Самоподготовка по Математика за
7 клас
Триъгълник. Ъгли на триъгълник
Съдържание на темата:
Теория
I. Триъгълник
О – Геометрична фигура, която се състои от три точки, нележащи на една права, и съединяващите ги три отсечки.
Определения
- Разностранен – Триъгълник с различни страни.
- Равнобедрен – Триъгълник с две равни страни. Равните страни се наричат бедра, а третата страна се нарича основа.
- Равностранен – Триъгълник с три равни страни.
- Остроъгълен.
- Правоъгълен.
- Тъпоъгълен.
- Определение – Отсечка, която е перпендикулярна на страна и минава през срещулежащия връх.
- Височини при остроъгълен триъгълник – На Фиг. 1 това са: AE = ha, BH = hb, CD = hc.
- Височини при правоъгълен триъгълник – На Фиг. 2 това са: AC = b = ha, BC = a = hb, CD = hc.
Бележка:Забележете, че две от височините при правоъгълен триъгълник съвпадат с катетите. - Височини при тъпоъгълен триъгълник – На Фиг. 3 това са: AH = ha, BD = hb, CF = hc.
Бележка:Забележете, че височините от острите ъгли са извън триъгълника.
О – Отсечката, която съединява връх със средата на срещуположната му страна.
На фигурата това са: AE = ma, BH = mb, CD = mc.
О – Отсечката, която дели съответният ъгъл на две равни части.
На фигурата това са: AE = la, BH = lb, CD = lc.
- Периметър P на ΔABC (Фиг. 1):
PΔABC = a + b + c. - Лице S на произволен ΔABC (Фиг. 1):
(1): S ΔABC = . - Лице S на правоъгълен ΔABC с катети a и b
(2): S ΔABC = .
II. Ъгли в триъгълник
- T за произволен триъгълник – Сборът от ъглите на всеки триъгълник е равен на 180°, т.е.
α + β + γ = 180° (виж чертежа). - T за правоъгълен триъгълник – Сборът от острите ъгли на правоъгълен триъгълник е равен на 90°, т.е.
α + β = 90° (при положение, че γ = 90°).
- Определение – ъгъл, който е съседен на вътрешен ъгъл на триъгълника. На фигурата, това са ъглите α1, β1 и γ1.
- Теорема – Всеки външен ъгъл е равен на сбора на два вътрешни, несъседни нему ъгли. От фигурата следва, че
α1 = β + γ.
β1 = α + γ.
γ1 = α + β. - Следствие – Всеки външен ъгъл на триъгълник е по-голям от всеки несъседен с него вътрешен ъгъл, т.е.
α1 > β, α1 > γ.
III. Основни задачи
- Зад. №1:
- Ъглополовящите на вътрешен и външен ъгъл на триъгълник са перпендикулярни.
Решение:
- AM и AN ъглополовящи съответно на BAC и DAC BAM = MAC = x, DAN = NAC = y.
- CAB + DAC = 180° (като съседни ъгли) x + x + y + y = 180° 2x + 2y = 180° 2(x + y) = 180° x + y = 90°, т.е. NAM = 90°.
- Зад. №2:
- Вътрешните ъглополовящи при върховете А и В на ΔABC се пресичат в т.L. Да се намери
ALB, ако C = γ.
Решение:
- Прилагаме теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC:
2α + 2β + γ = 180° α + β = = 90° – . - Прилагаме теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔALB:
ALB + α + β = 180° x = 180° – (α + β) = 180° – , т.е. ALB = 90° + .
- Зад. №3:
- Външните ъглополовящи при върховете А и В на ΔABC се пресичат в т.P. Да се намери APB, ако C = γ.
Решение:
- AP и BP външно ъглополовящи съответно на ъглите при върховете A и B.
- От свойство на съседни ъгли получаваме:
PAB= (180° – α) = 90° – и PBA = (180° – β) = 90° – . - Прилагаме теорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔAPB:
APB = x = 180° – (PAB + ABP) = 180° – = . - Но от ттеорема за сбор на вътрешни ъгли в ΔABC следва, че α + β = 180° – γ, тогава = 90° – .
- Т.е. APB = 90° – .
Бележка:
Други основни задачи свързани с ъглополовящи на триъгълник вижте в Основна зад. № 5 от тема „Еднакви триъгълници”.
- Зад. №4:
- Височините при върховете А и В на остроъгълният ΔABC се пресичат в т.Н. Да се намери
AHB, ако C = γ.
Решение:
- От ΔBEC EBC = 90° – γ, тогава от ΔBDH BHD = 90° – HBD = 90° – (90° – γ) = γ.
- x =180° – BHD (като съседни ъгли) = 180° – γ, т.е. AHB = 180° – γ.
- Зад. №5:
- Всяка медиана в триъгълник дели триъгълника на два равнолицеви триъгълника.
Решение:
- Нека СМ – медиана и СD – височина в ΔABC, тогава СD е височина както в остроъгълния ΔAMC, така и в тъпоъгълния ΔMBC.
- SΔAMC = AM.CD; SΔMBC = MB.CD, но AM = MB SΔAMC = SΔMBC.
Бележка:
Подобна задача има и за правоъгълен триъгълник.
Върни се нагоре Начало Предходен Следващ
Вижте още
Самоподготовка
Предстоят ви изпити или матура по Математика или Физика, но не сте убедени, че сами ще се справите. Учебен център „СОЛЕМА“ ви предоставя следните програми и тестове към тях:
МАТЕМАТИКА
ФИЗИКА
Тестове от изпити по МАТЕМАТИКА
Опитайте да решите тестовите от изпитите по Математика. Ако не можете, разгледайте упътванията.
Последната ви възможност е да разгледате примерните решения.
Всички задачи са с кратки упътвания и пълни решения.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Тестове от изпити по ФИЗИКА
Решили сме тестовете по Физика давани в Софийски университет и на Матура през последните няколко години.
Всички тестове
Тестове от последната година:
Реклама