Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Стереометрия

(1): Нека да имаме кръг k (O, r) и точка M не принадлежаща на равнината на кръга. Тялото образувано от всички възможни отсечки, свързващи т. M с окръжността се нарича кръгов конус (Фиг. 1).

• Основа – кръга k (O, r).
• Връх – точката M.
• Радиус – радиусът r на основата k.
• Ос – правата MO.
• Образуваща l – отсечката свързваща върха M с точка от окръжността. На Фиг. 1 образуващата е MB = l.
• Височина h – Отсечката MH съединяваща върха M на конуса с проекцията му OH върху равнината на основата.

Конус, на който оста му е перпендикулярна на основата, т.е. MO = h.

Тяло, което е част от кръгов конус, заключена между основата му и равни успоредна на основата му. На Фиг. 3 пресечен кръгов конус е тялото ABB₁A₁. Кръговете k и k₁ се наричат основи, OO₁ – ос, при прав кръгов пресечен конус (Фиг. 3) височината h и оста OO₁ съвпадат.

• Определение – Сечение на кръгов конус с равнина, която минава през оста му. На Фиг. 2 ΔABM е осно сечение.
• Свойства на осните сечения.

  (2): Осните сечения на прав кръгов конус са еднакви равнобедрени триъгълници. Всеки от тези триъгълници се дели от височината му MO на два еднакви правоъгълни триъгълника. Например на Фиг. 2 ΔABM е равнобедрен триъгълник, а ΔAOM и ΔBOM са правоъгълни триъгълници.

  (3): Осното сечение на кръгов пресечен конус е трапец, а всички осни сечения на прав кръгов пресечен конус са еднакви равнобедрени трапеци, всеки от който се разделя от оста на конуса на два еднакви правоъгълни трапеца. Например На Фиг. 3 ABB₁A₁ е равнобедрен трапец, а AOO₁A₁ и BOO₁B₁ са правоъгълни трапеци.

• Определение – Сечение на кръгов конус с равнина, която е успоредна на основата му. На Фиг. 3 кръгът k₁ е успоредно сечение на конуса.
• Свойства на успоредните сечения.

  (4): Всяко успоредно сечение на прав кръгов конус е кръг. Например на Фиг. 3 k₁ е успоредно сечение на конуса, затова е кръг.

  (5): Ако с B₁ и B отбележим лицето на сечението и лицето на основата на конуса (Фиг. 3), а с h₁ = MO₁ и h = MO – разстоянието на сечението до върха на конуса и височината на конуса, то имаме , където r₁ и r – радиусите на сечението и на основата на конуса.

• Лице на околната повърхнина S на прав кръгов конус:

  (6): S = πrl.

• Лице на околната повърхнина S на прав кръгов пресечен конус:

  (7): S = π(r + r₁)l, където r и r₁ са радиусите на основите му.

• Лице на пълна повърхнина S₁ на прав кръгов конус:

  (8): S₁ = S + B = πr(l + r).

• Лице на пълна повърхнина S₁ на прав кръгов пресечен конус:

  (9): S₁ = S + B + B₁ = πl(r + r₁) + πr² + πr₁², където B и B₁ са лицата на основите му.

• Обем V на прав кръгов конус:

  (10): V = B.h = πr²h.

• Обем V на прав кръгов пресечен конус:

  (11): V = (r² + r₁² + r.r₁).

Определение – Ако осното сечение на конуса е описано около голямата окръжност на сферата.

(12): Във всеки прав кръгов конус може да се впише сфера, защото осното му сечение е равнобедрен триъгълник, а във всеки триъгълник може да се впише окръжност. Центърът на сферата лежи на височината на осното сечение (равнобедрения триъгълник) на конуса.

(13): Във всеки прав кръгов пресечен конус може да се впише сфера, защото осното му сечение е равнобедрен трапец, а във всеки равнобедрен трапец може да се впише окръжност.

Определение – Ако сферата минава през върха на конуса, а окръжността на основата му е сечение на сферата.

(14): Достатъчно условие – Около осното сечение на кръгов конус да може да се опише окръжност.

(15): Около всеки прав кръгов конус може да се опише сфера, защото осното му сечение е триъгълник.

(16): Около всеки пресечен конус (прав кръгов) може да се опише сфера, защото около всеки равнобедрен трапец може да се опише окръжност. Центърът на сферата лежи на симетралата на основите на трапеца.