Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Алгебра

Вие сте тук:   || Тригонометрични преобразования, уравнения и неравенства–теория


Тригонометрични преобразования. Тригонометрични уравнения и неравенства

  Задачи  Тест за ТУ и Матура   Тест за УНСС   Тест върху Функции


Теория

  • Тригонометрична окръжност – Окръжност k с център О и радиус 1.
  • Обобщен ъгъл – Ъгълът, който се получава при завъртането на точка M по тригонометричната окръжност, се нарича обобщен ъгъл. На фиг. 1 обобщеният ъгъл може да бъде: α; α ± 3600; α ± 2.3600 и т.н. Виждаме, че обобщения ъгъл може да се получи при ротация на ъгъла: α + k.3600, където k = 0; ±1; ±2; ... е броят на оборотите (т.е. броят на завъртанията на второто рамо на ъгъла).
    Навсякъде в този урок числото k е произволно цяло число, за което имаме
    k = 0; ±1; ±2; ..., т.е. k Z (множеството на целите цисла).
  • Радиан – Всеки ъгъл може да се измерва с градусни мерки или радиани. Централен ъгъл, за който дължината на съответната му дъга е равна на радиуса на окръжността, се нарича радиан (rad). На фиг. 1 се вижда, че AOM = α rad.
    Мярката в радиани на произволен централен ъгъл, чиято дъга има дължина l, е rad. Затова от Фиг. 1 за произволна окръжност имаме
    (1): AOM = .

    Пример: Виж Зад.№1.

    Превръщането от едната мерна единица в другата се извършва по формулите:
    (2): = x rad
    (3): x. = α0
    След градусната мярка се поставя знака за градус „0”, а след радианната мярка не се записва означението rad.
  • Тангенсова и котангенсова ос – Нека да имаме обобщен AOM.
    • Тангенсова ос – Оста At, която е допирателна до точка A (фиг. 3);
    • Котангенсова ос – Оста Вt, която е допирателна до точка В (фиг. 4);
  • Графики на тригонометричните функции:

    графика тригонометрични функции
    тангенс и котангенс
  • Тригонометрични функции и свойствата им:
    • Това е функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл x ординатата yM на точка M
      (Фиг. 2). Графиката е синусоида (Фиг. 5).
    • ДМ: x.
    • Функцията е периодична с период 2π т.е. sin x = sin (x ± 2π).
    • Функцията е нечетна, т.е. sin (– x) = – sin x;
    • Приема най-голяма стойност 1 при x = + 2kπ.
    • Приема най-малка стойност – 1 при x = – + 2kπ.
    • Приема стойност 0 при x = kπ.
    • Расте от – 1 до 1 във всеки интервал .
    • Намалява от + 1 до –1 във всеки интервал .
    • Това е функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл x абсцисата xM на точка M
      (Фиг. 2). От равенството cos x = sin следва, че графиката на cos x се получава от синусоидата изместена (транслирана) наляво по оста x, на разстояние (Фиг. 7).
    • ДМ: x.
    • Функцията е периодична с период 2π, т.е. cos x = cos (x ± 2kπ).
    • Функцията е четна, т.е. cos (– x) = cos x.
    • Приема най-голяма стойност 1 при x = 2kπ.
    • Приема най-малка стойност – 1 при x = π + 2kπ.
    • Приема стойност 0 при x = + kπ.
    • Расте от – 1 до 1 във всеки интервал [–π+2kπ; 2kπ]
    • Намалява от + 1 до –1 във всеки интервал [2kπ; π+2kπ]
    • Това е функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл x ординатата yP на точка P, която е пресечна точка между тангенсова ос At и второто рамо на обобщения ъгъл x (Фиг. 3). На координатната система графиката е показана на Фиг. 9.
    • ДМ: x ≠ + kπ.
    • Функцията е периодична с период π, т.е. tg x = tg (x ± kπ);
    • Функцията е нечетна, т.е. tg (– x) = –tg x. Затова графиката ѝ в интервала е симетрична на графиката ѝ в интервала относно началото на координатната система.
    • Няма най-голяма и най-малка стойност.
    • Приема стойност 0 при x = kπ.
    • Расте от – ∞ до +∞ във всеки интервал .
      Функцията y = tg x е растяща в интервала , но не е растяща в интервал, съдържащ точките в които функцията не е дефинирана, т.е.точки от вида x = + kπ. Например: функцията y = tg x не е растяща в интервала (0; π).
    • Това е функцията, която съпоставя на обобщен ъгъл x абсцисата xC на точка C, която е пресечна точка между котангенсова ос Bc и второто рамо на обобщения ъгъл x (Фиг. 4). На координатната система графиката е показана на Фиг. 11.
    • ДМ: x ≠ ;kπ.
    • Функцията е периодична с период π, т.е. cotg x = cotg (x ± kπ).
    • Функцията е нечетна, т.е. cotg (– x) = –cotg x.
    • Няма най-голяма и най-малка стойност.
    • Приема стойност 0 при x = kπ.
    • Намалява от +∞ до –∞ във всеки интервал (kπ; π+kπ)
      Функцията y = cotg x е намаляваща в интервала (kπ; π+kπ), но не е намаляваща в интервал, съдържащ точки, в които функцията не е дефинирана, т.е. точки от вида x = kπ. Например: функцията y = cotg x не е намаляваща в интервала .
  • Тригонометрични уравнения – Уравнения, при които неизвестното се съдържа само под знака на тригонометричната функция. Например: уравнението cos x + x = 1, не е тригонометрично. Основните тригонометрични уравнения и техните решения са представени в следната таблица:

    1. Решенията (A) и (B) не са броя на решенията, а броя на групите решения. Тригонометричните уравнения имат безброй много решения (защото графиката на тригонометричната функция пресича много пъти права успоредна на абсцизната ос.
    2. Уравненията tg x = a и cotg x = a имат решения за всяко a, а уравненията sin x = a и cos x = a имат решения за a [– 1; 1].
  • Начини за решаване на тригонометрични уравнения:
    • Основни тригонометрични уравнения – Решават се по таблица №1. Дадено уравнение може да се преобразува до основно чрез използването на тригонометрични формули от „Таблица на всички тригонометрични тъждества”;

      Пример: Виж Зад.№2

    • Чрез разлагане на множители – При този метод всички едночлени се прехвърлят от едната страна на равенството и с помощта на формулите от „Таблица на всички тригонометрични тъждества”, се стремим да достигнем до равенството:
      (4): f(x).g(x) = 0 с решения f(x) = 0 или g(x) = 0.

      Пример: Виж Зад.№3

    • Чрез въвеждане на спомагателен ъгъл – Нека уравнението има вида

      (5): a.sin x + b.cos x = c, където a,b и c са числа различни от нула.

      Делим двете страни на това уравнение с и получаваме: . Въвеждаме спомагателен ъгъл φ с равенствата
      = cos φ и = sin φ. Така от уравнение (5) получаваме: cos φ sin x + sin φ cos x = . Прилагаме формула 4.1 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества” и получаваме основното тригонометрично уравнение sin(x + φ) = . Това уравнение има решение, ако |c| ≤ .

      Пример: Виж Зад.№4

    • Хомогенни тригонометрични уравнения – Те са от вида:

          (6): a0sinnx + a1sinn–1x.cosx + ... + an–1sinx.cosn–1x + ancosnx = 0

      Хомогенните уравнения нямат решение при cosx = 0, защото тогава от уравнение (6) следва, че и sin x = 0. Обаче от формула 1.1 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества” знаем, че не съществува x, за което двете функции едновременно да са 0. Затова хомогенното уравнение можем да го разделим на sinnx или cosnx. Тогава уравнение (6) се превръща в:

      a0tgnx + a1tgn–1x + ... + an–1tgx + a0n =0.

      Сега полагаме tgx = y и уравнението се превръща в квадратно алгебрично, което решаваме.

      Пример: Виж Зад.№5

    • Уравнения за които използваме, че неравенствата – 1 ≤ sin x ≤ 1 и – 1 ≤ cos x ≤ 1, са верни за всяко x.

      Пример: Виж Зад.№6 и Зад.№7

    • Уравнения, в които участват само изразите sin x + cos x и sinx.cosx или sin x – cos x и sinx.cosx – За sin x + cos x (или sin x – cos x) използваме формула 8.12 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества” и правим полагането y = sinx + cosx = (или полагането y = sinx – cosx = , а израза sinx.cosx получаваме като повдигнем полагането на квадрат, т.е. y2 = (sinx + cosx)2 sin2x + 2sinx.cosx + cos2x = y2 sinx.cosx = .

      Пример: Виж Зад.№8

  • Тригонометрични неравенства – Решаването на тригонометрични неравенства обикновено се свежда до решаване на основни тригонометрични неравенства. Те са представени в следните таблици:

    Пример: Виж Зад.№9 и Зад.№10

  • Тригонометрични преобразования

    Пример: Виж Зад.№11 и Зад.№12

Върни се нагоре Начало ПредходенСледващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание