Лого за уроци по математика

самоподготовка

Самоподготовка по Математика за
кандидат-студенти и матура.
Алгебра


Тригонометрични преобразования. Тригонометрични уравнения и неравенства

  Теория  Тест за ТУ и Матура   Тест за УНСС   Тест върху Функции

Основни типове задачи за Матура и Технически университет

  • Радиан
    Зад. №1:
    Дадена е окръжност k (O, r = 2 cm) и точки A и M от окръжността, такива че дължината на дъгата AМ е 2,5 cm. Да се намери големината на острия ъгъл AOM в радиани.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    Използвайте формула (1).

    От чертежа и формула (1) следва, че:

    = 1,25 rad.

  • Тригонометрични уравнения преобразуващи се до основни.
    Зад. №2:Да се реши уравнението sin x = .
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    За да преобразувате дясната част на уравнението използвайте формула 1.2 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества”.
    тригонометрично уравнение

  • Уравнение от вида (4).
    Зад. №3:
    Да се реши уравнението 3cos2x + 2cos3x = 2cosx.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    1. Преобразувайте даденото уравнение така, че да приложите вида (4).
    2. Полученото уравнение решете чрез полагането cos x = y.
    • Преобразуваме даденото уравнение:
      2cos3x + 3cos2x – 2cosx = 0 cosx(2cos2x + 3cosx – 2) = 0.
    • Това уравнение е от вида (4) и затова се разпада на две уравнения:
      1. cosx = 0 с решения (A) → x = + kπ.
      2. 2cos2x + 3cosx – 2 = 0. Полагаме cosx = y, ДМy: y [–1; 1]. Уравнението добива вида:
        2y2 + 3y – 2 = 0 с решения y1 = – 2 ДМy; y2 = .
        От полагането получаваме cos x = cos x = cos ; α = (B)
    • Групите ъгли (А) и (В) са решения на даденото уравнение.

  • Уравнения решаващи се чрез въвеждане на спомагателен ъгъл.
    Зад. № 4: Да се реши уравнението sin2x – cos2x = – .
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    Разделете двете страни на даденото уравнение с 2 и приложете формула 4.1 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества”.
    Преобразуваме даденото уравнение така, че да използваме формула 4.1 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества”
    формула за двоен ъгъл на синус

  • Хомогенни тригонометрични уравнения.
    Зад. № 5: Да се реши уравнението sin2x – ( + 1)sinx.cosx + cos2x – = 0.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Разделете двете страни на уравнението с cos2x и положете tgx = y.
    • Допускаме, че cosx = 0, от формула 1.1 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества” следва, че sin2x = 1. Като заместим в даденото уравнение, получаваме 1 = 0, т.е. при това допускане уравнението не e вярно.
    • При cosx ≠ 0 делим двете страни на даденото уравнение с cos2x и получаваме:
      – ( + 1) + = 0 tg2 – ( + 1)tg x + = 0; Полагаме: tg x = y, ДМ: x ≠ + kπ.
      y2 – ( + 1)y + = 0; D = ( + 1)2 – 4 = ()2 - 2 + 1 = ( – 1)2 = – 1, т.е.
      y1 = = ; y2 = = 1.
    • От полагането имаме случаите:
      1. tg x = ; α = (A) → x = + kπ ДМ.
      2. tg x = 1; α = (B) → x = + kπ ДМ.
    • Окончателните отговори са групата ъгли (А) и (В).

  • Уравнения за които използваме, че неравенствата – 1 ≤ sin x ≤ 1 и – 1 ≤ cos x ≤ 1, са верни за всяко x.
    Зад. № 6: Да се реши уравнението sin x + sin 9x = 2.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Превърнете даденото уравнение в система и намерете общите решения на тази система.
    • За да е в сила горното уравнение, трябва да е изпълнена системата:
    • Засичаме отговорите и решение на даденото уравнение ще бъдат само дублиращите групи ъгли. За целта приравняваме решенията:
      + 2kπ = 9 + 36k = 1 + 4l l = 2 + 9k.
      Ъглите от групите (А) и (В) (по–точно коефициентите l и k) се различават с цяло число, като l се получава от k, затова ъглите от групата (А) се съдържат в групата (В) и те са дублиращи, т.е. решението на системата са ъглите от групата (А).
    • Затова окончателното решение на даденото уравнение е x = + 2kπ.
    Зад. № 7: Да се реши уравнението cosx.cos 7x = 1.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Произведението от две числа (които се менят от – 1 до +1) е 1, когато двете числа са равни на – 1 или на +1. Затова разглеждаме две системи.
    • Разглеждаме случаите:
      1. решаване на система
        Ъглите от групите (А) и (В) (по–точно коефициентите l и k) се различават с цяло число, като l се получава от k, затова ъглите от групата (А) се съдържат в групата (В) и те са дублиращи, т.е. решението на системата са ъглите от групата (А): x = 2kπ
      2. решаване на система от тригонометрични уравнения
        т.е. ъглите от групата (А) се съдържат в ъглите от групата (В) и те са дублиращи. Общото решение в този случай е x = π + 2kπ
    • Нанасяйки решенията (1) и (2) на тригонометричната окръжност, виждаме, че се различават с 1800. Затова можем да ги обединим (не да ги засечем) в една група ъгли x = kπ, което е и решение на даденото уравнение.

  • Уравнения, в които участват само изразите sin x + cos x и sinx.cosx или sin x – cos x и sinx.cosx.
    Зад. № 8: Решете уравнението sin x + cos x =sinx cosx – 1.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Направете полагането sin x + cos x = y. За да получим sinx cosx повдигаме двете страни на полагането на квадрат и решаваме полученото квадратно уравнение.
    • Полагаме sin x + cos x = y. Повдигаме двете страни на квадрат и след преобразуване получаваме sin x.cos x = . Използвайки формула 8.12 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества” полагането се записва във вида . Тогава ДМy: y [–; ]
    • Заместваме в даденото уравнение и то добива вида y = – 1 y2 – 2y – 3 = 0; y1 = 3 ДМy, y2 = – 1
    • От полагането получаваме
      тригонометрично уравнение
    • Групите ъгли (А) и (В) са окончателните решения на даденото уравнение.

  • Тригонометрични неравенства
    Зад. № 9: Решете неравенството sinx < cosx.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Преобразуваме до основно тригонометрично неравенство и използвайте Таблица №2.

    Преобразуваме до основно тригонометрично неравенство като при преобразуванията използваме формула 4.1 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества”

    тригонометрично неравенство
    Зад. № 10: Решете неравенството + 1 > 0.

    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.

    Преобразувайте синуса в косинус и решете полученото неравенство с полагане.

  • Тригонометрични преобразования
    Зад. № 11: Намерете tg 750.
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    тригонометрични преобразования
    Зад. № 12: Намерете tg, ако cos α = – и α (180°; 270°).
    Решете сами задачата като използвате теорията. Ако не можете, разгледайте упътването и отново се опитайте да я решите. При евентуален неуспех вижте примерното решение.
    Използвайте формула 4.5 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества” и след това от даденото намерете tg α.
    тригонометрични преобразования

Върни се нагоре Начало Предходен Следващ


Вижте още

самоподготовка

Самоподготовка


Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:

МАТЕМАТИКА

Кандидат-студенти

Матура

7 клас


ФИЗИКА

Кандидат-студенти

Матура

тестове по математика

Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА


Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.

Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.

Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Технически университет

УНСС

Матура

7 клас

6 клас 5 клас

физика

Тестове от изпити по ФИЗИКА


Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет, на Матура и НВО (национално външно оценяване) в 7 клас през последните няколко години.

  Всички тестове

Тестове от последната година:

Софийски университет

Матура

7 клас


© Учебен център „СОЛЕМА”

Ако искате сами да се подготвите по математика, проследете връзките:

самоподготовка и уроци по математика за 7 класонлайн уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmбезплатни уроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htmуроци по математика от учебен център „СОЛЕМА” на адрес http://www.solemabg.com/SamProgramKM.htm

Разгледайте решени тестовете от изпити по Математика и Физика за кандидат-студенти (Софийски университет, Технически университет и УНСС), Държавни зрелостни изпити (ДЗИ) и НВО (7 клас, 6 клас и 5 клас) от 2008 г. до сега

Решени тестове по математика от изпити от университети, матура и 7 клас

Свържете се с нас:

: 02 897 99 54 (вечер), г-н. Станев, : 0888 919 954 (може да изпратите СМС или друго съобщение)

solema@gbg.bg  Оставете мнение във Facebook  Оставете мнение в Google+

Creative Commons License

Всички изображения, картинки, текстове, документи, бази данни, компютърни програми и друга информация, публикувани на този уебсайт, са собственост на Учебен център „СОЛЕМА” и са лицензирани под Криейтив Комънс Признание