Логаритмични уравнения и неравенства – Основни типове задачи:
Зад. №1: Да се намери най-малката стойност на функцията 
Вижте упътване
Вижте решение
Решение:
Дадената функция е логаритмична с основа a = 
0<a<1, т.е. функцията y е намаляваща. Затова ще използваме (2) от Свойствата на Логаритмичната функция и ще я изследваме за най-малката стойност в интервала на ДМ.
- Намираме ДМ.: –x2+4x–3>0 x
(1; 3)
- Полагаме f(x) = –x2+4x–3. Графиката на тази функция е парабола с върха нагоре (защото a = – 1). Затова максималната
стойност е в точката 
, т.е.
;
Зад. №2: Да се реши уравнението log0,5(4x – x2) = – 2
Вижте упътване
Вижте решение
Решение:
- ДМ.: 4x – x2 > 0 x (0; 4)
;
Зад. №3: Да се реши уравнението log3(x2 – 4)2 = 2
Вижте упътване
Вижте решение
Решение:
- ДМ.: (x2 – 4)2 > 0 x1/2 ≠ ± 2
;
Зад. №4: Да се реши уравнението 
Вижте упътване
Вижте решение
Решение:
- ДМ.:
- Преобразуваме даденото уравнение до уравнение от вида вида (17)
- Решаваме полученото ирационално уравнение
- Корена x = 2 принадлежи на ДМ. следователно е решение на даденото уравнение.
;
Зад. №5: Да се реши уравнението 
Вижте упътване
Сменете основата и положете log3x = y ≠ 0.
Вижте решение
Решение:
- ДМ.:
- Прилагаме формули (6) и (7), а за смяна на основата използваме формула (5):
- Полагаме log3x = y ≠ 0 и получаваме:
- От полагането получаваме:
- log3x = 2 x = 32 x = 9;
- log3x = – 1 x = 3– 1 x = .
Зад. №6: Да се реши уравнението log5(5x) = log5x5 – 1
Вижте упътване
Вижте решение
Решение:
- ДМ.:
- Преобразуваме с помоща на формулите (13) и (6)
log55 + log5x = 5log5x – 1 5log5x – log5x = 1 + 1 log5x = 
;
Зад. №7: Намерете при кои стойности на параметъра a, уравнението 
lg(ax) = lg(x + 1) има точно едно решение.
Вижте упътване
Преобразувайте даденото логаритмично уравнение до квадратно и разгледайте случаите:
- Квадратното уравнение да има един корен;
- Квадратното уравнение да има два корена, като числото – 1 е между тях.
Решение:
- ДМ.a:
- Решаваме даденото уравнение: lg(ax) = 2lg(x + 1) lg(ax) = lg(x + 1)2
ax = (x + 1)2, т.е.
(А): f(x) = x2 – (a – 2)x + 1 = 0.
- Даденото уравнение ще има точно едно решение, когато квадратното уравнение (А) има:
- едно решение – Това е възможно при
- D = (a – 2)2 – 4 = a2 – 4a = 0; a1 = 0, a2 = 4
- При a1 = 0 не е изпълнено ax>0, следователно a1 = 0 не е решение на даденото уравнение;
- При a2 = 4 е изпълнено ax>0. Тогава даденото уравнение има вида
lg(4x) = lg(x + 1) и има точно един корен, който е x = 1, следователно a2 = 4 е решение на даденото уравнение.
- има две решения, но единият корен е по-малък от – 1, т.е. числото – 1 е между двата корена. Това е възможно, когато е изпълнено 1.f(– 1) < 0 (– 1)2 – (– 1)(a – 2) + 1 < 0 1 + a – 2 + 1 < 0 a < 0
- От (1) и (2) следва, че даденото уравнение има точно едно решение при
a(– ∞; 0) 
{4}.
;
Зад. №8: Решете неравенството log2(x + 3) – log2(2x – 1) > 5 – log39
Вижте упътване
Вижте решение
Решение:
- Намираме ДМ.
- Преобразуваме даденото неравенство използвайки свойствата на логаритмите и получаваме логаритмично неравенство с основа по–голяма от 1. Затова използваме формула (18)
;
Зад. №9: Решете неравенството 
Вижте упътване
Решението започнете от най–външния логаритъм, като приложите
формула (18)
Решение:
- ДМ.:
- Решаването започваме от най–външния логаритъм, като приложим формула (18)
- Като засечем с ДМ получаваме, че решенията са
;
Зад. №10: Решете неравенството 
Вижте упътване
Разгледайте случайте:
1) Когато основата е между нула и единица;
2) Когато основата е по–голяма от единица.
Вижте решение
Решение:
- ДМ.:
- В зависимост от основата разглеждаме два случая:
- От (1) и (2) следва, че решенията на даденото неравенство са x(1; 4].
;
