Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Стереометрия

Вие сте тук:   || Пирамида–теория || Основни типове задачи 


Пирамида

  Теория  Тест

Основни типове задачи за Софийски и Технически университети

    Зад. №1:
    Намерете лицето на повърхнината и обема на правилна триъгълна пирамида, ако:

    а) Основният ръб е равен на 4, а апотемата на пирамидата е .

    б) Радиусът на описаната около основата ѝ окръжност е с дължина 4 cm, а височината на пирамидата е 3 cm.

    в) Радиусът на вписаната в основата ѝ окръжност е с дължина 2 cm, а околният ръб на пирамидата е с дължина 5 cm.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    Използвайте подходящи формули.
    лицето на повърхнината и обема на правилна триъгълна пирамида

    Зад. №2:
    Околният ръб на правилна четириъгълна пирамида е , а апотемата ѝ е с 1 cm по-малка от основния ръб. Намерете обема на пирамидата.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    Използвайте подходящи формули.
    • ABCDM – правилна четириъгълна пирамида ABCD – квадрат. Нека AB = BC = CD = AD = b.
    • Избираме т. E среда на BC, тогава ME – височина в равнобедрения ΔBCM, т.е. ME е апотемата на пирамидата или ME = k = b – 1.
    • Намираме височината h = MO на пирамидата:
    • Намираме обема на пирамидата:
      • B = SABCD = b2 = 62 = 36 cm2.
      • V = = 48 cm2.

    Зад. №3:
    Основата на триъгълна пирамида е равностранен триъгълник със страна 12 cm. Две от околните стени на пирамидата са перпендикулярни на основата ѝ, а третата околна стена сключва с основата на пирамидата ъгъл, равен на 60°. Намерете обема на пирамидата.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    1. Използвайте твърдение (15), за да определите височината на пирамидата.
    2. Намерете линейния ъгъл отговарящ на дадения двустенен ъгъл.
    3. Обема на пирамидата намерете от формула (31).
    обем на триъгълна пирамида

    Зад. №4:
    Основата на пирамида е правоъгълен ΔABC с хипотенуза AC. Всички околни ръбове са равни на cm. Околната стена (BCM) сключва с основата на пирамидата ъгъл равен на 60°. Ако CAM = 30° да се намери:

    а) основния ръб AB;

    б) радиуса на описаната около основата на пирамидата окръжност;

    в) обема на пирамидата.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    1. Използвайте твърдение (4), за да определите височината на пирамидата.
    2. Намерете линейния ъгъл отговарящ на дадения двустенен ъгъл.
    3. За решаването на подточка б) използвайте Косинусова теорема за ΔACM.
    обем на триъгълна пирамида и Косинусова теорема

    Зад. №5:
    Сфера е описана около триъгълна пирамида, на която всички околни ръбове l сключват с равнината на основата ъгъл 60°. Намерете радиуса R на сферата, ако основните ръбове на пирамидата са 17 cm, 25 cm и 28 cm.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    1. Използвайте твърдение (4.2), за да определите височината на пирамидата.
    2. Намерете радиуса на описаната около основата окръжност, като запишете лицето на основата по два начина.
    3. Използвайте подходящ правоъгълен триъгълник, за да намерите радиуса на описаната сфера.
    Сфера описана около триъгълна пирамида

    Зад. №6:
    Основата на триъгълна пирамида ABCD е равнобедрен ΔABC, за който AB = 8 и AC = BC = 4. Околният ръб CD е перпендикулярен на равнината на основата и CD = 6. Да се намери радиусът на описаната около пирамидата сфера.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    1. Използвайте Синусова теорема, за да намерите радиуса на описаната около основата окръжност.
    2. Начертайте триъгълник, който да е вписан в голямата окръжност на сферата (използвайте примерен начин), за да намерите центъра на описаната сфера.
    3. Докажете, че този триъгълник е правоъгълен и намерете хипотенузата му.
    4. Намерете R.
    Сфера описана около триъгълна пирамида

    Зад. №7:
    Основата на четириъгълна пирамида ABCDS е квадрат ABCD със страна 3 cm. Околният ръб CS = 8 cm е перпендикулярен на равнината на основата на пирамидата. Да се намери радиуса на сфера описана около пирамидата BCDS.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    1. Начертайте триъгълник, който да е вписан в голямата окръжност на сферата (използвайте примерен начин), за да намерите центъра на описаната сфера.
    2. От подходящ правоъгълен триъгълник намерете R.
    • Нека с т. H отбележим центъра на описаната около пирамидата BCDS сфера. Намираме позицията на т. H:
      • CO е височина и медиана в равнобедрения ΔBCD.
      • Тогава ΔACS е вписан в голямата окръжност на сферата.
      • По условие ΔACS – правоъгълен, т.е. пресечната точка на симетралите му е в средата на хипотенузата AS.
      • Това означава, че т. Н лежи на AS и AH = SH = R.
    • От правоъгълния ΔABC намираме:
      AC2 = AB2 + BC2 = 18 + 18 = 36 AC = 6 cm.
    • От правоъгълния ΔACS намираме:
      AS2 = AC2 + CS2 = 62 + 82 = 100 AS = 10 cm.
    • R = AS = .10 R = 5 cm.

    Зад. №8:
    В правилна четириъгълна пирамида с височина h = 9 cm е вписана сфера с радиус r = 4 cm. Намерете обема на пирамидата.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    1. Начертайте триъгълник, който да е описан около голямата окръжност на сферата, за да намерите центъра на вписаната сфера.
    2. Използвайте подходящи подобни триъгълници, за да намерите страната на основата.
    3. Използвайте формула (31), за да намерите обема.
    • Нека точките E и F са средите на страните BC и AD на квадрата ABCD, а точките P и O са допирните точки на сферата до стените (BCM) и (ABCD).
    • Тогава радиуса r на вписаната в пирамидата сфера е равен на радиуса r на вписаната в ΔFEM окръжност.
    • Намираме основния ръб AB = b:
      • HO = PH = r = 4, тогава MH = h – r = 9 – 4 = 5.
      • От Питагорова теорема за ΔHPM
        MP2 = MH2 – PH2 = 52 – 42 = 9 MP = 3.
      • FE || AB и т. O е пресечната точна на диагоналите на квадрата ACBD OE = OF = b, но EP и EO са допирателни на окръжността OE = PE = b.
      • ΔOEM ~ ΔPHM по І признак, защото: 1) EOM = HPM = 90°; 2) M – общ b = AB = 24.
    • Намираме обема на пирамидата:
      • B = SABCD = b2 = 242 = 576.
      • V = = 1728 cm3.

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание