Тригонометрични преобразования. Тригонометрични уравнения и неравенства – Основни типове задачи:

• Радиан

  Зад. №1: Дадена е окръжност k (O, r = 2 cm) и точки A и M от окръжността, такива че дължината на дъгата AМ е 2,5 cm. Да се намери големината на острия ъгъл AOM в радиани.

  Вижте упътване
  
  Използвайте формула (1) от темата „Тригонометрични преобразования. Тригонометрични уравнения и неравенства”.
  Вижте решение
  Решение:
  

  .

  ; 
• Тригонометрични уравнения преобразуващи се до основни

  Зад. №2: Да се реши уравнението

  Вижте упътване
  
  За да преобразувате дясната част на уравнението използвайте формула 1.2 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества”.
  Вижте решение
  Решение:
  

  

  ; 
• Уравнение от вида (4):

  Зад. №3: Да се реши уравнението 3cos²x + 2cos³x = 2cosx

  Вижте упътване
  
  След като приложите формула (4), за Второто уравнение положете cos x = y.
  Вижте решение
  Решение:
  

  • 2cos³x + 3cos²x – 2cosx = 0 cosx(2cos²x + 3cosx – 2) = 0
  • Това уравнение се разпада на две уравнения:
    1. cosx = 0 с решения
    2. 2cos²x + 3cosx – 2 = 0. Полагаме cosx = y, ДМ_y: y [–1; 1]. Уравнението добива вида: 2y² + 3y – 2 = 0 с решения y₁ = 2 ДМ_y; y₂ = .
       От полагането получаваме
  • Групите ъгли (А) и (В) са решения на даденото уравнение.
  ; 
• Уравнения решаващи се чрез въвеждане на спомагателен ъгъл.

  Зад. №4: Да се реши уравнението sin2x – cos2x = –

  Вижте упътване
  
  Разделете двете страни на даденото уравнение с 2 и приложете формула 4.1 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества”.
  Вижте решение
  Решение:
  

  

  ; 
• Хомогенни тригонометрични уравнения

  Зад. №5: Да се реши уравнението sin²x – ( + 1)sinx.cosx + cos²x – = 0

  Вижте упътване
  
  Разделете двете страни на уравнението с cos²x и положете tgx = y.
  Вижте решение
  Решение:
  

  • Допускаме, че cosx = 0, от формула 1.1 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества” следва, че sin²x = 1. Като заместим в даденото уравнение, получаваме 1 = 0, т.е. при това допускане уравнението не e вярно.
  • При cosx ≠ 0 делим двете страни на даденото уравнение с cos²x и получаваме:
    
  • Окончателните отговори са групата ъгли (А) и (В).
   
• Уравнения за които използваме, че неравенствата – 1 ≤ sin x ≤ 1 и – 1 ≤ cos x ≤ 1, са верни за всяко x.

  Зад. №6: Да се реши уравнението sin x + sin 9x = 2

  Вижте упътване
  
  Превърнете даденото уравнение в система и намерете общите решения на тази система.
  Вижте решение
  Решение:
  

  • За да е в сила горното уравнение, трябва да е изпълнена системата:
    
  • Засичаме отговорите и решение на даденото уравнение ще бъдат само дублиращите групи ъгли. За целта приравняваме решенията:
    
    Ъглите от групите (А) и (В) (по–точно коефициентите l и k) се различават с цяло число, като l се получава от k, затова ъглите от групата (А) се съдържат в групата (В) и те са дублиращи, т.е. решението на системата са ъглите от групата (А).
  • Затова окончателното решение на даденото уравнение е
  ; 

  Зад. №7: Да се реши уравнението cosx.cos 7x = 1

  Вижте упътване
  
  Произведението от две числа (които се менят от – 1 до +1) е 1, когато двете числа са равни на – 1 или на +1. Затова разглеждаме две системи.
  Вижте решение
  Решение:
  

  • Разглеждаме случаите:
    1. 
       Ъглите от групите (А) и (В) (по–точно коефициентите l и k) се различават с цяло число, като l се получава от k, затова ъглите от групата (А) се съдържат в групата (В) и те са дублиращи, т.е. решението на системата са ъглите от групата (А): x = 2kπ
    2. 
       т.е. ъглите от групата (А) се съдържат в ъглите от групата (В) и те са дублиращи. Общото решение в този случай е x = π + 2kπ
  • Нанасяйки решенията (1) и (2) на тригонометричната окръжност, виждаме, че се различават с 180⁰. Затова можем да ги обединим (не да ги засечем) в една група ъгли x = kπ, което е и решение на даденото уравнение.
  ; 
• Уравнения, в които участват само изразите sin x + cos x и sinx.cosx или sin x – cos x и sinx.cosx.

  Зад. №8: Решете уравнението sin x + cos x =sinx cosx – 1.

  Вижте упътване
  
  Направете полагането sin x + cos x = y. За да получим sinx cosx повдигаме двете страни на полагането на квадрат и решаваме полученото квадратно уравнение.
  Вижте решение
  Решение:
  

  • Полагаме sin x + cos x = y. Повдигаме двете страни на квадрат и след преобразуване получаваме sin x.cos x = . Използвайки формула 8.12 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества” полагането се записва във вида . Тогава ДМ_y: y [–; ]
  • Заместваме в даденото уравнение и то добива вида y = – 1y² – 2y – 3 = 0; y₁ = 3 ДМ_y, y₂ = – 1
  • От полагането получаваме
    
  • Групите ъгли (А) и (В) са окончателните решения на даденото уравнение.
  ; 
• Тригонометрични неравенства

  Зад. №9: Решете неравенството sinx < cosx

  Вижте упътване
  
  Преобразуваме до основно тригонометрично неравенство и използвайте Таблица №2.
  Вижте решение
  Решение:
  

  Преобразуваме до основно тригонометрично неравенство като при преобразуванията използваме формула 4.1 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества”
  

  ; 

  Зад. №10: Решете неравенството

  Вижте упътване
  
  Преобразувайте синуса в косинус и решете полученото неравенство с полагане.
  Вижте решение
  Решение:
  

  Като използваме таблица №2 на „Таблица за стойностите на тригонометричните функции във всеки от квадрантите„ получаваме и неравенството има вида:
  
  От 1) и 2) следва, че решенията са

  ; 
• Тригонометрични преобразования

  Зад. №11: Намерете tg 75⁰

  Вижте упътване
  
  Преобразуваме 75⁰ = 30⁰ + 45⁰ и използвайте формула 4.5 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества”.
  Вижте решение
  Решение:
  

  

  ; 

  Зад. №12: Намерете

  Вижте упътване
  
  Използвайте формула 4.5 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества” и след това от даденото намерете tg α.
  Вижте решение
  Решение:
  

  • От основното тригонометрично тъждество намираме
    sin² α = 1 – cos² α = 1 –
    По условие α е в II квадрант, затова знакът на sin α е отрицателен, откъдето sin α = –
  • 
  • От формула 4.5 от „Таблица на всички тригонометрични тъждества” получаваме
  ;