Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Алгебра

Вие сте тук:   || Квадратни уравнения-теория


Квадратни уравнения. Квадратна функция. Биквадратни уравнения

  Задачи  Тест за ТУ и Матура  Тест за УНСС


Теория

  • Определение за квадратно уравнение – Уравнение от вида:
    (1):  ax2 + bx + c = 0,
    където a ≠ 0, b и c са реални коефициенти, се нарича квадратно уравнение.

    При a = 0 уравнението (1) се превръща в линейно и тогава уравнението има един корен.
    При a ≠ 0, израза D = b2 – 4ac се нарича дискриминанта.

  • Брой на решенията на уравнение (1) – В зависимост от знака на дискриминантата разглеждаме случайте:
    • Уравнението (1) ИМА реални различни корени, ако
      (2):
      Тези корени се намират по формула
      (3):
      Ако b е четно число, означаваме и дискриминантата има вида D1 = k2 – ac. В този случай използваме съкратената формула:.
    • Уравнението (1) ИМА един двоен реален корен, ако
      (4):
      Този корен се намира по формулата: x1 = x1 =
    • Уравнението (1) НЯМА реални корени, ако
      (5):
  • Разлагане на квадратния тричлен на множители – Нека x1 и x2 са корени на уравнение (1).
    • Ако D > 0, то имаме ax2 + bx + c = a (x – x1)(x – x2).
    • Ако D = 0, то имаме ax2 + bx + c = a (x – x1)2.
    • Ако D < 0, то тричленът ax2 + bx + c не се разлага на множители.
  • Формули на Виет – Ако уравнение (1) има реални корени x1 и x2, то за тях са в сила формулите:
    x1 + x2 = –; x1.x2 = .
  • Условия за определяне знаците на корените на уравнение (1)
    • Уравнението ИМА положителни корени (може и да са еднакви) – ако x1 и x2 > 0, то
      (6):
    • Уравнението ИМА два различни положителни корени – ако x1 ≠ x2 > 0, то
      (7):
    • Уравнението ИМА отрицателни корени (може и да са еднакви) – ако x1 и x2 < 0, то
      (8):
    • Уравнението ИМА два различни отрицателни корени – ако x1 ≠ x2 < 0, то
      (9):
    • Уравнението ИМА един положителен и един отрицателен корен – ако x1 < 0 и x2 > 0 (или x1 > 0 и x2 < 0), то
      (10): x1.x2 < 0.

       

      В горното уравнение условието D > 0 е излишно условие, защото от x1.x2 < 0 < 0 a.c < 0
      D = b2 – 4ac > 0.
  • Решаване на квадратни уравнения:
    • с помощта на формулите от (2) до (5).
    • алгебричен начин – Уравнение (1) се разлага на множители до уравнение от вида
      (11): (x – a)(x – b) = 0.
      Уравнение (11) се разпада на две уравнения
      (12): x – a = 0 и x – b = 0,
      които се решават като линейни.
    • графичен начин – Пресечните точки на графиката на функцията f(x) с абцизната ос (ако има такива), са решенията на уравнението f(x) = 0 (точките x1 и x2 на Фиг. 2) .
      Ако имаме две функции f(x) и g(x), то решенията на уравнението f(x) = g(x), са пресечните точки на графиките на двете функции. Ако графиките на двете функции не се пресичат, то даденото уравнение няма решение.
  • Решаване на рационални уравнения свеждащи се до квадратни:
    • Намираме ДМ: Една дроб има смисъл, когато знаменателят ѝ е различен от 0. Затова, ако уравнението е = 0, то ДМ: b ≠ 0.
    • Привеждаме уравнението до уравнение от вида (11) или до квадратно (1).
  • Квадратна функция – Нека лявата страна на (1) положим y = f(x) = ax2 +bx +c. Функцията y се нарича квадратна с аргумент (независима променлива) x. В общия случай квадратната функция има ДМ.: x (– ∞; + ∞).
  • Свойства на квадратната функция
    • Свойство 1 – Графиката на квадратната функция е парабола. Ако коефициентът a > 0, параболата е с върха надолу (Фиг. 2). Ако коефициентът a < 0, параболата е с върха нагоре (Фиг. 3).

      Ос на симетрия на параболата – права, успоредна на оста Oy и минаваща през върха на параболата.

      x – тата координата на върха на параболата се намира по формулата
      xv = .

    • Свойство 2 – От фиг. 2 и фиг. 3 се вижда, че при a > 0 функцията f(x) е намаляваща в интервала и растяща в интервала . При a < 0 функцията f(x) растяща в интервала и намаляваща в интервала .
    • Свойство 3 – От фиг. 2 и фиг. 3 се вижда, че при a > 0 функцията f(x) има най-малка стойност (min f(x)), която приема при x = , но няма най-голяма стойност. При a < 0 функцията f(x) има най-голяма стойност (max f(x)), която приема при x = , но няма най-малка стойност.
    • Свойство 4 – Как се изменя знакът на квадратната функция f(x) в зависимост от D и a се вижда от
  • Биквадратно уравнение – Биквадратните уравнения имат вида ax4 + bx2 + c = 0, където a≠0, b и c са реални коефициенти.
    • Биквадратните уравнения се решават чрез полагането x2 = y, ДМy: y ≥ 0 и решаваме съответното квадратно уравнение ay2 + by + c = 0. Ако това последно уравнение има корени y1 и y2, то следва, че решаване на биквадратни уравнения
    • Броят на корените на биквадратното уравнение се определят от

Върни се нагоре НачалоСледващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание