Квадратни уравнения – Основни типове задачи:
Зад. №1: Да се намери най-голямата стойност на функцията y = – 2x2 – 8x + 10
Вижте упътване
Вижте решение
Решение:
- Дадената функция е квадратна, затова графиката
е парабола.
- Понеже – 2 < 0 параболата е с върха нагоре, тогава функцията няма НМС, а НГС съвпада с max на функцията.
- Намираме x =
= 
= – 2
- max y(–2) = – 2.(– 2)2 – 8(– 2) + 10 = 18
- Дадената функция има max y(–2) = 18 и няма НМС.
;
Зад. №2: Най-малката стойност на функцията f(x) = 2x2 – 6x + a в интервала [1;2] е 2,5. Намерете най-голямата стойност на функцията f(x) в интервала [–2;–1].
Вижте упътване
1)Намерете параметъра а от равенството min f(x) = 2,5;
2)Изследвайте получената квадратна функция в интервала [–2;–1].
Вижте решение
Решение:
- Графиката на функцията f(x) e парабола и понеже 2 > 0, то параболата е с върха надолу.
- НМС се получава при
(1,5) = 2.1,52 – 6.1,5 + a = 2,5 a = 7
- Дадената функция добива вида f(x) = 2x2 – 6x + 7. Графиката е парабола с връх надолу като има min при x = 1,5, но 1,5
[–2;–1], тогава функцията е само намаляваща в [–2;–1] и НГС е при x = –2.
- max f(–2) = 27
;
Зад. №3: Да се намери за кои стойности на параметъра m уравнението x2 – 2(m – 1)x + 1 = 0 има реални различни корени x1 и x2, за които е изпълнено условието 
= 4m – 3
Вижте упътване
Вижте решение
Решение:
- от формула 2 следва, че D = (m – 1)2 – 1 = m2 – 2m + 1 – 1 = m2 – 2m =
m(m – 1) > 0 
m 
(–∞; 0) 
(2; +∞)
- от формулите на Виет следва, че x1 + x2 = 2(m – 1); x1.x2 = 1;
4(m – 1)2 – 2 = 4m – 3- Получаваме квадратното уравнение 4m2 – 12m + 5 = 0, D = 16
- Търсените решения са m =
;
Зад. №4: Да се намерят стойностите на реалния параметър m, за които уравнението
(m – 2)x2 – 2(2m + 1)x + 2m + 1 = 0:
а) няма реални корени;
б) има реални корени;
в) има два положителни корена изпълняващи неравенството x1 + x2 > 
;
г) има два отрицателни реални корена;
д) има два реални корена с различни знаци.
Вижте упътване
Вижте решение
;
