Модулни уравнения и неравенства – Основни типове задачи:
Зад. №1: Да се намери стойността на израза 
Вижте упътване
Премахнете модулите като сравните числата в подмодулните величини. Например: Ако b > a, то |a – b| = b – a, ако a > b, то |a – b| = a – b.
Вижте решение
Решение:
Премахваме модулите:
;
Зад. №2: Да се реши уравнението |x – 3| + |3x + 1| = 10.
Вижте упътване
Вижте решение
Решение:
- Стъпка А:
- Стъпка B и C:
- Стъпка D: Разглеждаме случаите:
- При x
: –(x–3)–(3x+1)=10 
x = – 2 , т.е. x = – 2 е решение на даденото уравнение.
- При x
: –(x–3)+(3x+1)=10 x = 3 
, т.е. x = 3 не е решение на даденото уравнение.
- При x [3; +∞): x–3+3x+1=10 x = 3 [3; +∞), т.е. x = 3 е решение на даденото уравнение.
- Стъпка E: От (1), (2) и (3) следва, че решенията на даденото уравнения са:
x1 = – 2 и x2 = 3.
;
Зад. №3: За кои стойности на параметъра m уравнението 3(x + 2)2 – 2|x + 2| + m = 0 има:
а) две решения;
б) три решения и да се намерят тези решения;
Вижте упътване
Чрез полагане преобразувайте даденото уравнение до квадратно и за различните подточки анализирайте неговите решения.
Вижте решение
Решение:
Преобразуваме даденото уравнение до 3(|x + 2|)2 – 2|x + 2| + m = 0 и полагаме
|x + 2| = y. Тогава уравнението е (А): 3y2 – 2y + m = 0.
а) Даденото уравнение може да има две решения, ако за уравнение (А) имаме случаите:
- Уравнение (А) да има двоен положителен корен, а това е възможно при
Следователно, при m = 
уравнение (А) има едно решение и от полагането следва, че при тази стойност на m даденото уравнение ще има две решения.
- Уравнение (А) да има два корена с различни знаци, а това е възможно при
Следователно, при m< 0 уравнение (А) има едно решение и от полагането следва, че при m < 0 даденото уравнение ще има две решения.
От (1) и (2) следва, че при m < 0 и m = даденото уравнение ще има две решения
б) Даденото уравнение ще има три решения, когато уравнение (А) има два корена:
y1 > 0 и y2 = 0. Както се вижда от (А), това е възможно само при m = 0. Тогава от (А) получаваме: 3y2 – 2y = 0 y(3y – 2) = 0 y1 = 0; 
. Решенията на даденото уравнение получаваме от полагането: |x + 2| = 0 x = – 2 и 
Окончателно получаваме, че при m = 0 решенията на даденото уравнение са 
;
Зад. №4: Да се реши неравенството |3 + 2x – x2| – 2 > |1 – 2x|
Вижте упътване
Нулираме подмодулните величини и разглеждаме подинтервали.
Вижте решение
Решение:
- Стъпка А: 1 – 2x = 0 x = 0,5; 3 + 2x – x2 = 0, D = 1 + 3 = 4
= 2,
x1 = 3, x2 = – 1
- Стъпка B и C:
- Стъпка D: Разглеждаме случаите:
- При x (–∞; – 1): x2–2x–3–2>–(2x–1) x2–6>0
. Засичаме с разглеждания интервал от където следва, че решенията на даденото неравенство са 
- При x
: –(x2–2x–3)–2>–(2x–1) x2–4x<0 x (0; 4). Засичаме с разглеждания интервал от където следва, че решенията на даденото неравенство са 
- При x
: –(x2–2x–3)–2>2x–1 x2–2<0 
. Засичаме с разглеждания интервал от където следва, че решенията на даденото неравенство са 
- При x [3; +∞): x2–2x–3–2>2x–1 x2–4x–4>0
. Засичаме с разглеждания интервал от където следва, че решенията на даденото неравенство са 
- Стъпка E: От (1), (2), (3) и (4) следва, че решенията на даденото неравенство са:
.
;
