Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Стереометрия

Вие сте тук:   || Пирамида–теория


Пирамида

  Основни задачи  Тест


Теория

I. Определение и елементи

(1): Тяло, на което една от стените е многоъгълник, а останалите стени са триъгълници с общ връх (Фиг. 1).

  • Основа – На Фиг. 1 основата е ΔABC.
  • Околни стени – триъгълниците ACM, CBM и ABM.
  • Основни ръбове – всички страни на основата. Например: AC, AB, BC.
  • Околни ръбове – всички страни на околните стени (без основните ръбове). Например: AM, CM, BM.
  • Височина h – Отсечката MO съединяваща върха M на пирамидата с проекцията му O върху равнината на основата. Положението на петата на височината върху равнината на основата се определя от следните свойства на пирамидата:

    (2): Всички околни стени сключват равни ъгли с основата тогава и само тогава, когато в основата може да се впише окръжност и петата на височината съвпада с центъра на тази окръжност (Фиг. 2).

    (3): Петата O на височината на пирамида съвпада с центъра на вписаната в основата окръжност, ако е изпълнено едно от твърденията (Фиг. 2):

    (3.1): Всички околни стени сключват равни двустенни ъгли с основата, т.е. ODM = OKM = φ.

    (3.2): Височините на всички околни стени са равни, т.е. DM = KM.

    (3.3): Проекциите на височините на всички околни стени върху основата са равни (равни на радиуса r на вписаната в основата окръжност), т.е. OD = OK = r. Тогава е в сила формулата h = r tg φ.

    (3.4): Всички околни стени сключват равни ъгли с височината на пирамидата, т.е. DMO = KMO.

    (4): Петата O на височината на пирамида съвпада с центъра на описаната около основата окръжност, ако е изпълнено едно от твърденията (Фиг. 3):

    (4.1): Всички околни ръбове са равни, т.е. AM = BM = CM.

    (4.2): Всички околни ръбове сключват равни ъгли с основата, т.е. OAM = OBM = OCM = φ.

    (4.3): Всички околни ръбове сключват равни ъгли с височината на пирамидата, т.е. AMO = BMO = CMO.

    (4.4): Проекциите на всички околни ръбове върху основата са равни (равни на радиуса R на описаната около основата окръжност), т.е. AO = BO = CO = R.

    (5): За случай от Фиг. 3 е в сила формулата: h = R tg φ, където h – височината на пирамидата, R – радиуса на описаната около основата окръжност; φ – ъгълът между околен ръб и основата на пирамидата.

  • Апотема k – Височината на коя да е околна стена, прекарана към съответния основен ръб (DM и KM на Фиг. 2).

II. Видове пирамиди

Пирамида, на която основата е триъгълник, четириъгълник и т.н. n-ъгълник. Например, пирамидата на Фиг. 4 е триъгълна.

Пирамида, на която основата е правилен многоъгълник, а околните стени са еднакви равнобедрени триъгълници.

Свойства на правилна пирамида:

  • Основните ръбове са равни, защото основата е правилен многоъгълник, т.е. многоъгълник с равни страни и тези ръбове се отбелязват с b.
  • Всички апотеми на пирамидата са равни. Например, на Фиг. 4 DM = KM = k.
  • Височината a на основата се нарича апотема на основата (отсечката CD на Фиг. 4).
  • Всички околни ръбове са равни и образуват с равнината на основата равни ъгли, т.е. на Фиг. 3 AM = BM = CM и OAM = OBM = OCM = φ.
  • Всички околни стени образуват равни двустенни ъгли с равнината на основата, т.е. на фиг. 4 (ABM; ABC) = (BCM; ABC) = ODM = OKM = φ.

(6): В правилна пирамида може да се впише и опише сфера, чийто център лежи върху височината на пирамидата.

Пирамида, на която основата е триъгълник, т.е. всички стени на тетраедъра са триъгълници.

медицентър на правилна пирамида

Правилен тетраедър (Фиг. 4)

  • Определение – Всичките му четири стени са еднакви равностранни триъгълници.
  • Медиана на тетраедър:

    (7): Отсечката, която съединява връх на тетраедъра с медицентъра на срещуположната му стена. Например, на Фиг. 4 отсечката MO е не само височина на тетраедъра, но и медиана, защото свързва върха M с медицентъра O на основата ABC.

  • Медицентър на тетраедър (т. M на Фиг. 5):

    (8): Четирите медиани на тетраедъра се пресичат в една точка наречена медицентър, която ги дели в отношение 3 : 1, считано от съответния връх. Например, на Фиг. 5 AM1 и BM2 са две медиани на тетраедъра ABCD, т.е. т. M е медицентър на тетраедъра ABCD и като такъв дели медианата AM1 в отношение AM : MM1 = 3 : 1 (по подобен начин т. M дели медианата BM2 в отношение BM : MM2 = 3 : 1).

    Доказателство (Фиг. 5)

  • Свойства на правилен тетраедър (Фиг. 4):

    (9): Всичките основни и околни ръбове са равни, т.е. AB = BC = CA = AM = BM = CM = b.

    (10): Всеки ръбен ъгъл при кой да е от върховете е равен на 60°, т.е. всеки ъгъл на ΔABC, ΔABM, ΔBCM и ΔACM е равен на 60°.

    (11): Една двойка срещуположните ръбове (основен и околен) са перпендикулярни, т.е. BC AM.

    (12): Четирите височини са равни.

    (13): Четирите медиани са равни.

    (14): Ортоцентърът, медицентърът, центровете на описаната и вписаната сфера съвпадат и това е точка H.

    (15): Всички околни ръбове образуват с равнината на основата равни ъгли, т.е. OCM = OAM = OBM.

    (16): Всички околни стени образуват равни двустенни ъгли с равнината на основата, т.е. AKM = CDM = φ.

    (17): В сила са формулите h = b; d = b; r = b; R = b, където b е ръбът на правилния тетраедър, h – височината, d = LK – най-късото разстояние между два срещуположни ръба, r – радиуса на вписаната сфера, R – радиуса на описаната сфера.

    Доказателство (Фиг. 4)

Правоъгълен тетраедър (Фиг. 6)

  • Определение – Тетраедър, на който трите ръбни ъгли при един от върховете му са прави. Например, AMB = AMC = BMC = 90°.
  • Свойства на правоъгълен тетраедър (Фиг. 6):

    (18): Основата ΔABC е остроъгълен триъгълник.

    (19): Всеки от околните ръбове е перпендикулярен на срещуположната стена.

    Доказателство (Фиг. 6)

    (20): Петата на височината MO на правоъгълния тетраедър съвпада с ортоцентъра O на основата ABC.

    Доказателство (Фиг. 6)

    (21): Правоъгълния тетраедър е аналог на правоъгълния триъгълник в равнината, затова околните стени се наричат катети, а основата – хипотенуза на правоъгълния тетраедър.

III. Сечения на пирамида с равнина

Сечение на пирамида с равнината, която минава през два несъседни околни ръба. На Фиг. 7 ΔACM е диагонално сечение на четириъгълна пирамида с равнина.

(22): Всички диагонални сечения на правилна пирамида са равнобедрени триъгълници, т.е. на Фиг. 7 ΔACM и ΔBDM са равнобедрени.

  • Определение – Сечение на пирамида с равнината, успоредна на основата. На Фиг. 8 успоредника A1B1C1D1 е успоредно сечение на четириъгълна пирамида с равнина, успоредна на основата.
  • Свойства на успоредните сечения:

    (23): Всяко успоредно сечение на пирамида е многоъгълник, подобен на основата, т.е на Фиг. 8 имаме ABCD ~ A1B1C1D1.

    (24): Отношението на лицата на две успоредни сечения в една пирамида е равно на квадрата на отношението на разстоянията им до върха на пирамидата, т.е. на Фиг. 8 имаме .

IV. Повърхнина и обем на пирамида

  • Неправилна пирамида

    (25): Лицето на околната повърхнина S на неправилна пирамида е равно на сумата от лицата на околните стени.

  • Правилна n – ъгълна пирамида:

    (26): , където k – апотемата, b – дължина на основния ръб, n – броя на страните на основата, P – периметъра на основата.

    (27): B = S.cos φ, където B е лицето на основата, φ – двустенния ъгъл между околна стена и основата (Фиг. 2).

    Бележка:
    Формула (26) може да се прилага за всяка пирамида, при която околните стени сключват равни ъгли φ с основата.
  • Неправилна пирамида

    (28): Лицето на повърхнината (пълната повърхнина) S1 на неправилна пирамида е равно на сумата от лицата на всички стени (околни и основа).

  • Правилна n – ъгълна пирамида

    (29): S1 = S + B, където B – лицето на основата.

  • Правилен тетраедър

    (30): S1 = b2, където b е дължината на основния ръб.

  • Произволна пирамида

    (31): Обемът V на произволна пирамида с височина h и лице на основата B се намира по формулата V = B.h.

  • Правилен тетраедър

    (32): V = b3, където b е ръбът на правилния тетраедър.

V. Пирамида и сфера

  • Определение – В пирамида може да се впише сфера тогава и само тогава, когато са изпълнени някои от твърденията:

    (33): Всички стени на пирамидата са допирателни до сферата.

    (34): Ъглополовящите равнини на всяка двойка съседни околни стени на пирамидата се пресичат на една права, като центърът на вписаната сфера лежи на тази права.

    Бележка:
    Това условие е трудно за проверяване, затова се използва следното твърдение „Центърът H на вписаната в пирамида сфера е точката на пресичане на височината MO на пирамидата и ъглополовящата равнина на ъгъла между околна стена и основа (На Фиг. 9 KH е ъглополовяща на ъгъл MKO)”.
  • Ако в пирамида може да се впише сфера, то са изпълнени някои от твърденията:

    (35): Всички околни стени сключват равни двустенни ъгли с основата.

    (36): Центърът H на вписаната в пирамидата сфера лежи на височината MO на пирамидата (Фиг. 9).

    (37): Проекциите на височините на всички околни стени върху равнината на основата са равни.

    (38): Височините на всички околни стени са равни.

    (39): Ъглополовящите равнини на всички двустенни ъгли между две съседни околни стени минават през височината на пирамидата.

    (40): Всички околни стени сключват равни ъгли с височината на пирамидата.

    (41): В основата на пирамидата може да се впише окръжност и нейния център съвпада с проекцията на върха на пирамидата върху равнината на основата (Фиг. 2).

  • Сфера може да се впише във всяка:
    • триъгълна пирамида (тетраедър);
    • правилна пирамида.
  • За радиуса на вписана сфера (На Фиг. 9 r = HO) в
    • произволна пирамида:

      (42): r = , където S1 е пълна повърхнина на пирамидата, V – обема на пирамидата.

    • правилна триъгълна пирамида:

      (43): r = , където b – дължина на основен ръб (На Фиг. 9 b = AB = BC = AC), φ – ъгъл между околна стена и равнината на основата (На Фиг. 9 φ = OKM, тогава = HKM).

      Бележка:
      Формула (42) е в сила за всеки многостен, затова формули (20) за призма описана около сфера и (42) са еднакви.
сфера описана около пирамида
  • Определение – Около пирамида може да се опише сфера, ако са изпълнени някои от твърденията:

    (44): Всичките ръбове (околни и основни) на пирамидата са хорди на сферата, т.е. сферата минава през всички върхове на пирамидата.

    (45): Около основата може да се опише окръжност.

    (46): Симетралните равнини на околните ръбове се пресичат в една точка (т. H на Фиг. 10) лежаща на права перпендикулярна на равнината на основата и минаваща през центъра на описаната около основата окръжност.

    (46.1): Определение за Симетрална равнина – Равнина, която минава през средата и е перпендикулярна на отсечката (На Фиг. 11 равнината α е Симетрална равнина на отсечката AB).

    (46.2): Всяка точка от симетричната равнина е равноотдалечена от краищата на отсечката. Например, на Фиг. 11 AX = BX.

  • Ако около пирамида може да се опише сфера, то са изпълнени някой от твърденията (Фиг. 10):

    (47): Около пирамидата може да се опише сфера, чиито център H лежи върху височината MO на пирамидата.

    (48): Около основата на пирамидата може да се опише окръжност, центърът, на която съвпада с проекцията на върха на пирамидата върху равнината на основата (петата на височината).

    (49): Всички околни ръбове са равни.

    (50): Всички околни ръбове сключват равни ъгли с равнината на основата.

    (51): Проекциите на всички околни ръбове върху равнината на основата са равни.

    (52): Симетралните равнини на всички околни ръбове минават през височината на пирамидата.

    (53): Околните ръбове сключват равни ъгли с височината.

  • Сфера може да се опише около:
    • триъгълна пирамида (тетраедър);
    • правилна пирамида.
  • За радиуса R на описана сфера около правилна триъгълна пирамида е изпълнена формулата

    (54): R = , където l – дължината на околен ръб, h – височината на пирамидата.

пирамида вписана в сфера
  • около произволна n-ъгълна пирамида – Нека да имаме пирамидата A1A2…AnM (Фиг. 12):
    1. Около основата A1A2…An построяваме окръжност с център О.
    2. Построяваме права s минаваща през т. О и перпендикулярна на равнината на основата A1A2…An.
    3. Начертаваме симетралната равнина β на околен ръб, т.е. равнината β минаваща през средата на околния ръб AnM и е перпендикулярна на него.
    4. Ако точка H е пресечната точка на правата s с равнината β, то т. H е центъра на описаната около пирамидата A1A2…AnM сфера.
  • около правилна четириъгълна пирамида – Нека да имаме правилна четириъгълна пирамида ABCDM (Фиг. 13):
    1. Около основата ABCD построяваме окръжност k1 с център О, но основата е квадрат, т.е. т. О е пресечната точка на диагоналите АС и BD.
    2. Построяваме височината MO на пирамидата ABCDM.
    3. От т. К, която е среда на околния ръб CM издигаме перпендикуляр, който пресича височината MO на призмата в точка Н (отсечката HK лежи върху симетралната равнина на отсечката CM).
    4. т. H е центъра на описаната около пирамидата ABCDM сфера.
  • около правилна триъгълна пирамида – Нека да имаме правилна триъгълна пирамидата ABCM (Фиг. 14):
    1. Нека т. Е е пресечната точка на продължението на височината към основата AB на равностранния ΔABC и описаната около ΔABC окръжност k1.
    2. Тогава ΔECM е вписан в голямата окръжност на сферата, т.е. т. H е център на описаната около ΔECM окръжност.
    3. Построяваме височината MO на пирамидата ABCM (т. O лежи на CE, защото ΔABC е равностранен).
    4. Построяваме симетралата SCM, т.е. симетралната равнина на отсечката CM.
    5. SCM MO = т. H.

(55): Около всеки тетраедър може да се опише сфера или във всеки тетраедър може да се впише сфера, като за радиусите на описаната R и на вписаната r сфера е изпълнено неравенството R ≥ 3r. Равенството се получава, когато тетраедъра е правилен.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание