Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Алгебра

Вие сте тук:   || Приложение на производните–теория


Приложение на производните.

  Задачи  Тест за ТУ и Матура   Тест за УНСС


Теория

  • Изпъкналост и вдлъбнатост
    Нека функцията f(x) е непрекъсната около точка x0. В тази точка от графиката да построим допирателна t.

    О 1 Изпъкнала функция (гледана отдолу) – Функцията f(x) е изпъкнала в точка x0, ако точките от графиката около x0 са над допирателната (Фиг. 1).

    О 2 Вдлъбната функция (гледана отдолу) – Функцията f(x) е вдлъбната в точка x0, ако точките от графиката около x0 са под допирателната (Фиг. 2).

    О 3 Инфлексна точка – Ако функцията f(x) е изпъкнала от едната страна на x0, а от другата страна е вдлъбната, то точката M(x0, f(x0)) сe нарича инфлексна точка (Фиг. 3).

    T 1 Условия за изпъкналост и вдлъбнатост – Ако функцията f(x) има втора производна навсякъде в интервала [a, b] и

    • f'' (x) > 0 за всяко x [a, b], то f(x) е изпъкнала в интервала [a, b].
    • f'' (x) < 0 за всяко x [a, b], то f(x) е вдлъбната в интервала [a, b].

    T 2 Условия за инфлексна точка – Ако функцията f(x) е два пъти диференцирана в интервала [a, b] и f'' (x) = 0, то точката M (x0, f (x0)) e инфлексна точка (Фиг. 3).

    Пример: Виж Зад.№1.

  • Монотонност (растене и намаляване) на функция

    О 1 Растяща – Една функция f(x) е растяща в интервала [a; b], когато за всеки две стойности x1 ДМ и x2 ДМ за които x1 ≥ x2 е изпълнено f(x1) ≥ f(x2) (функцията е строго растяща, ако за x1 > x2 е изпълнено f(x1) > f(x2)).

    О 2 Намаляваща – Една функция f(x) е намаляваща в интервала [a; b], когато за всеки две стойности x1 ДМ и x2 ДМ за които x1 ≥ x2 е изпълнено f(x1) ≤ f(x2) (функцията е строго намаляваща, ако за x1 > x2 е изпълнено f(x1) < f(x2)).

    Ако функцията f(x) е дефинирана и диференцируема в интервала [a; b], то

    • f(x) е монотонно растяща в [a; b] тогава и само тогава, когато f'(x) ≥ 0 и x е вътрешна точка за [a; b].
      f(x) е строго растяща в [a; b] тогава и само тогава, когато f' (x) > 0.
    • f(x) е монотонно намаляваща в [a; b] тогава и само тогава, когато f' (x) ≤ 0 и x е вътрешна точка за [a; b].
      f(x) е строго намаляваща в [a; b] тогава и само тогава, когато f' (x) < 0.
    1. Нека функцията f(x) е непрекъсната в [a, b]. Намираме ДМ.
    2. Функцията f(x) е диференцируема в (a, b) т.е. намираме първата ѝ производна.
    3. Определяме интервалите на монотонност: Нека всяко x (a, b):
      • Решенията на неравенството f' (x) ≥ 0 (или f' (x) > 0) са интервалите в които функцията f(x) е растяща (или строго растяща).
      • Решенията на неравенството f' (x) ≤ 0 (или f' (x) < 0) са интервалите в които функцията f(x) е намаляваща (или строго намаляваща).

    Пример: Виж Зад.№3.

    • Растяща или намаляваща функция се нарича общо монотонна.
    • Ако за всяка точка от интервала [a; b] производната е равна на нула, то функцията ще бъде едновременно растяща и намаляваща т.е тя ще е константа.
    • Дадена е функцията f(x) = ax + b, където a и b са константи. Когато a > 0, функцията f(x) е строго растяща, защото f'(x) = a > 0. Когато a < 0, функцията f(x) е строго намаляваща, защото f'(x) = a < 0. Когато a = 0, функцията f(x) ще бъде едновременно растяща и намаляваща, (т.е. тя ще бъде константа), защото в f'(x) = 0.
  • Рогова точка

    О Точка от графиката, в която функцията има екстремум, но няма първа производна (или първата производна не съществува) се нарича рогова точка (Точка Q от Фиг. 4).

    В роговата точка се правят изследвания за екстремум. Например: Функцията f(x) е дефинирана и непрекъсната в интервала [a, b] (Фиг. 4). Нека първата производна да е f' (x), но тя да не съществува при x = c. Затова точката Q от графиката с координати Q (c, f(c)) се нарича рогова точка.

    Пример: Виж Зад.№5.

  • Критични точки – Точките от ДМ на функция, при които първата производна не съществува (рогова точка) или първата производна е равна на нула (точките с локален екстремум) се наричат критични точки.
  • Локален екстремум – Нека да имаме функцията f (x), която е дефинирана в интервала [a; b], и нека уравнението f' (x) = 0 да има корени x1 = c [a; b] и x2 = d [a; b]. От графиката на Фиг. 5 се вижда, че точките c, d и f разделят графиката на четири интервала:
    • За x [a; c) функцията y = f(x) намалява.
    • За x (c; d) функцията y = f(x) расте.
    • За x (d; f) функцията y = f(x) намалява.
    • За x (f; b] функцията y = f(x) расте.

    О 1 Локален min: Функцията f (x), която е дефинирана в интервала [a; b], има локален min в точката x1 = c [a; b], когато може да се намери достатъчно малка околност около т. M (например на Фиг. 5 околността (c–ε; c+ε), където ε > 0), в която няма стойност на f(x) по–малка от f(c), т.е. имаме f(x) ≥ f(c).

    О 2 Локален max: Функцията f (x), която е дефинирана в интервала [a; b], има локален max в точката x1 = d [a; b], когато може да се намери достатъчно малка околност около т. N (например на Фиг. 5 околността (d–ε; d+ε), където ε > 0), в която няма стойност на f(x) по–голяма от f(d), т.е. имаме f(x) ≤ f(d).

    I правило (достатъчно условие за съществуване на локален екстремум)

    Първа стъпка: Намираме ДМ. и проверяваме за непрекъснатост в тази ДМ. (защото функцията трябва да бъде дефинирана и непрекъсната в даден интервал [a; b], за да има екстремум). Намираме първата производна.

    Втора стъпка: Определяме критичните точки:

    • точките, в които функцията няма първа производна (знаем, че това са роговите точки);
    • точките, в които първата производна се анулира, т.е. решаваме уравнението
      f' (x) = 0. Нека решенията му са x1 = c и x2 = d (фиг. 5). Така определяме точките, в които функцията евентуално може да има локален екстремум. Ако уравнението f'(x) = 0 няма решение , то функцията няма екстремум, т.е. f (x) е само растяща (или намаляваща);

    БЕЛЕЖКА: Функцията f(x) може да има локален екстремум само, когато x1 = c и x2 = d са вътрешни точки за интервала [a; b], т.е. когато a < c ≤ d < b.

    Трета стъпка: Ако съществува първата производна (т.е. нямаме рогова точка), намираме втората производна. Ако тя не може да се намери, продължаваме изследването по II правило.

    Четвърта стъпка: Изследваме знака на втората производна в точките на екстремум:

    • Ако f''(c) > 0, то в тази точка функцията има локален min. За да намерим стойността на функцията в точката на локалният min, заместваме съответния корен (например: с) във функцията, т.е. намираме ymin = f(c). На фиг. 5 точката с локален минимум е M(c; f(c)).
    • Ако f''(d) < 0, то в тази точка функцията има локален max. За да намерим стойността на функцията в точката на локалният max, заместваме съответния корен (например: d) във функцията, т.е. намираме ymax = f(d). На фиг. 5 точката с локален максисум е N(d; f(d)).
    • Ако f''(d) = 0, то в тази точка функцията има инфлексия, т.е. това е точка, в която функцията не променя знака си, а само преминава от вдлъбната в изпъкнала (или обратното).

    II правило (необходимо условие за съществуване на локален екстремум).

    Първа и Втора стъпка: Тези две стъпки се повтарят от I правило.

    Трета стъпка: Изследваме знака на първата производна във всеки от интервалите, т.е. определяме в кои интервали функцията е растяща (решаваме неравенството f'(x) ≥ 0) или намаляваща (решаваме неравенството f'(x) ≤ 0). В точката, при която функцията от намаляваща преминава в растяща, имаме локален min, а от растяща в намаляваща – локален max.

    Пример: Виж Зад.№6

    1. Една функция може да има повече от един локален екстремум (На Фиг. 5 имаме два локални min (в т. M и т. Р) и един локален max (в т. N). Някои функции (Например y=sin x) имат безброй локални екстремуми.
    2. Една функция може да няма локален екстремум (Например: y=tg x; y=x и т.н.).
    3. Локалният екстремум не трябва да се смесва с най–малка и най–голяма стойност на функцията (Например от фиг. 5 най–голямата стойност на функцията е в т. Q, но там няма локален екстремум. Дори точката с локален min може да бъде по–високо от точката с локален max.
    4. В точките с локален екстремум производната е равна на нула, т.е. допирателната в съответните точки от графиката е успоредни на оста Ох (ъгловия коефициент k = 0).
    5. Една функция може да няма производна в дадена точка, т.е. първата производна да не е дефинирана в дадена точка, но да има локален екстремум в тази точка. Например: в роговата си точка функцията има локален екстремум, но няма производна.
  • Най-голяма и най-малка стойност – Най-голямата (НГС) и най-малка стойност (НМС) на функция в затворен интервал наричаме още абсолютен (глобален) екстремум. Нека при x = c [a, b] функцията получава най-малката си стойност, а при x = d [a, b] получава най-голямата си стойност. Това се записва: f(x) = f(c) и f(x) = f(d). Очевидно е (и това се вижда от Фиг. 5), че имаме неравенството f(c) ≤ f(x) ≤ f(d). Затова стойностите, които може да заема функцията (функционалните стойности) принадлежат на интервала [f (c); f (d)].
        Нека да имаме функцията y = f(x), която е дефинирана и непрекъсната за всяко x [a; b]. В зависимост от вида на интервала са възможни случаите:
    • Функцията няма локален екстремум в този интервал – Тя е или растяща, или намаляваща
      • Ако интервалът е отворен от двете страни, то функцията няма най-голяма и най-малка стойност.
      • Ако интервалът е затворен, намираме f(a) и f(b). Ако f(a) < f(b), то f(x) = f(a) и f(x) = f(b).
    • Функцията има един локален екстремум в този интервал:
      • Ако този екстремум е max, то той е и най-голямата стойност, т.е. f(x) = ymax. Най-малката стойност се определя от интервала: Ако той е отворен, функцията няма НМС, ако той е затворен от двете страни намираме f(a) и f(b), и ако f(a) < f(b), то f(x) = f(a).
      • Ако този екстремум е min, то той е и най-малката стойност, т.е. f(x) = ymin. Най-голямата стойност се определя от интервала: Ако той е отворен, функцията няма НГС, ако той е затворен от двете страни намираме f(a) и f(b). Ако f(a) < f(b), то f(x) = f(b).
    • Функцията има повече от един екстремум в този интервал:
      • Ако интервалът е отворен, то f(x) = ymin; f(x) = ymax.
      • Ако интервалът е затворен от двете страни, намираме ymin, ymax, f(a), f(b) и по-малкото от тези числа е НМС, а по-голямото – НГС.

    Пример: Виж Зад.№7

Върни се нагоре Начало ПредходенСледващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание