Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Стереометрия

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура

Вие сте тук:   || Прави и равнини–теория || Основни типове задачи 


Прави и равнини

  Теория  Тест

Основни типове задачи за Софийски и Технически университети

    Зад. №1:
    Докажете, че всеки околен ръб на правилна триъгълна пирамида е перпендикулярен на кръстосания с него основен ръб на пирамидата.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Нека CM е околен ръб, а AB – основен ръб и трябва да докажем, че CM AB:

     


    Зад. №2:

    Дадена е триъгълна пирамида ABCM. Докажете, че ако едно от следните три твърдения е вярно, то са вери и останалите две.

    а) Околните ръбове са равни, т.е. AM = BM = CM.

    б) Ортогоналната проекция на M в равнината (ABC) е центърът на описаната окръжност около основата, т.е. около ΔABC.

    в) Правите AM, BM, CM сключват равни ъгли с равнината (ABC), т.е. околните ръбове сключват равни ъгли с равнината на основата.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    • Предполагаме, че околните ръбове са равни, т.е. твърдение а) е вярно. Нека точка O е проекцията на M в равнината на основата (ABC).
    • Ще докажем б):
      • ΔAOM ≅ ΔBOM ≅ ΔCOM – по ІV признак, защото: 1) AM = BM = CM – по условие ; 2) MO – обща; 3) O = 90° AO = BO = CO, т.е. точка O е център на описаната около ΔABC окръжност.
    • Доказваме в):
      • AO, BO и CO са проекциите съответно на AM, BM и CM в равнината на основата, затова (AM, ABC) = OAM, (BM, ABC) = OBM, (CM, ABC) = OCM.
      • От ΔAOM ≅ ΔBOM ≅ ΔCOM OAM = OBM = OCM.
    • По подобен начин се доказва, че ако е изпълнено б) следват а) и в) или, ако е изпълнено в) следват а) и б).

    Зад. №3:
    Дадена е четириъгълна пирамида ABCDM с връх M, като AM = BM = CM = DM. Докажете, че ако O е ортогоналната проекция на върха M в равнината на основата, то OA = OB = OC = OD, т.е. четириъгълникът ABCD е вписан в окръжност.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Нека точка O е проекцията на M в равнината на основата (ABCD).

    I начин:

    ΔAOM ≅ ΔBOM ≅ ΔCOM ≅ ΔDOM – по ІV признак, защото: 1) AM = BM = CM = DM – по условие ; 2) MO – обща; 3) O = 90° AO = BO = CO = DO, т.е. точка O е център на описаната около ABCD окръжност.

    II начин:

    • По условие AM = CM ΔACM – равнобедрен, но MO – височина в този триъгълник MO е и медиана, т.е. AO = CO.
    • По условие BM = DM ΔBDM – равнобедрен, но MO – височина в този триъгълник MO е и медиана, т.е. BO = DO.
    • ΔAOM ≅ ΔBOM – по ІV признак, защото: 1) AM = BM – по условие ; 2) MO – обща; 3) O = 90° AO = BO.
    • Така доказахме, че AO = BO = CO = DO = R, т.е. окръжност с радиус R е описана около четириъгълника ABCD.

    Зад. №4:
    Дадена е триъгълна пирамида ABCM. Ортогоналната проекция на върха M върху равнината на основата е центърът на вписаната в триъгълника ABC окръжност. Докажете, че двустенните ъгли с ръбове AB, BC и CA са равни.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    1. Използвайте Теоремата за Трите перпендикуляра, за да намерите проекциите на околните ръбове в равнината на основата.
    2. Намерете линейните ъгли съответстващи на двустенните ъгли.
    3. Използвайте признаците за еднаквост на триъгълници.
    двустенни ъгли при пирамида
    • Нека точка O е проекцията на M в равнината на основата (ABC), а допирните точки до AB, BC и AC на вписаната в основата окръжност, са съответно точките D, K и N.
    • Тогава OD = OK = ON = r и OD AB, OK BC и ON AC.
    • Но проекциите на MD, MK и MN са съответно OD, OK и ON. От Теоремата за трите перпендикуляра MD AB, MK BC, MN AC.
    • Затова (ABM, ABC) = ODM, (BCM, ABC) = OKM, (ACM, ABC) = ONM.
    • ΔODM ≅ ΔOKM ≅ ΔONM – по І признак, защото: 1) OD = OK = ON = r; 2) MO – обща; 3) O = 90° ODM = OKM = ONM = φ.

     


    Зад. №5:
    Дадена е четириъгълна пирамида ABCDM основата на която ABCD е четириъгълник, описан около окръжност с център O. Ортогоналната проекция на върха M върху равнината на основата е точка O. Докажете, че двустенните ъгли с ръбове AB, BC, CD и DA са равни.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    1. Използвайте Теоремата за Трите перпендикуляра, за да намерите проекциите на околните ръбове в равнината на основата.
    2. Намерете линейните ъгли съответстващи на двустенните ъгли.
    3. Използвайте признаците за еднаквост на триъгълници.
    • Нека точка O е проекцията на M в равнината на основата (ABCD), а допирните точки до AB, BC, CD и AD на вписаната в основата окръжност са съответно P, K, Q и L.
    • Тогава OP = OK = OQ = OL = r и OP AB, OK BC, OQ CD и OL AD.
    • Но проекциите на MP, MK, MQ и ML са съответно OP, OK, OQ и OL. От Теоремата за Трите перпендикуляра MP AB, MK BC, MQ CD, ML AD.
    • Затова (ABM, ABC) = OPM, (BCM, ABC) = OKM, (CDM, ABC) = OQM. (ADM, ABC) = OLM.
    • ΔOPM ≅ ΔOKM ≅ ΔOQM ≅ ΔOLM – по І признак, защото: 1) OP = OK = OQ = OL = r; 2) MO – обща; 3) O = 90° OPM = OKM = OQM = OLM = φ.

    Зад. №6:
    Дадена е правилна триъгълна пирамида. Намерете двустенните ъгли (ъглите между съседни стени) на пирамидата, ако основния ръб е a, а околния ръб – b.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    1. Използвайте Теоремата за Трите перпендикуляра, за да намерите проекциите на околните ръбове в равнината на основата.
    2. Намерете линейните ъгли съответстващи на двустенните ъгли.
    3. Използвайте признаците за еднаквост на триъгълници.
    двустенни ъгли при правилна пирамида

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание