Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Алгебра

Вие сте тук:   || Системи. Редици и прогресии–теория || Основни типове задачи 


Системи. Аритметична прогресия. Геометрична прогресия. Редици

  Теория  Тест за ТУ и Матура   Тест за УНСС

Основни типове задачи за Матура и Технически университет

  • Системи
    Зад. №1: Да се реши системата уравнения: x2 + y2 + x + y = 14 и x2 + y2 + xy = 7.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    Решете системата чрез полагане, като предварително в лявата страна на първото уравнение прибавете и извадете 2xy, а във второто уравнение – xy.
    система решена чрез полагане
  • Зад. №2: Да се реши системата уравнения: 2x2 – 4y2 – 1,5x + y = 0 и 3x2 – 6y2 – 2x + 2y = 0,5.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    1. Умножете първото уравнение с 3, а второто с –2 и ги съберете;
    2. Полученото уравнение заедно с произволно уравнение от дадената система образуват нова система, която решете чрез заместване.
    • Умножаваме първото уравнение с 3, а второто с (–2) и получаваме:
      + x – y = – 1 x + 2y = 2.
    • Така полученото уравнение заедно с второто уравнение от дадената система образуват нова система:
    • Решаваме я чрез заместване и получаваме следните решения за дадената система: .
    Зад. №3: Да се реши системата уравнения: x2 – 9xy + 18y2 = 0 и 2x2 – 3xy – x = 4.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    Първото уравнение на тази система е хомогенно от втора степен, затова го решете по описаното в теорията Правило.
    • Допускаме, че y=0 решаваме хомогенно уравнение спрямо x и получаваме, че x = 0. Непосредствено проверяваме дали двойката числа (0;0) е решение и на второто уравнение от системата. Получаваме, че –4 = 0. Следователно допускането не е вярно, т.е. y ≠ 0.
    • Разделяме първото уравнение на y2 и получаваме – 9 + 18 = 0. След полагането = z получаваме квадратно уравнение z2 – 9z + 18 = 0 с корени z1 = 6 и z2 = 3.
    • От полагането получаваме системите:

      1. Решаваме я чрез заместване и получаваме двойката числа: и .

      2. Решаваме я чрез заместване и получаваме двойката числа: .
    • Решенията (1) и (2) са решения и на дадената система.
    Зад. № 4: Да се реши системата уравнения: 3x2 – 2xy + y2 = 36 и 5x2 – 4xy + y2 = 20.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    1. Положете y = t.x;
    2. В получената система разделете двете уравнения и решете квадратното уравнение;
    3. Решенията на квадратното уравнение заедно с едно от дадените уравнения образуват нови системи, които решете спрямо неизвестните x и y.
    • Въвеждаме ново неизвестно, чрез полагането y= t.x и получаваме системата
    • Делим двете уравнения и получаваме:
      5(3 – 2t + t2) = 9(5 – 4t + t2) 2t2 – 13t + 15 = 0.
      Решенията на това квадратно уравнение са: t1 = 5 и t2 = 1,5.
    • От полагането разглеждаме системите:

      Решаваме я чрез заместване. Решенията са наредената двойка числа (; 5) и (–; –5).

      Решаваме я чрез заместване. Решенията са наредената двойка числа (4; 6) и (–4; –6).
    • Решенията на (A) и (B) са решения и на дадената система.
    Зад. № 5: Да се намерят стойностите на параметъра a, при които системата има безбройно много решения.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Приведете първото уравнение под общ знаменател и решете получената система чрез събиране.
    • Дадената система е с уравнения от първа степен с две неизвестни. Затова я решаваме чрез събиране.
      + 0.x = a.
    • Това уравнение има решение всяко х, ако a = 0, т.е. при a = 0 дадената система има безброй много решения.

  • Редици.
    Зад. № 6: Намерете всички стойности на реалния параметър k, за които редицата с общ член е монотонно растяща.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    • Определяме два произволни члена на редицата, например:
      a1 = и a2 = .
    • Една редица е монотонно растяща, ако е изпълнено a1 ≤ a2, т.е. 3(k – 1) ≤ 2(2k – 1) или k ≥ – 1.
    • Търсените стойности на параметъра са k [–1; +∞).

  • Аритметична прогресия. Геометрична прогресия.
    Зад. № 7: Известно е, че сумата Sn от първите n члена на аритметична прогресия се представя с формулата Sn = 3n2 + n. Намерете петия член на тази прогресия.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    • Разглеждаме случаите:
      • При n = 1 от условието намираме S1 = 3.12 + 1 = 4. Понеже в сумата участва само един член, то a1 = S1 = 4.
      • При n = 2 от условието намираме S2 = 3.22 + 2 = 14, но S2 = a1 + a2 = 14 4 + a2 = 14 a2 = 10.
    • Намираме d на аритметичната прогресия от d = a2 – a1 = 10 – 4 = 6.
    • От Теорема 1 (за общия член на аритметична прогресия) следва, че a5 = a1 + 4d = 4 + 4.6 = 28.
    Зад. № 8: Намерете броя на членовете на геометрична прогресия, за която имаме: q = 3, bn = 324, Sn = 484.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Зад. № 9: Три числа, сборът на които е 42, образуват геометрична прогресия с частно, по-голямо от 1. Ако към първото прибавим 2, а от третото извадим 8, ще получим аритметична прогресия. Намерете числата.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    • Въведете две неизвестни: a1 – първи член и q – частното на геометричната прогресия.
    • Като използвате даденото условие за геометричната прогресия и Свойство 1 на аритметична прогресия, съставете система от две уравнения.

    I начин

    • Нека средният член на аритметичната прогресия да означим с х, а разликата с d. Тогава аритметичната прогресия има вида: x – d, x, x + d.
    • Като отчетем условието (че от първия член на аритметичната прогресия трябва да извадим 2, а към третия – да прибавим 8), геометричната прогресия има вида: x – d – 2, x, x + d + 8.
    • За геометричната прогресия отчитаме даденото условие и Свойство 1 (свойството за три поредни члена) и получаваме системата 122 = (10 – d)(20 + d) d2 + 10d – 56 = 0
    • Получихме следните две геометрични прогресии: 6, 12, 24 и 24, 12, 6. От определението за първата от тях намираме частно q = 2 > 1, а за втората – q = 0,5 < 1. По условие, частното трябва да е по-голямо от единица, следователно търсените числа са 6, 12, 24.

    II начин

    • Въвеждаме две неизвестни: a1 – първи член и q – частното на геометричната прогресия.
    • Използвайки Определението за геометрична прогресия и условието за аритметичната прогресия, двете прегресии имат вида: a1, a1q, a1q2; a1 + 2, a1q, a1q2 – 8.
    • За геометричната прогресия прилагаме даденото условие, а за аритметичната прогресия отчитаме – Свойство 1 (свойството за три поредни члена) и получаваме системата = 7 6q2 – 15q + 6 = 0
    • По условие q > 1, тогава a1 = 6.
    • Търсените числа са: 6, 12, 24.
    Зад. № 10: За геометрична прогресия е дадено, че a4.a8 = 27. Намерете a6.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    • Прилагаме Теорема 1:
      a4=a1.q3; a6=a1.q5; a8=a1.q7.
    • Намираме търсения израз:
      a4.a8 = a1.q3.a1.q7 = a12.q10 = (a1.q5)2 = a62 a62 = 27 т.е. a6 = 3.
    Зад. № 11: Пет числа образуват растяща аритметична прогресия. Намерете числата, ако сумата им е 25, а сумата от квадратите им е 285.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    1. Означете третото число с х и разпишете аритметичната прогресия като извадите и прибавите d.
    2. Намерете х като приложите условието, че сумата от членовете на аритметичната прогресия е 25.
    3. Намерете d като приложите условието, че сумата от квадратите на членовете на аритметичната прогресия е 285.
    • Нека с x да отбележим третото число на аритметичната прогресия. Тогава аритметичната прогресия е
      x – 2d, x – d, x, x + d, x + 2d.
    • От условието намираме x:
      x – 2d + x – d + x + x + d + x + 2d = 25 5x = 25 x = 5.
    • Отново разписваме аритметичната прогресия с намерената стойност на x:
      5 – 2d, 5 – d, 5, 5 + d, 5 + 2d.
    • За сумата от квадратите на тази прогресия прилагаме условието:
      (5 – 2d)2 + (5 – d)2 + 52 + (5 + d)2 + (5 + 2d)2 = 285 d2 = 16 d = ±4.
    • По условие прогресията е растяща, т.е. d > 0 или от намерените стойностти на d остава само d = 4.
    • Тогава търсените числа са:
      –3, 1, 5, 9, 13.
    Зад. № 12: Да се намери за кои стойности на x числата lg 6, lg (2x + 1). lg , взети в този ред са последователни членове на аритметична прогресия.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    • Използваме Свойство 1 на аритметичната прогресия:
      lg (2x + 1) = .
    • За числителя на дробта използваме формула (13) и привеждаме под общ знаменател: 2.lg (2x + 1) = lg 6 + lg .
    • Дефиниционното множество на това логаритмично уравнение е x. Използваме формула (6), за да го доведем до вида (16) и го решаваме:
      lg (2x + 1)2 = lg (6.2x + 1) (2x + 1)2 = 6.2x + 1 22x – 4.2x = 0 2x(2x – 4) = 0.
    • Това уравнение се разпада на две уравнения:
      1. 2x = 0 НР.
      2. 2x – 4 = 0 2x = 4 x = 2.
    • От (1) и (2) следва, че x = 2 е решение на задачата.
    Зад. № 13: Намерете сумата на безкрайната редица 1 + cos2 + cos4 + ... .
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    Редицата е Безкрайно малка намаляваща геометрична прогресия и затова използваите Теоремата за сума на безкрайно малка намаляваща геометрична прогресия.
    безкрайно малка геометрична прогресия

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание