Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Стереометрия

Вие сте тук:   || Призма–теория || Основни типове задачи 


Призма

  Теория  Тест

Основни типове задачи за Софийски и Технически университети

    Зад. №1:
    Даден е куб ABCDA1B1C1D1 с ръб AB = 4. Точките M и N са средите съответно на ръбовете BC и CC1. Да се намери лицето на сечението на куба с равнина γ, определена от точките A, M и N.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    Докажете, че сечението е равнобедрен трапец и намерете лицето му.
    сечение на куб с равнина

    Зад. №2:
    Дадена е правилна триъгълна призма ABCA1B1C1 с околна повърхнина S = 54 cm2. Намерете обема на призмата, ако радиусът на вписаната в основата окръжност е 1 cm.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    1. Намерете височината на основата на призмата, като използвате това, че височина и медиана в равностранен триъгълник съвпадат.
    2. От даденото лице на околната повърхнина намерете височината на призмата.
    3. От формула (16) намерете обема на призмата.
    • ABCA1B1C1 – правилна триъгълна призма ΔABC – равностранен, т.е. AB = BC = AC = a.
    • Намираме страната a:
      • Построяваме AK – височина в ΔABC, но тя е и медиана, защото ΔABC – равностранен.
      • Прилагаме Питагорова теорема за ΔABK:
        AK2 = AB2 – BK2 = a2 a2 AK = a.
      • Нека т. M е медицентър в ΔABC MK = r = 1 cm и MK = AK 1 a a = 2.
    • Намираме обема на призмата:
      • B = = 3.
      • S = P.h = 3a.h 54 =3.2.h h = 3.
      • V = B.h = 3.3 = 27.
      • Т.е. V = 27 cm3.

    Зад. №3:
    Намерете обема на правилна четириъгълна призма, ако диагоналът ѝ сключва с околна стена ъгъл 30°, а диагонал на основата ѝ е равен на 5.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    1. Намерете дължината на основен ръб.
    2. Намерете диагонала BC1 на околната стена (BCC1B1).
    3. Намерете дължината на околен ръб, защото той е височина на призмата.
    4. Намерете обема по формула (16).
    • ABCDA1B1C1D1 – правилна четириъгълна призма ABCD – квадрат, т.е. AB = BC = CD = AD = a.
    • Прилагаме Питагорова теорема за ΔABC:
      AC2 = 2AB2 = 2a2 a = 5.
    • BC1 е проекцията на AC1 в околната стена (BCC1B1) AC1B = 30° и ABC1 = 90°.
    • От ΔABC1 – правоъгълен cotg AC1B = BC1 = 5.
    • Прилагаме Питагорова теорема за ΔBCC1:
      CC12 = BC12 – BC2 h2 = – 52 = 25.2 h = 5.
    • Намираме обема на призмата:
      • B = a2 = 52 = 25.
      • V = B.h = 25.5 = 125.

    Зад. №4:
    Всички стени на паралелепипед са ромбове с остър ъгъл 60° и страна 2 cm. Намерете лицата на диагоналните му сечения.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    1. Докажете, че петата на височината на паралелепипеда лежи върху диагонала на основата.
    2. Докажете, че диагоналното сечение BDD1B1 е квадрат.
    3. Докажете, че диагоналното сечение ACC1A1 е успоредник.
    • По условие имаме BAD = 60° ΔABD – равностранен, т.е. AB = BD = AD = a = 2.
    • Построяваме височината на паралелепипеда:
      • Построяваме височините A1G и A1F в еднаквите ромбове ADD1A1 и ABB1A1, т.е. A1G = A1F.
      • Ако т. E е проекцията на т. A1 в равнината на основата ABCD и от Теоремата за трите перпендикуляра следва, че EG и EF са проекции на A1G и A1F в равнината на основата (ABCD), т.е. EG AD и EF AB.
      • Равни наклонени A1G и A1F имат равни проекции EG и EF.
      • Тогава т. E лежи на ъглополовящата на BAD, но AC е диагонал на ромба ABCD следователно, т. E лежи на AC и височината на паралелепипеда е A1E.
    • Доказваме, че диагоналното сечение BDD1B1 е квадрат и намираме неговото лице:
    • Доказваме, че диагоналното сечение ACC1A1 е успоредник и намираме неговото лице:
      • AC и A1C1 диагонали в два еднакви ромба следователно те са успоредни и равни, т.е. ACC1A1 е успоредник с височина A1E.
      • За диагоналите на ромба използваме формула (9):
        AC2 + BD2 = 4AB2 AC2 + 22 = 4.22 AC2 = 12 AC = 2.
      • От ΔAFA1 – правоъгълен AF = AA1 cos FAA1 = 2.cos 60° = 2. = 1.
      • От ΔAFE – правоъгълен AE = .
      • От Питагорова теорема за ΔAEA1 A1E2 = AA12 – AE2 = 22.
      • Лицето на успоредника ACC1A1 е S = AC . A1E =2.. = 4 cm2.

    Зад. №5:
    Как ще се измени обема на куб, ако:

    а) увеличим ръба му 3 пъти;

    б) намалим ръба му с 2 cm.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    Използвайте формула (18), за да намерите обемите на двата куба.

    Нека с V и a да отбележим обема и ръба на стария куб, а с V1 и a1 – обема и ръба на новия куб.

    а) Ръбът на новия куб е a1 = 3a и тогава новия обем е V1 = a13 = (3a)3 = 27a3 = 27V, т.е. обемът му се увеличава 27 пъти.

    б) Ръбът на новия куб е a1 = a – 2 и тогава новия обем е V1 = a13 = (a – 2)3 = a3 – 6a2 + 12a – 8 = V – (6a2 – 12a + 8), т.е. обемът му се намалява с 6a2 – 12a + 8.


    Зад. №6:
    Намерете обема на правоъгълен паралелепипед с периметър на две околни стени 12 cm и 16 cm, който да има най-голяма височина.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    1. Изразете периметрите на дадените две околни стени чрез височината на паралелепипеда.
    2. Намерете стойностите, до които може да достига тази височина.
    3. Използвайте формула (11), за да получете лицето на околната повърхнина на паралелепипеда като функция на височината и изследвайте така получената функция.
    • Нека измеренията на паралелепипеда са a, b и c.
    • Дадените периметри на околни стени са:
      • P1 = 2a + 2c 12 = 2a + 2c a = 6 – c.
      • P2 = 2b + 2c 16 = 2b + 2c b = 8 – c.
    • Намираме в какви граници може да се мени височината c:

      от c > 0, 6 – c > 0 и 8 – c > 0 c (0; 6).

    • Изразяваме лицето на околната повърхнина чрез височината c:
      • Pосн = 2a + 2b = 2(6 – c) + 2(8 – c) = 12 – 2c + 16 – 2c = 28 – 4c.
      • От формула (11) S = Pосн . h = (28 – 4c).c = 28c – 4c2, т.е. S = – 4c2 + 28c.
    • Функцията S(c) е квадратна спрямо c и графиката ѝ е парабола с връх нагоре, защото коефициента пред най-високата степен на неизвестното c е отрицателен, т.е. функцията S(c) има най-голяма стойност при cV = = 3,5 (0; 6).
    • Тогава:
      • a = 6 – c = 6 – 3,5 = 2,5.
      • b = 8 – c = 8 – 3,5 = 4,5.
    • V = a.b.c =2,5.4,5.3,5 = 37,375 cm2.

    Зад. №7:
    Сфера е описана около правилна четириъгълна призма с височина 6 и диагоналът ѝ сключва с равнината на основата ъгъл равен на 60°. Намерете:

    а) радиуса на сферата;

    б) лицето на повърхнината и обема на призмата.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    а) За да намерите радиуса на сферата, използвайте това, че центърът на сферата лежи в средата на диагонал на диагоналното сечение.

    б) Използвайте формули (13) и (16).

    а) Проекцията на D1 в равнината на основата (ABCD) е т. D, т.е. (BD1; ABCD) = DBD1 = 60°.

    Центърът H на сферата лежи в средата на диагонала BD1 на диагоналното сечение DBB1D1, защото ΔDBD1 е правоъгълен, тогава R = HB = BD1. Последователно намираме:

    • От ΔDBD1 – правоъгълен sin 60° = BD1 = 4.
    • R = HB = BD1 = .4 = 2.

    б) Щом дадената призма е правилна четириъгълна, то основата ѝ ABCD е квадрат.


    Зад. №8:
    Сфера е вписана в права триъгълна призма с основни ръбове a = 8, b = 10 и c = 6. Да се намери радиуса на сферата и лицето на повърхнината на призмата.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    • Проекцията на сферата върху основата на призмата е окръжност, равна на голямата окръжност на сферата. Тогава радиусът OL = r на вписаната окръжност в основата ABC на призмата е равен на радиуса HO = r на сферата.
    • Намираме радиуса OL = r на вписаната в ΔABC окръжност:
      • p = = 12.
      • Прилагаме Херонова формула за ΔABC:

        B = SΔABC = = 24.

      • Но S = p.r 24 = 12.r r = 2.
    • Т.е. HO = r = 2.
    • Намираме лицето на повърхнината на призмата:
      • h = OO1 = 2r = 2.2 = 4.
      • S = P.h = (a + b + c).h = (8 + 10 + 6).4 = 96.
      • S1 = S + 2B = 96 + 2.24 = 144.

    Зад. №9:
    Права призма има за основа правоъгълен трапец с основи a = 8 и b = 4. Намерете радиуса на вписаната в призмата сфера и лицето на повърхнината и обема на призмата.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    • Проекцията на сферата върху основата на призмата е окръжност, равна на голямата окръжност на сферата. Тогава радиусът на вписаната окръжност в основата ABCD на призмата е равен на радиуса на сферата.
    • Намираме радиуса r = ON = OM = OQ = OP:
      • Четириъгълник APOM е квадрат, защото A = M = P = 90° и OM = OP = r AP = AM = r. Тогава PB = AB – AP = 8 – r. Но трапецът ABCD е описан BN = BP = 8 – r.
      • По подобен начин доказваме, че DM = DQ = r, CN = CQ = CD – r = 4 – r.
      • Т. O – център на вписаната окръжност следователно CO и BO са ъглополовящи , т.е. ABO = CBO = α1, DCO = BCO = β1.
      • 1 + 2β1 = 180° (като прилежащи ъгли на AB || CD) α1 + β1 = 90°.
      • От Теорема за сбор на ъгли в ΔBOC следва, че
        α1 + β1 + BOC = 180° 90° + BOC = 180° BOC = 90°, т.е. ΔBOC е правоъгълен.
      • ON е височина в ΔBOC ON2 = BN . CN r2 = (8 – r)(4 – r) 12r = 32 r = .
    • Т.е. радиусът на вписаната в правата призма сфера е r = .
    • Намираме лицето на повърхнината на призмата:
      • h = 2r = 2. = .
      • ABCD е описан трапец AD + BC = AB + CD = 8 + 4 = 12, тогава PABCD = AB + CD + AD + BC = 8 + 4 + 12 = 24.
      • S = P.h = 24. = 128.
      • B = SABCD = 32.
      • S1 = S + 2B = 128 + 2.32 = 192.
    • Намираме обема на призмата:

      V = B.h = 32..

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание