Показателни уравнения и неравенства – Основни типове задачи:

• Изследване на показателна функция

  Зад. №1: Да се намери най-голямата стойност на функцията

  Вижте упътване
  
  Използвайте Свойство 4 на Показателната функция.
  Вижте решение
  Решение:
  

  • Върху дадената функция прилагаме формула (3) от Показателни уравнения и неравенства и получаваме .
  • Тази функция е показателна с основа a = 0<a<1, т.е. функцията y е намаляваща. Нека степенният показател да означим с f(x)=3x²–12x+18, като
    ДМ.: всяко x (защото a=3>0 и D<0). От Свойство 4 следва, че за да решим задачата трябва да намерим . Изследваме функцията f(x):
    • Функцията f(x) е квадратна следователно графиката е парабола, но a=3>0, т.е. параболата е с върха надолу
    • От Свойство 3 на квадратна функция следва, че най-малката стойност е при x = , т.е.
    • Тогава
  ; 
• Показателни уравнения с равни основи

  Зад. №2: Да се реши уравнението

  Вижте упътване
  
  За да изравните основите от двете страни на равенството, използвайте формула (6) от Показателни уравнения и неравенства.
  Вижте решение
  Решение:
  

  От формула (6) получаваме

  ; 
• Уравнение от вида (11):

  Зад. №3: Да се реши уравнението 3^4x+2=7

  Вижте упътване
  
  Логаритмувайте двете страни на уравнението при подходяща основа.
  Вижте решение
  Решение:
  

  Логаритмуваме двете страни на даденото уравнение при основа 3, т.е. log₃3^4x–2=log₃7 (4x–2)log₃3=log₃7 4x–2=log₃7 x = (2+log₃7).

  ; 
• Уравнения от вида:
  Aa^x = Bb^x
  Това уравнение се решава като разделим двете му страни с a^x или b^x.

  Зад. №4: Да се реши уравнението 2^2x + 2^2x–1 = 3^x+0,5 + 3^x–0,5

  Вижте упътване
  
  Преобразувайте даденото уравнение до показателно уравнение с основа .
  Вижте решение
  Решение:
  

  

  ; 
• Уравнения от вида:
  Aa^2x + Ba^x + C = 0
  Това уравнение е квадратно спрямо a^x. Полагаме a^x = y, където y > 0, и решаваме полученото квадратно уравнение спрямо y. След това разглеждаме само положителните корени на y.

  Зад. №5: Да се реши уравнението

  Вижте упътване
  
  Направете полагането = y.
  Вижте решение
  Решение:
  

  • 
  • Полагаме = y, ДМ_y: = y > 0 и от горното уравнение получаваме: y²–2y–8=0, D=1+8=9 = 3 и y₁ = – 2 ДМ_y; y₂ = 4 ДМ_y.
  • И от полагането получаваме:
   
• Хомогенни уравнения, т.е. уравнения от вида:
  Aa^2x + Ba^xb^x + Cb^2x = 0
  Това уравнение се решава като разделим двете му страни на a^2x или b^2x.

  Зад. №6: Да се реши уравнението

  Вижте упътване
  
  Преобразувайте даденото уравнение и го разделете на .
  Вижте решение
  Решение:
  

  • 
  • Делим двете страни на и полагаме
  • И от полагането получаваме:
  ; 
• Уравнение при което в основата и в степенния показател имаме неизвестно, т.е. от вида:
  f(x)^g(x) = f(x)^q(x), където f(x), g(x) и q(x) са функции на x. Такива уранения се решават като се разгледат следните четири случая:
  1. Когато f(x) = – 1, т.е. заместваме основата с – 1, и решаваме полученото уравнение. Ако се получи вярно равенство, то получената стойност за x е решение на даденото уравнение;
  2. Когато f(x) = 0, повтаряме по-горе описаната процедура;
  3. Когато f(x) = 1, повтаряме по-горе описаната процедура;
  4. Сега вече сме сигурни, че f(x) е различно от горните стойности, затова решаваме даденото показателно уравнение.
  Обединяваме решенията получени от (1), (2), (3) и (4).

  Зад. №7: Да се реши уравнението

  Вижте упътване
  
  Разглеждаме описаните по-горе случаи.
  Вижте решение
  Решение:
  

  • Разглеждаме случаите:
    1. x + 2 = – 1 x = – 3. Заместваме в условието и получаваме: не е решение.
    2. x + 2 = 0 x = – 2. Заместваме в условието и получаваме: не е решение.
    3. x + 2 = 1 x = – 1. Заместваме в условието и получаваме: е решение.
    4. Уравнението е от вида (12), затова можем да запишем:
  • От (1), (2), (3) и (4) са всички решения.
  ; 
• Параметрични уравнения

  Зад. №8: Намерете стойностите на параметъра a, за които уравнението
  9^x–1 – 4.3^x–1 – 1 + 2a = 0 има точно едно решение.

  Вижте упътване
  
  Преобразувайте даденото показателно уравнение до квадратно и разгледайте случаите:

  • Квадратното уравнение да има един корен;
  • Квадратното уравнение да има два корена, но единия да е отрицателен
  Вижте решение
  Решение:
  

  Преобразуваме даденото уравнение по следния начин: 3^2x – 12.3^x – 18a – 9. Полагаме
  3^x = y, където ДМ_y: y > 0 и уравнението добива вида (1): y² – 12y + 18a – 9 = 0 (нека общия вид на квадратното уравнение е (2): Ay² + By + C = 0)

  I начин:

  • Решаваме уравнение (1) и от решенията определяме търсените стойности на параметъра. Затова разглеждаме случаите:
    A) . Тогава коренът на горното уравнение е y = 6 ДМ_y, т.е. при a = даденото уравнение има едни корен
    B)При D > 0 корените са два:
    1. y₁ = 6 – . За да принадлежи на ДМ_y той трябва да е положителен, т.е. решаваме
    2. y₂ = 6 + . За да принадлежи на ДМ_y той трябва да е положителен, т.е. решаваме
  • От А) и В) следва, че:
       При уравнението има един корен y₂.
       При уравнението има два корена y₁ и y₂.
       При a = уравнението има един корен y₁ = y₂.
       При уравнението няма решение.
    
  • От тук получаваме, че при даденото уравнение има един корен.

  II начин:

  Не решаваме уравнение (1), а използваме формулите на Виет. Като отчетем полагането (ДМ_y: y > 0) и изискването даденото показателно уравнение да има едно решение, то следва, че уравнение (1) трябва да има само един положителен корен (а другият корен или не съществува или е отрицателен или нула). Затова разглеждаме случаите:

  1. Уравнение (2) ще има един корен от вида , ако А = 0.
     За уравнение (1) тази стъпка не се изпълнява, защото А не зависи от параметъра.
  2. При А ≠ 0 уравнение (2) има един положителен корен, ако (3):
     Затова в нашия случай получаваме:
  3. При А ≠ 0 уравнение (2) един положителен корен, а другият е отрицателен или нула, ако
     За нашия случай използвайки формулите на Виет можем да запишем 2a – 1 ≤ 0
     a ≤

  От (1), (2) и (3) следва, че при даденото уравнение има един корен.

  III начин:

  Този начин е свързан с разпределение на корените на уравнение (1) върху числовата ос. От ДМ_y следва, че числото 0 се намира между корените на (1). Затова в него полагаме
  f (x) = y² – 12y + 18a – 9 и разглеждаме два случая:

  1. Уравнение (1) ще има един положителен корен – За целта решаваме система(3) и получаваме a = .
  2. Уравнение (1) има два корена, от които само единият е положителен, т.е единият корен да принадлежи на интервала (0;+∞), а другият да е извън него. Това е възможно, ако за уравнение (2) е изпълнено A.f(α) ≤ 0 (имаме и равно защото един от корените може и да е 0), т.е: 1.f(0) ≤ 0 18a – 9 ≤ 0

  От (1) и (2) следва, че при даденото уравнение има един корен.

  ; 
• Показателни неравенства

  Зад. №9: Решете неравенството

  Вижте упътване
  
  Решете неравенството с полагане.
  Вижте решение
  Решение:
  

  • Намираме ДМ.
    
  • Полагаме 3^x = y > 0 и получаваме
    
    Като отчетем ДМ_y получаваме, че решенията са:
  • Тогава от полагането следва
  ; 

  Зад. №10: Решете неравенството

  Вижте упътване
  
  Разгледайте случайте:
      1) Когато основата е между нула и единица;
      2) Когато основата е по–голяма от единица.
  Вижте решение
  Решение:
  

  • Уравнението се представя във вида
  • В зависимост от основата разглеждаме два случая:
    
  ;