Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Стереометрия

(1): Тяло, на което една от стените е многоъгълник, а останалите стени са триъгълници с общ връх (Фиг. 1).

• Основа – На Фиг. 1 основата е ΔABC.
• Околни стени – триъгълниците ACM, CBM и ABM.
• Основни ръбове – всички страни на основата. Например: AC, AB, BC.
• Околни ръбове – всички страни на околните стени (без основните ръбове). Например: AM, CM, BM.
• Височина h – Отсечката MO съединяваща върха M на пирамидата с проекцията му O върху равнината на основата. Положението на петата на височината върху равнината на основата се определя от следните свойства на пирамидата:

  (2): Всички околни стени сключват равни ъгли с основата тогава и само тогава, когато в основата може да се впише окръжност и петата на височината съвпада с центъра на тази окръжност (Фиг. 2).

  (3): Петата O на височината на пирамида съвпада с центъра на вписаната в основата окръжност, ако е изпълнено едно от твърденията (Фиг. 2):

  (3.1): Всички околни стени сключват равни двустенни ъгли с основата, т.е. ODM = OKM = φ.

  (3.2): Височините на всички околни стени са равни, т.е. DM = KM.

  (3.3): Проекциите на височините на всички околни стени върху основата са равни (равни на радиуса r на вписаната в основата окръжност), т.е. OD = OK = r. Тогава е в сила формулата h = r tg φ.

  (3.4): Всички околни стени сключват равни ъгли с височината на пирамидата, т.е. DMO = KMO.

  (4): Петата O на височината на пирамида съвпада с центъра на описаната около основата окръжност, ако е изпълнено едно от твърденията (Фиг. 3):

  (4.1): Всички околни ръбове са равни, т.е. AM = BM = CM.

  (4.2): Всички околни ръбове сключват равни ъгли с основата, т.е. OAM = OBM = OCM = φ.

  (4.3): Всички околни ръбове сключват равни ъгли с височината на пирамидата, т.е. AMO = BMO = CMO.

  (4.4): Проекциите на всички околни ръбове върху основата са равни (равни на радиуса R на описаната около основата окръжност), т.е. AO = BO = CO = R.

  (5): За случай от Фиг. 3 е в сила формулата: h = R tg φ, където h – височината на пирамидата, R – радиуса на описаната около основата окръжност; φ – ъгълът между околен ръб и основата на пирамидата.

• Апотема k – Височината на коя да е околна стена, прекарана към съответния основен ръб (DM и KM на Фиг. 2).

Пирамида, на която основата е триъгълник, четириъгълник и т.н. n-ъгълник. Например, пирамидата на Фиг. 4 е триъгълна.

Пирамида, на която основата е правилен многоъгълник, а околните стени са еднакви равнобедрени триъгълници.

Свойства на правилна пирамида:

• Основните ръбове са равни, защото основата е правилен многоъгълник, т.е. многоъгълник с равни страни и тези ръбове се отбелязват с b.
• Всички апотеми на пирамидата са равни. Например, на Фиг. 4 DM = KM = k.
• Височината a на основата се нарича апотема на основата (отсечката CD на Фиг. 4).
• Всички околни ръбове са равни и образуват с равнината на основата равни ъгли, т.е. на Фиг. 3 AM = BM = CM и OAM = OBM = OCM = φ.
• Всички околни стени образуват равни двустенни ъгли с равнината на основата, т.е. на фиг. 4 (ABM; ABC) = (BCM; ABC) = ODM = OKM = φ.

(6): В правилна пирамида може да се впише и опише сфера, чийто център лежи върху височината на пирамидата.

Пирамида, на която основата е триъгълник, т.е. всички стени на тетраедъра са триъгълници.

Правилен тетраедър (Фиг. 4)

• Определение – Всичките му четири стени са еднакви равностранни триъгълници.
• Медиана на тетраедър:

  (7): Отсечката, която съединява връх на тетраедъра с медицентъра на срещуположната му стена. Например, на Фиг. 4 отсечката MO е не само височина на тетраедъра, но и медиана, защото свързва върха M с медицентъра O на основата ABC.

• Медицентър на тетраедър (т. M на Фиг. 5):

  (8): Четирите медиани на тетраедъра се пресичат в една точка наречена медицентър, която ги дели в отношение 3 : 1, считано от съответния връх. Например, на Фиг. 5 AM₁ и BM₂ са две медиани на тетраедъра ABCD, т.е. т. M е медицентър на тетраедъра ABCD и като такъв дели медианата AM₁ в отношение AM : MM₁ = 3 : 1 (по подобен начин т. M дели медианата BM₂ в отношение BM : MM₂ = 3 : 1).

  Доказателство (Фиг. 5)

  Доказателство (Фиг. 5)

  

• Свойства на правилен тетраедър (Фиг. 4):

  (9): Всичките основни и околни ръбове са равни, т.е. AB = BC = CA = AM = BM = CM = b.

  (10): Всеки ръбен ъгъл при кой да е от върховете е равен на 60°, т.е. всеки ъгъл на ΔABC, ΔABM, ΔBCM и ΔACM е равен на 60°.

  (11): Една двойка срещуположните ръбове (основен и околен) са перпендикулярни, т.е. BC AM.

  (12): Четирите височини са равни.

  (13): Четирите медиани са равни.

  (14): Ортоцентърът, медицентърът, центровете на описаната и вписаната сфера съвпадат и това е точка H.

  (15): Всички околни ръбове образуват с равнината на основата равни ъгли, т.е. OCM = OAM = OBM.

  (16): Всички околни стени образуват равни двустенни ъгли с равнината на основата, т.е. AKM = CDM = φ.

  (17): В сила са формулите h = b; d = b; r = b; R = b, където b е ръбът на правилния тетраедър, h – височината, d = LK – най-късото разстояние между два срещуположни ръба, r – радиуса на вписаната сфера, R – радиуса на описаната сфера.

  Доказателство (Фиг. 4)

  Доказателство (Фиг. 4)

  

Правоъгълен тетраедър (Фиг. 6)

• Определение – Тетраедър, на който трите ръбни ъгли при един от върховете му са прави. Например, AMB = AMC = BMC = 90°.
• Свойства на правоъгълен тетраедър (Фиг. 6):

  (18): Основата ΔABC е остроъгълен триъгълник.

  (19): Всеки от околните ръбове е перпендикулярен на срещуположната стена.

  Доказателство (Фиг. 6)

  Доказателство (Фиг. 6)

  По условие AM BM и AM CM, но BM CM и BM (BCM), CM (BCM) AM (BCM).

  (20): Петата на височината MO на правоъгълния тетраедър съвпада с ортоцентъра O на основата ABC.

  Доказателство (Фиг. 6)

  Доказателство (Фиг. 6)

  • От Твърдение (19) знаем, че AM (BCM), но BC (BCM), т.е. AM BC.
  • AO е проекцията на AM в (BCM) и от Теоремата за трите перпендикуляра BC AO.
  • По подобен начин доказваме, че BO AC и CO AB.
  • Т.е. т. O е ортоцентър на основата ABC.

  (21): Правоъгълния тетраедър е аналог на правоъгълния триъгълник в равнината, затова околните стени се наричат катети, а основата – хипотенуза на правоъгълния тетраедър.

Сечение на пирамида с равнината, която минава през два несъседни околни ръба. На Фиг. 7 ΔACM е диагонално сечение на четириъгълна пирамида с равнина.

(22): Всички диагонални сечения на правилна пирамида са равнобедрени триъгълници, т.е. на Фиг. 7 ΔACM и ΔBDM са равнобедрени.

• Определение – Сечение на пирамида с равнината, успоредна на основата. На Фиг. 8 успоредника A₁B₁C₁D₁ е успоредно сечение на четириъгълна пирамида с равнина, успоредна на основата.
• Свойства на успоредните сечения:

  (23): Всяко успоредно сечение на пирамида е многоъгълник, подобен на основата, т.е на Фиг. 8 имаме ABCD ~ A₁B₁C₁D₁.

  (24): Отношението на лицата на две успоредни сечения в една пирамида е равно на квадрата на отношението на разстоянията им до върха на пирамидата, т.е. на Фиг. 8 имаме .

• Неправилна пирамида

  (25): Лицето на околната повърхнина S на неправилна пирамида е равно на сумата от лицата на околните стени.

• Правилна n – ъгълна пирамида:

  (26): , където k – апотемата, b – дължина на основния ръб, n – броя на страните на основата, P – периметъра на основата.

  (27): B = S.cos φ, където B е лицето на основата, φ – двустенния ъгъл между околна стена и основата (Фиг. 2).

  Бележка:
  Формула (26) може да се прилага за всяка пирамида, при която околните стени сключват равни ъгли φ с основата.

• Неправилна пирамида

  (28): Лицето на повърхнината (пълната повърхнина) S₁ на неправилна пирамида е равно на сумата от лицата на всички стени (околни и основа).

• Правилна n – ъгълна пирамида

  (29): S₁ = S + B, където B – лицето на основата.

• Правилен тетраедър

  (30): S₁ = b², където b е дължината на основния ръб.

• Произволна пирамида

  (31): Обемът V на произволна пирамида с височина h и лице на основата B се намира по формулата V = B.h.

• Правилен тетраедър

  (32): V = b³, където b е ръбът на правилния тетраедър.

• Определение – В пирамида може да се впише сфера тогава и само тогава, когато е изпълнено някое от твърденията:

  (33): Всички стени на пирамидата са допирателни до сферата.

  (34): Ъглополовящите равнини на всяка двойка съседни околни стени на пирамидата се пресичат на една права, като центърът на вписаната сфера лежи на тази права.

  Бележка:

  Това условие е трудно за проверяване, затова се използва следното твърдение „Центърът H на вписаната в пирамида сфера е точката на пресичане на височината MO на пирамидата и ъглополовящата равнина на ъгъла между околна стена и основа (На Фиг. 9 KH е ъглополовяща на ъгъл MKO)”.
• Ако в пирамида може да се впише сфера, то са изпълнени някои от твърденията:

  (35): Всички околни стени сключват равни двустенни ъгли с основата.

  (36): Центърът H на вписаната в пирамидата сфера лежи на височината MO на пирамидата (Фиг. 9).

  (37): Проекциите на височините на всички околни стени върху равнината на основата са равни.

  (38): Височините на всички околни стени са равни.

  (39): Ъглополовящите равнини на всички двустенни ъгли между две съседни околни стени минават през височината на пирамидата.

  (40): Всички околни стени сключват равни ъгли с височината на пирамидата.

  (41): В основата на пирамидата може да се впише окръжност и нейния център съвпада с проекцията на върха на пирамидата върху равнината на основата (Фиг. 2).

• Сфера може да се впише във всяка:
  • триъгълна пирамида (тетраедър);
  • правилна пирамида.
• За радиуса на вписана сфера (На Фиг. 9 r = HO) в
  • произволна пирамида:

    (42): r = , където S₁ е пълна повърхнина на пирамидата, V – обема на пирамидата.

  • правилна триъгълна пирамида:

    (43): r = , където b – дължина на основен ръб (На Фиг. 9 b = AB = BC = AC), φ – ъгъл между околна стена и равнината на основата (На Фиг. 9 φ = OKM, тогава = HKM).

    Бележка:

    Формула (42) е в сила за всеки многостен, затова формули (20) за призма описана около сфера и (42) са еднакви.

• Определение – Около пирамида може да се опише сфера, ако е изпълнено някое от твърденията:

  (44): Всичките ръбове (околни и основни) на пирамидата са хорди на сферата, т.е. сферата минава през всички върхове на пирамидата.

  (45): Около основата може да се опише окръжност.

  (46): Симетралните равнини на околните ръбове се пресичат в една точка (т. H на Фиг. 10) лежаща на права перпендикулярна на равнината на основата и минаваща през центъра на описаната около основата окръжност.

  (46.1): Определение за Симетрална равнина – Равнина, която минава през средата и е перпендикулярна на отсечката (На Фиг. 11 равнината α е Симетрална равнина на отсечката AB).

  (46.2): Всяка точка от симетричната равнина е равноотдалечена от краищата на отсечката. Например, на Фиг. 11 AX = BX.

• Ако около пирамида може да се опише сфера, то са изпълнени някой от твърденията (Фиг. 10):

  (47): Около пирамидата може да се опише сфера, чиито център H лежи върху височината MO на пирамидата.

  (48): Около основата на пирамидата може да се опише окръжност, центърът, на която съвпада с проекцията на върха на пирамидата върху равнината на основата (петата на височината).

  (49): Всички околни ръбове са равни.

  (50): Всички околни ръбове сключват равни ъгли с равнината на основата.

  (51): Проекциите на всички околни ръбове върху равнината на основата са равни.

  (52): Симетралните равнини на всички околни ръбове минават през височината на пирамидата.

  (53): Околните ръбове сключват равни ъгли с височината.

• Сфера може да се опише около:
  • триъгълна пирамида (тетраедър);
  • правилна пирамида.
• За радиуса R на описана сфера около правилна триъгълна пирамида е изпълнена формулата

  (54): R = , където l – дължината на околен ръб, h – височината на пирамидата.

• около произволна n-ъгълна пирамида – Нека да имаме пирамидата A₁A₂…A_nM (Фиг. 12):
  1. Около основата A₁A₂…A_n построяваме окръжност с център О.
  2. Построяваме права s минаваща през т. О и перпендикулярна на равнината на основата A₁A₂…A_n.
  3. Начертаваме симетралната равнина β на околен ръб, т.е. равнината β минаваща през средата на околния ръб A_nM и е перпендикулярна на него.
  4. Ако точка H е пресечната точка на правата s с равнината β, то т. H е центъра на описаната около пирамидата A₁A₂…A_nM сфера.
• около правилна четириъгълна пирамида – Нека да имаме правилна четириъгълна пирамида ABCDM (Фиг. 13):
  1. Около основата ABCD построяваме окръжност k₁ с център О, но основата е квадрат, т.е. т. О е пресечната точка на диагоналите АС и BD.
  2. Построяваме височината MO на пирамидата ABCDM.
  3. От т. К, която е среда на околния ръб CM издигаме перпендикуляр, който пресича височината MO на призмата в точка Н (отсечката HK лежи върху симетралната равнина на отсечката CM).
  4. т. H е центъра на описаната около пирамидата ABCDM сфера.
• около правилна триъгълна пирамида – Нека да имаме правилна триъгълна пирамидата ABCM (Фиг. 14):
  1. Нека т. Е е пресечната точка на продължението на височината към основата AB на равностранния ΔABC и описаната около ΔABC окръжност k₁.
  2. Тогава ΔECM е вписан в голямата окръжност на сферата, т.е. т. H е център на описаната около ΔECM окръжност.
  3. Построяваме височината MO на пирамидата ABCM (т. O лежи на CE, защото ΔABC е равностранен).
  4. Построяваме симетралата S_CM, т.е. симетралната равнина на отсечката CM.
  5. S_CM MO = т. H.

(55): Около всеки тетраедър може да се опише сфера или във всеки тетраедър може да се впише сфера, като за радиусите на описаната R и на вписаната r сфера е изпълнено неравенството R ≥ 3r. Равенството се получава, когато тетраедъра е правилен.