Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Алгебра

Приложение на производните.

Теория Тест за ТУ и Матура Тест за УНСС

Основни типове задачи за Матура и Технически университет

Зад. №1: Да се изследва относно изпъкналост, вдлъбнатост и инфлексна точка, функцията f(x) = x³ – 3x.

Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

Използвайте Теоремите на Изпъкналост и вдлъбнатост.

Намираме първата и втората производни
- f ' = 3x² – 3.
- f '' = 6x.
При x < 0 функцията е вдлъбната, защото f''(x) < 0.
При x > 0 функцията е изпъкнала, защото f''(x) > 0.
При x = 0 функцията има инфлексна точка (0, 0), защото в тази точка функцията променя знака си.

Зад. №2: Да се изследва относно изпъкналост, вдлъбнатост и инфлексна точка, функцията f(x) = x⁴ – 2x.

Използвайте Теоремите на Изпъкналост и вдлъбнатост.

Намираме първата и втората производни
- f ' = 4x³ – 2.
- f '' = 12x².
За всяко x ≠ 0 имаме f''(x) > 0. Следователно дадената функция е само изпъкнала.

Зад. №3:: Да се намерят всички стойности на параметъра a , при които функцията y = (a + 1) x + a – 5 е строго намаляваща за всяко х.

Използвайте Правилото за намиране на интервала на монотонност.

Намираме първата производна, т.е. y ' = a + 1.
Функцията е строго намаляваща когато y ' < 0, т.е. a + 1 < 0 или a < –1.

Зад. №4: Намерете всички стойности на реалния параметър a , за които функцията е растяща в интервала (2, +∞).

Използвайте това, че една функция е растяща за f(x₁) < f(x₂), ако x₁ < x₂.

Избираме произволни стойности на х от интервала (2, +∞).Например x₁ = 3; x₂ = 4.
Намираме стойността на функцията y за тези стойности, т.е. y(3) = 3(a – 1); y (4) = = 2(a – 1).
Функцията y е растяща, ако е изпълнено y(3) ≤ y(4), т.е. 3(a – 1) ≤ 2(a – 1) a ≤ 1 или a (–∞; 1].

Зад. №5: Да се намери първата производна на функцията f(x) = |x|.

Разпишете модула и намерете първата производна.

Разписваме модула и функцията изглежда по следния начин f (x) =
Намираме първата производна, т.е. f ' (x) =
Бележка: Забележете, че първата производна на функцията не съществува при х = 0, т.е. f ' (x) = не съществува, защото = 1, т.е. лявата и дясната граница при x → 0 не съвпадат. Казваме, че функцията f (x) = |x|, при x = 0 има лява производна – 1 и дясна производна 1, но производна няма.
При x = 0 имаме f(x) = 0. Такава точката с координати (0; 0) се нарича рогова точка. В роговата точка графиката има „лява” допирателната с ъглов коефициент k = – 1 и „дясна” допирателна с ъглов коефициент k = 1, но допирателна няма.

Зад. №6: Намерете локалните екстремуми на функцията y = x³ – 3x² – 9x + 6.

Използвайте правилата за намиране на локален екстремум.

I начин:

ДМ: всяко x.
Намираме първата производна, т.е. f ' = 3x² – 6x – 9.
Определяме критичните точки, като приравним първата производна на нула, т.е. 3x² – 6x – 9 = 0 или x₁ = 3, x₂ = –1.
Определяме вида на екстремумите като намерим втората производна и определим какъв знак има в екстремалните точки: f '' = 6x – 6
- f '' (3) = 6.3 – 6 = 12 > 0. Следователно функцията в тази точка има min. Намираме стойността на този локален минимум, като заместим във функцията, т.е. y_min = f (3) = 3³ – 3.3² – 9.3 + 6 = – 21.
- f '' (–1) = 6.(–1) – 6 = – 12 < 0. Следователно функцията в тази точка има max. Намираме стойността на този локален максимум, като заместим във функцията, т.е. y_max = f(–1) = (–1)³ – 3.(–1)² – 9.(–1) + 6 = 11.
Търсените стойности са: y_min = f (3) = – 21; y_max = f(–1) = 11.

II начин:

ДМ: всяко x.
Намираме първата производна, т.е. : f ' = 3x² – 6x – 9.
За да определим вида на локалните екстремуми, изследваме знака на първата производна в критичните точки (трета стъпка II правило), т.е. решаваме неравенството f ' (x) = 3x² – 6x – 9 > 0. Резултатите нанасяме в таблицата:

От таблицата виждаме, че при x = –1 имаме локален max, а при x = 3 имаме локален min. Стойността на max и min намираме, като заместим във функцията: y_min = f (3) = 3³ – 3.3² – 9.3 + 6 = – 21 и y_max = f (–1) = (–1)³ – 3.(–1)² – 9.(–1) + 6 = 11.
Търсените стойности са: y_min = f (3) = – 21; y_max = f(–1) = 11.

Зад. №7: Намерете най-голямата и най-малка стойност на функция в интервала x [–2; 2].

Използвайте правилата за намиране на глобален екстремум.

ДМ: 4 – x² ≥ 0 x [–2; 2].
Намираме първата производна, т.е. f ' = .
Бележка: Първата производна не е дефинирана при x = 2 и x = – 2. Затова тези точки са критични точки (рогови точки), и въпреки че първата производна не е дефинирана в тях, трябва да изследваме за екстремум (защото те принадлежат на ДМ).
За да определим има ли функцията локални екстремуми, изследваме знака на първата производна в критичните точки (трета стъпка II правило), т.е. решаваме неравенството f ' = – ≥ 0 –x ≥ 0 x ≤ 0. Резултатите нанасяме в таблицата:
От таблицата се вижда, че функцията f(x) има един екстремум при x = 0 и той е max. Затова намираме y_max = f (0) = = 2; f (–2) = = 0; f (2) = = 0.
Следователно y = y_max = 2; y = f (±2) = 0.

Зад. №8: Намерете най-голямата и най-малка стойност на функция .

Използвайте Свойтство 3 на Показателна функция.

ДМ: всяко x и затова изследваме дадената функция в този интервал
Нека да положим g(x) = –x₂ + 2x –2. Дадената функция е показателна с основа по-малка от 1 и затова използваме Свойство 3 на показателна функция и получаваме , т.е. трябва да изследваме функцията g(x) за НМС и НГС.
g(x) е квадратна функция и затова графиката ѝ е парабола с върха нагоре, т.е. g(x) ще има само max. Този максимум се определя от върха на параболата, т.е. x_v = – = 1; g_max = g (1) = –1² + 2.1 – 2 = –1.
Тогава = = 5. Функцията y няма най-голяма стойност.