(1): Тяло, на което една от стените е многоъгълник, а останалите стени са триъгълници с общ връх (Фиг. 1).
(2): Всички околни стени сключват равни ъгли с основата тогава и само тогава, когато в основата може да се впише окръжност и петата на височината съвпада с центъра на тази окръжност (Фиг. 2).
(3): Петата O на височината на пирамида съвпада с центъра на вписаната в основата окръжност, ако е изпълнено едно от твърденията (Фиг. 2):
(3.1): Всички околни стени сключват равни двустенни ъгли с основата, т.е. ODM = OKM = φ.
(3.2): Височините на всички околни стени са равни, т.е. DM = KM.
(3.3): Проекциите на височините на всички околни стени върху основата са равни (равни на радиуса r на вписаната в основата окръжност), т.е. OD = OK = r. Тогава е в сила формулата h = r tg φ.
(3.4): Всички околни стени сключват равни ъгли с височината на пирамидата, т.е. DMO = KMO.
(4): Петата O на височината на пирамида съвпада с центъра на описаната около основата окръжност, ако е изпълнено едно от твърденията (Фиг. 3):
(4.1): Всички околни ръбове са равни, т.е. AM = BM = CM.
(4.2): Всички околни ръбове сключват равни ъгли с основата, т.е. OAM = OBM = OCM = φ.
(4.3): Всички околни ръбове сключват равни ъгли с височината на пирамидата, т.е. AMO = BMO = CMO.
(4.4): Проекциите на всички околни ръбове върху основата са равни (равни на радиуса R на описаната около основата окръжност), т.е. AO = BO = CO = R.
(5): За случай от Фиг. 3 е в сила формулата: h = R tg φ, където h – височината на пирамидата, R – радиуса на описаната около основата окръжност; φ – ъгълът между околен ръб и основата на пирамидата.
Пирамида, на която основата е триъгълник, четириъгълник и т.н. n-ъгълник. Например, пирамидата на Фиг. 4 е триъгълна.
Пирамида, на която основата е правилен многоъгълник, а околните стени са еднакви равнобедрени триъгълници.
Свойства на правилна пирамида:
(6): В правилна пирамида може да се впише и опише сфера, чийто център лежи върху височината на пирамидата.
Пирамида, на която основата е триъгълник, т.е. всички стени на тетраедъра са триъгълници.
Правилен тетраедър (Фиг. 4)
(7): Отсечката, която съединява връх на тетраедъра с медицентъра на срещуположната му стена. Например, на Фиг. 4 отсечката MO е не само височина на тетраедъра, но и медиана, защото свързва върха M с медицентъра O на основата ABC.
(8): Четирите медиани на тетраедъра се пресичат в една точка наречена медицентър, която ги дели в отношение 3 : 1, считано от съответния връх. Например, на Фиг. 5 AM1 и BM2 са две медиани на тетраедъра ABCD, т.е. т. M е медицентър на тетраедъра ABCD и като такъв дели медианата AM1 в отношение AM : MM1 = 3 : 1 (по подобен начин т. M дели медианата BM2 в отношение BM : MM2 = 3 : 1).
(9): Всичките основни и околни ръбове са равни, т.е. AB = BC = CA = AM = BM = CM = b.
(10): Всеки ръбен ъгъл при кой да е от върховете е равен на 60°, т.е. всеки ъгъл на ΔABC, ΔABM, ΔBCM и ΔACM е равен на 60°.
(11): Една двойка срещуположните ръбове (основен и околен) са перпендикулярни, т.е. BC AM.
(12): Четирите височини са равни.
(13): Четирите медиани са равни.
(14): Ортоцентърът, медицентърът, центровете на описаната и вписаната сфера съвпадат и това е точка H.
(15): Всички околни ръбове образуват с равнината на основата равни ъгли, т.е. OCM = OAM = OBM.
(16): Всички околни стени образуват равни двустенни ъгли с равнината на основата, т.е. AKM = CDM = φ.
(17): В сила са формулите h = b; d = b; r = b; R = b, където b е ръбът на правилния тетраедър, h – височината, d = LK – най-късото разстояние между два срещуположни ръба, r – радиуса на вписаната сфера, R – радиуса на описаната сфера.
Правоъгълен тетраедър (Фиг. 6)
(18): Основата ΔABC е остроъгълен триъгълник.
(19): Всеки от околните ръбове е перпендикулярен на срещуположната стена.
(20): Петата на височината MO на правоъгълния тетраедър съвпада с ортоцентъра O на основата ABC.
(21): Правоъгълния тетраедър е аналог на правоъгълния триъгълник в равнината, затова околните стени се наричат катети, а основата – хипотенуза на правоъгълния тетраедър.
Сечение на пирамида с равнината, която минава през два несъседни околни ръба. На Фиг. 7 ΔACM е диагонално сечение на четириъгълна пирамида с равнина.
(22): Всички диагонални сечения на правилна пирамида са равнобедрени триъгълници, т.е. на Фиг. 7 ΔACM и ΔBDM са равнобедрени.
(23): Всяко успоредно сечение на пирамида е многоъгълник, подобен на основата, т.е на Фиг. 8 имаме ABCD ~ A1B1C1D1.
(24): Отношението на лицата на две успоредни сечения в една пирамида е равно на квадрата на отношението на разстоянията им до върха на пирамидата, т.е. на Фиг. 8 имаме .
(25): Лицето на околната повърхнина S на неправилна пирамида е равно на сумата от лицата на околните стени.
(26): , където k – апотемата, b – дължина на основния ръб, n – броя на страните на основата, P – периметъра на основата.
(27): B = S.cos φ, където B е лицето на основата, φ – двустенния ъгъл между околна стена и основата (Фиг. 2).
Бележка:(28): Лицето на повърхнината (пълната повърхнина) S1 на неправилна пирамида е равно на сумата от лицата на всички стени (околни и основа).
(29): S1 = S + B, където B – лицето на основата.
(30): S1 = b2, където b е дължината на основния ръб.
(31): Обемът V на произволна пирамида с височина h и лице на основата B се намира по формулата V = B.h.
(32): V = b3, където b е ръбът на правилния тетраедър.
(33): Всички стени на пирамидата са допирателни до сферата.
(34): Ъглополовящите равнини на всяка двойка съседни околни стени на пирамидата се пресичат на една права, като центърът на вписаната сфера лежи на тази права.
(35): Всички околни стени сключват равни двустенни ъгли с основата.
(36): Центърът H на вписаната в пирамидата сфера лежи на височината MO на пирамидата (Фиг. 9).
(37): Проекциите на височините на всички околни стени върху равнината на основата са равни.
(38): Височините на всички околни стени са равни.
(39): Ъглополовящите равнини на всички двустенни ъгли между две съседни околни стени минават през височината на пирамидата.
(40): Всички околни стени сключват равни ъгли с височината на пирамидата.
(41): В основата на пирамидата може да се впише окръжност и нейния център съвпада с проекцията на върха на пирамидата върху равнината на основата (Фиг. 2).
(42): r = , където S1 е пълна повърхнина на пирамидата, V – обема на пирамидата.
(43): r = , където b – дължина на основен ръб (На Фиг. 9 b = AB = BC = AC), φ – ъгъл между околна стена и равнината на основата (На Фиг. 9 φ = OKM, тогава = HKM).
(44): Всичките ръбове (околни и основни) на пирамидата са хорди на сферата, т.е. сферата минава през всички върхове на пирамидата.
(45): Около основата може да се опише окръжност.
(46): Симетралните равнини на околните ръбове се пресичат в една точка (т. H на Фиг. 10) лежаща на права перпендикулярна на равнината на основата и минаваща през центъра на описаната около основата окръжност.
(46.1): Определение за Симетрална равнина – Равнина, която минава през средата и е перпендикулярна на отсечката (На Фиг. 11 равнината α е Симетрална равнина на отсечката AB).
(46.2): Всяка точка от симетричната равнина е равноотдалечена от краищата на отсечката. Например, на Фиг. 11 AX = BX.
(47): Около пирамидата може да се опише сфера, чиито център H лежи върху височината MO на пирамидата.
(48): Около основата на пирамидата може да се опише окръжност, центърът, на която съвпада с проекцията на върха на пирамидата върху равнината на основата (петата на височината).
(49): Всички околни ръбове са равни.
(50): Всички околни ръбове сключват равни ъгли с равнината на основата.
(51): Проекциите на всички околни ръбове върху равнината на основата са равни.
(52): Симетралните равнини на всички околни ръбове минават през височината на пирамидата.
(53): Околните ръбове сключват равни ъгли с височината.
(54): R = , където l – дължината на околен ръб, h – височината на пирамидата.
(55): Около всеки тетраедър може да се опише сфера или във всеки тетраедър може да се впише сфера, като за радиусите на описаната R и на вписаната r сфера е изпълнено неравенството R ≥ 3r. Равенството се получава, когато тетраедъра е правилен.
Върни се нагоре Начало Предходен Следващ
Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.
Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.
Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание