовката и от графика I на Фиг.2 се вижда, че щом знаците на a и f(x) са различни, то неравенството f(x) > 0 няма решение. Засичаме с (II) и получаваме, че при m ≤ неравенството f(x) > 0 няма решение и в (–∞; 1). Изключваме тези стойности от целия интервал (–∞; +∞) и получаваме, че при неравенството f(x) > 0 има поне едно решение в (–∞; 1).
      2. При , неравенството f(x) > 0 няма решения в интервала (–∞; 1), ако за корените x₁ и x₂ на уравнението f(x) = 0 e изпълнена Формула (17) от Основна задача 6:
         
         Засичаме с (II) и получаваме, че няма стойности на параметъра m, при която неравенството f(x) > 0 да няма решение в (–∞; 1).
   От (I) и (II) следва, че при неравенството f(x) > 0 има поне едно решение в (–∞; 1).

II начин

1. При m – 1 = 0, т.е. m = 1 даденото неравенство е линейно. Заместваме в него и получаваме: 0.x² + (2 – 3)x + 1 – 3 > 0 с решения x < – 2. Условието се изпълнява, затова правим извода, че m = 1 е решение.
2. При m – 1 ≠ 0, т.е. m ≠ 1 даденото неравенство е квадратно. Коефициентът a = m – 1 пред x² се анулира при m = 1, а дискриминантата D = 4m – 3 при m = . Всички случаи на параболата на функцията f(x) за различните стойности на m са представена на Фиг. 3.
   Разглеждаме случаите:
   1. При m ≤ от Таблица №1 в тема „Квадратни неравенства” от Самоподготовката и от графиките представени на а), б) и в) на Фиг. 3 се вижда, че даденото неравенство f(x) > 0 няма решение, следователно то няма решение и в интервала (–∞; 1)
   2. При , за да бъде изпълнено условието на задачата, имаме следните възможности (графика в) от Фиг. 3):
      1. . Засичаме с (II) и получаваме, че в този случай няма стойности на m, при които неравенството f(x) > 0 да има решение в интервала (–∞; 1).
      2. 
   3. При m > 1 от графика г) на Фиг. 3 виждаме, че условието на задачата се изпълнява за всяко m (разбира се за всяко m > 1.