Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Алгебра

Вие сте тук:   || Показателни уравнения и неравенства–теория || Основни типове задачи 


Показателни уравнения и неравенства

  Теория  Тест за ТУ и Матура   Тест за УНСС

Основни типове задачи за Матура и Технически университет

  • Изследване на показателна функция

    Зад. №1: Да се намери най-голямата стойност на функцията y = .

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    показателна функция

  • Показателни уравнения с равни основи (уравнения от вида (12)).

    Зад. №2: Да се реши уравнението .

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    За да изравните основите от двете страни на равенството, използвайте формула (6).
    От формула (6) преобразуваме показателното уравнение до вида (12):
    показателно уравнение с равни основи

  • Уравнение от вида (11).

    Зад. №3: Да се реши уравнението 34x + 2 = 7.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Логаритмувайте двете страни на уравнението при подходяща основа.

    Логаритмуваме двете страни на даденото уравнение при основа 3, т.е.
    log334x – 2 = log37 (4x–2)log33 = log37 4x – 2 = log37 x = (2 + log37).


  • Уравнения от вида:
    Aax = Bbx
    Това уравнение се решава като разделим двете му страни с ax или bx.

    Зад. № 4: Да се реши уравнението 22x + 22x–1 = 3x+0,5 + 3x–0,5.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Преобразувайте даденото уравнение до показателно уравнение с основа .
    Използвайте подходящи формули, за да преобразувате уравнението до уравнение с равни основи
    преобразуваме до уравнение с равни основи

  • Уравнения от вида:
    Aa2x + Bax + C = 0
    Това уравнение е квадратно спрямо ax. Полагаме ax = y, където y > 0, и решаваме полученото квадратно уравнение спрямо y. След това разглеждаме само положителните корени на y.

    Зад. № 5: Да се реши уравнението .

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Направете полагането = y.
    показателно уравнение чрез полагане

  • Хомогенни уравнения, т.е. уравнения от вида:
    Aa2x + Baxbx + Cb2x = 0
    Това уравнение се решава като разделим двете му страни на a2x или b2x.

    Зад. № 6: Да се реши уравнението .

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Преобразувайте даденото уравнение така, че да го разделете на .
    показателно уравнение решено като хомогенно

  • Уравнение при което в основата и в степенния показател имаме неизвестно, т.е. от вида: f (x) g (x) = f (x) q (x), където f (x), g (x) и q (x) са функции на x.
    Такива уранения се решават като се разгледат четири случая:
    1. Когато f(x) = – 1, т.е. заместваме основата с – 1, и решаваме полученото уравнение. Ако се получи вярно равенство, то получената стойност за x е решение на даденото уравнение;
    2. Когато f(x) = 0, повтаряме по-горе описаната процедура;
    3. Когато f(x) = 1, повтаряме по-горе описаната процедура;
    4. Сега вече сме сигурни, че f(x) е различно от горните стойности, затова решаваме даденото показателно уравнение.
    Обединяваме решенията получени от (1), (2), (3) и (4).

    Зад. № 7: Да се реши уравнението = (x + 2)x+1.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Разгледайте описаните по-горе случаи.
    • Разглеждаме случаите:
      1. x + 2 = – 1 x = – 3. Заместваме в условието и получаваме: = (–1)–3+1 (–1)9 ≠ (–1)–2, т.е. x = – 3 не е решение.
      2. x + 2 = 0 x = – 2. Заместваме в условието и получаваме: = 0–2+1 04 ≠ 0–1, т.е. x = – 2 не е решение.
      3. x + 2 = 1 x = – 1. Заместваме в условието и получаваме: = 1–1+1 1 = 10, т.е. x = –1 е решение.
      4. Във всички други случаи даденото уравнение е от вида (12), затова можем да запишем:
        x2 = x + 1 x2 – x – 1 = 0 x1/2 = .
    • От (1), (2), (3) и (4) x1 = – 1 и x2/3 = са всички решения.

  • Параметрични уравнения

    Зад. № 8: Намерете стойностите на параметъра a, за които уравнението 9x–1 – 4.3x–1 – 1 + 2a = 0 има точно едно решение.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Преобразувайте даденото показателно уравнение до квадратно и разгледайте случаите:
    • Квадратното уравнение да има един корен;
    • Квадратното уравнение да има два корена, но единия да е отрицателен

    Преобразуваме даденото уравнение по следния начин: 32x – 12.3x – 18a – 9. Полагаме
    3x = y, където ДМy: y > 0 и уравнението добива вида

    (1): y2 – 12y + 18a – 9 = 0

    I начин:

    • Решаваме уравнение (1) и от решенията определяме търсените стойности на параметъра. Затова разглеждаме случаите:
      A) D = 0 D = 36 - 18a + 9 = 45 - 18a = 0 a = . Тогава коренът на горното уравнение е y = 6 ДМy, т.е. при a = даденото уравнение има едни корен.
      B) При D > 0 корените са два:
      1. y1 = 6 – . За да принадлежи на ДМy той трябва да е положителен, т.е.
        6 – > 0 < 6 .
      2. y2 = 6 + . За да принадлежи на ДМy той трябва да е положителен, т.е.
        6 + > 0 > –6 a .
    • От А) и В) следва, че:
      При a уравнението има един корен y2.
      При a уравнението има два корена y1 и y2.
      При a = уравнението има един двоен корен y1 = y2.
      При a уравнението няма решение.
    • От тук получаваме, че при a даденото уравнение има един корен.

    II начин:

    Не решаваме уравнение (1), а използваме формулите на Виет. Като отчетем полагането (ДМy: y > 0) и изискването даденото показателно уравнение да има едно решение, то следва, че уравнение (1) трябва да има само един положителен корен (а другият корен или не съществува или е отрицателен или нула).

    Нека общия вид на квадратното уравнение е

    (2): Ay2 + By + C = 0

    Затова разглеждаме случаите:
    1. Уравнение (2) ще има един корен от вида y = – > 0, ако А = 0.
      За уравнение (1) тази стъпка не се изпълнява, защото А не зависи от параметъра.
    2. При А ≠ 0 уравнение (2) има един положителен корен, ако

      Затова в нашия случай получаваме: a = .
    3. При А ≠ 0 уравнение (2) един положителен корен, а другият е отрицателен или нула, ако y1.y2 ≤ 0.
      За нашия случай използвайки формулите на Виет можем да запишем 2a – 1 ≤ 0 a ≤ .

    От (1), (2) и (3) следва, че при a даденото уравнение има един корен.

    III начин:

    Този начин е свързан с разпределение на корените на уравнение (1) върху числовата ос. От ДМy следва, че числото 0 се намира между корените на (1). Затова в него полагаме f (x) = y2 – 12y + 18a – 9 и разглеждаме два случая:

    1. Уравнение (1) ще има един положителен корен – За целта решаваме система (II.2) и получаваме a = .
    2. Уравнение (1) има два корена, от които само единият е положителен, т.е единият корен да принадлежи на интервала (0;+∞), а другият да е извън него. Това е възможно, ако за уравнение (2) е изпълнено A.f(α) ≤ 0 (имаме и равно защото един от корените може и да е 0), т.е: 1.f(0) ≤ 0 18a – 9 ≤ 0 .
    От (1) и (2) следва, че при a даденото уравнение има един корен.


  • Показателни неравенства

    Зад. № 9: Решете неравенството .

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Решете неравенството с полагане.
    показателно неравенство

  • Неравенство при което в основата и в степенния показател имаме неизвестно, т.е. от вида:
    f(x)g(x) = f(x)q(x), където f(x), g(x) и q(x) са функции на x.

    Зад. № 10: Решете неравенството > 1.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Разгледайте случайте:
    1. Когато основата е между нула и единица.
    2. Когато основата е по-голяма от единица.
    • Неравенството се представя във вида > (x – 3)0.
    • В зависимост от основата разглеждаме два случая:
      показателно неравенство с неизвестно в основа

  • Показателни неравенства от вида:
    Aa2x + Bax + C > 0
    Това неравенство е квадратно спрямо ax. Полагаме ax = y, където y > 0, и решаваме полученото квадратно неравенство спрямо y. След това разглеждаме само положителните корени на y.

    Зад. № 11: Решете неравенството 2.32x + 4 ≤ 5 – 3.3x + 2.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    Преобразувайте даденото неравенство до неравенство от вида Aa2x + Bbx + C ≤ 0 и го решете чрез полагане
    решение на показателно неравенство чрез полагане

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание